Cho $\left\{\begin{matrix} a\geq 1\\ b\geq 1\\ c>0\\ a+b+abc=ab \end{matrix}\right.$. Tìm Min: $P=\sqrt{(a-1)(b-1)}+\frac{18ab}{a+b+2abc}$

Giải phương trình: $\left ( x+3 \right )\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 12+x \right )}=28-x$

Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y-1}-\sqrt{x+2y-2}+x+y-1=0\\ 4x^2+y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y} \end{matrix}\right.$$

Cho tam giác $ABC$ đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N,I,K$ lần lượt là hình chiếu $D$ trên $AB,AC,BE,CF$.
A. Chứng minh $EH$ là phân giác góc $DEF$
B. Chứng minh bốn điểm $M,N,I,K$ thẳng hàng

Nhờ mọi người giúp mk câu c.
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AB>AC$), kẻ đường cao $AH,AD$ là đường phân giác góc $BAH$.
a. Cm $\Delta ADC$ cân
b. Cm $DH.DC=BD.HC$
c. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $E$ là giao điểm $DM$ và $AH$. Chứng minh $AD//CE$

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng

Mình thấy đề ghi như thế nhưng bạn làm theo đề bạn sửa xem sao.

Tìm số tự nhiên $n$ để $n^3-3n^2-3n-1$ chia hết cho $n^2+n+1$

Câu c phải là $\frac{GB}{GC}=\frac{HD}{AH+CD}$ chứ
Biến đổi kết luận 1 tí nào
Ta có: $\frac{GB}{GC}=\frac{HD}{AH+CD}\Leftrightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{HD}{HD+CD}\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{HD}{HC}$
( luôn đúng theo Ta-lét )

Xin lỗi, mk nhầm. Chứng minh $\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}$

Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^3+(2y-2015)^3+(3z+2016)^3$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($AC>AB$), đường cao $AH$. Trên tia $HC$ lấy $D$ sao cho $HD=AH$. Kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt $AC$ tại $E$.
a) CM $2$ tam giác $BEC$ và $ADC$ đồng dạng
b) $M$ là trung điểm $BE$. Tính góc $AHM$
c) Tia $AM$ cắt $BC$ tại $G$. CM $\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}$

Cho $M=\frac{2.1+1}{(1^2+1)^2}+\frac{2.2+1}{(2^2+2)^2}+...+\frac{2.2015+1}{(2015^2+2015)^2}$
CMR $M<1$

Cho $A=200.(9^{2013}+9^{2012}+...+9^2+9+1)$. Chứng minh $A+25$ là số chính phương

Tính tổng gồm $2014$ số hạng:

 

$f\left ( \frac{1}{2015} \right )+f\left ( \frac{2}{2015} \right )+...+f\left ( \frac{2014}{2015} \right )$

 

với $f(x)=\frac{100^x}{100^x+10}$

Cho 0 $\leqslant$ m $\leqslant$ k $\leqslant$ n và k,m,n $\in$ N

Chứng minh:

$C_{n}^{k}$.$C_{m}^{0}$ + $C_{n}^{k+1}$.$C_{m}^{1}$ + ... + $C_{n}^{k-m}$.$C_{m}^{m}$ = $C_{m+n}^{k}$

 Xin cám ơn !

 

Xét $(1+x)^{m+n}=C^0_{m+n}+C^1_{m+n}x+...+C^k_{m+n}x^k+...+C^{m+n}_{m+n}x^{m+n}$

 

Suy ra hệ số $x^k$ là $C^k_{m+n}$

 

Mà $(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n=(C^0_m+C^1_mx+...+C^k_mx^k+...+C^m_mx^m)(C^0_n+C^1_nx+...+C^k_nx^k+...+C^n_nx^n)$

 

Khi nhân hai đa thức trên ta thấy số hạng chứa $x^k$ có dạng:

 

$(C^0_mC^k_n+C^1_mC^{k-1}_n+...+C^m_mC^{k-m}_n)x^k$

 

Hai đa thức trên đồng nhất nên hệ số của số hạng chứa $x^k$ phải bằng nhau, tức là:

 

$C^0_mC^k_n+C^1_mC^{k-1}_n+...+C^m_mC^{k-m}_n=C^k_{m+n}$ ($đpcm$)

Giải phương trình: $\frac{3-4cosx-8sin^4x}{sin2x+cos2x}=\frac{1}{sin2x}$

Chào các bạn, hiện tại mình đang có một số quyển sách tham khảo toán phổ thông không dùng đến (vì không có thời gian đọc, toàn lo bài vở trên lớp với đi chơi ). Mà sách vở cứ để không như thế thì phí phạm tri thức quá. Vậy nên mình xin được được tặng lại cho anh em trong diễn đàn, hy vọng nó sẽ giúp ích cho mọi người

Danh sách các quyển sách gồm:

- Sáng tạo bất đẳng thức, của anh Phạm Kim Hùng
- Phân loại phương pháp giải toán bất đẳng thức của anh Cẩn và anh Quốc Anh.
- Vẻ đẹp của Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic toán học của anh Cẩn và anh QA.
- Các quyển sách của thầy Nguyễn Hữu Điển: sáng tạo trong giải toán phổ thông, những pp điển hình trong giải toán phổ thông, một số chuyên đề hình học tổ hợp.
- Phương trình nguyện nguyên của thầy Phan Huy Khải.
- Cuối cùng là 2 cuốn tuyển tập tạp chí THTT hai năm 2006, 2007 (đóng 12 số thành một cuốn lớn có bìa nhìn chất lắm :x)


Mọi người ai muốn những quyển nào có thể đưa cho mình địa chỉ rồi mình sẽ gửi qua đường bưu điện. Các bạn có thể gửi địa chỉ trong topic này hoặc qua PM đều được

 

Mình đang tìm mấy cuốn có trong danh sách này, bạn có thể để lại cho mình k?

Cho e hỏi câu hỏi không liê quan:

Trong hình này thì vì sao $\widehat{HAL}=\widehat{LAO}$

 

Do $AH$ là đường cao nên $\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^o$

 

Ta có: $\widehat{A'AC}=\widehat{A'BC}$

 

Mà $\widehat{HBA}+\widehat{A'BC}=90^o\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{A'BC}\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{A'AC}$

 

Ta lại có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp nên $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$

 

Từ đó ta có: $\widehat{HAL}=\widehat{LAO}$

bài này dùng vecto cũng chứng minh được

 

Bài nào dùng được bất đẳng thức $Bunyakovsy$ thì sẽ dùng được bất đẳng thức $Vector$

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}\geq a+b+c$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số dương ta có:

 

$\frac{a^3}{bc}+b+c\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a\Rightarrow \frac{a^3}{bc}\geq 3a-b-c$

 

Tương tự: $\frac{b^3}{ca}\geq 3b-c-a,\frac{c^3}{ab}\geq 3c-a-b$

 

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta có $đpcm$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Cho $a,b,c> 0.CMR \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Ta có:

 

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

 

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\geq \frac{ab+bc+ca}{abc}$ (Vì $a,b,c>0$)

 

$\Leftrightarrow \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Cho a,b,c$> 0.CMR \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

 

Theo BĐT Cauchy ta có:

 

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$

 

$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$

 

$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2a$

 

$\Rightarrow 2\left ( \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \right )\geq 2(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c$

 

Dấu $'='$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Với x,y,z>0 GPT: (x²+1)(y²+2)(z²+8)=32xyz

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+1\geq 2x\\ y^2+2\geq 2\sqrt{2}y\\ z^2+8\geq 4\sqrt{2}z \end{matrix}\right. \Rightarrow (x^2+1)(y^2+2)(z^2+8)\geq 32xyz$

 

Do đó:

 

$pt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\sqrt{2}\\ z=2\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Tính góc của tam giác ABC biết

$ 2.cosA.sinB.sinC + \sqrt{3}.( sinA + cosB + cosC) = \frac{17}{4}$

 

http://diendantoanho...nacosbcosc-170/

http://diendantoanho...cosa-cosb-cosc/

CMR : $cos\frac{2\pi}{2n+1} +cos\frac{4\pi }{2n+1}+...+cos\frac{2n\pi }{2n+1}=\frac{-1}{2}$

 

Ta có:

 

$2\sin \frac{\pi}{2n+1}.S=\sin\frac{3\pi}{2n+1}-\sin\frac{\pi}{2n+1}+\sin\frac{5\pi}{2n+1}-\sin\frac{3\pi}{2n+1}+...+\sin\pi-\sin\frac{(2n-1)\pi}{2n+1}$

 

$=-\sin\frac{\pi}{2n+1}$

 

$\\ \Leftrightarrow S=\frac{-1}{2}$