Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy+y=8 & \\ xy(x^{2}+xy+x+y)=12 & \end{matrix}\right.$

Cho Lục Giác ABCDEF Các điểm M,N,P,Q,R,S theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA thỏa mãn
$\frac{AM}{BM}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CD}=\frac{PQ}{DE}=\frac{ER}{EF}=\frac{FS}{FA}$
C/m:tam giác MPR và tam giác NQS có trọng tâm đối xứng nhau qua điểm cố định

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Ta có : $\sum \frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}-\sum \left ( 2b-a \right )= \sum \frac{-\left ( a+b \right )\left ( a-b \right )^{2}}{ab+3b^{2}}\leq 0$

$\Rightarrow \sum \frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}\leq a+b+c=3$

ban oi sao ra dc so 2b-a

Cau 2: dat 

b+c−a=x;

a+c−b=y

a+b−c=z

=> c=(x+y)/2

     a=(y+z)/2

      b=(x+z)/2

Thay các ket qua nay vao BDT da cho rồi áp dụng BDT cô-si cho 3 cap số dương => dpcm

cau 3: dat $\sqrt{x+5}=a$; $\sqrt{x+2}=b$ dk a,b>=0

dua ve he: (a-b)(a+b)=(a-b)(1+ab)=3 roi giai

bai 4: chuyen het qua trai roi tách, nhom sau do dua ve dang (a+b)^2 +(c+d)^2 +(e+f)^2 -1<0 suy ra (a+b)^2 +(c+d)^2 +(e+f)^2<=0

hay  (a+b)^2=0, (c+d)^2=0...roi suy ra ket qua

Bai 5: ke AM duong phan giac của góc A, goi MC=x, áp dụng t/c duong phan giac(lap ty le) roi giai pt bac 2 an x la ra (neu lop 8 thi phan tich pt bac 2 thanh nhan tu)

Bai 6: lam chua xong

CM thêm 1 cách tổng quát hơn cho câu BĐT

Ta có :
$2P+29=(\frac{8a}{b+c-a}+4)+(\frac{18b}{a+c-b}+9)+(\frac{32c}{a+b-c}+16)$

          $=(a+b+c)(\frac{4}{b+c-a}+\frac{9}{a+c-b}+\frac{16}{a+b-c}\geq (a+b+c)\frac{(2+3+4)^{2}}{a+b+c}=81$

$\Rightarrow P\geq 26$

(đpcm)

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay tam giác đã cho đều

 

-------------------------------------------------

 

Vấn đề đặt ra là tại sao có lời giải đẹp như vậy??     

Xuất phát từ BĐT Nesbit $P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\Rightarrow P+3=(\frac{a}{b+c}+1)+(\frac{b}{a+c}+1)+(\frac{c}{a+b}+1)=(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq (a+b+c)\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}$

Cần thêm vào anh tử 1 lượng nhất định sao cho tạo ra đc nhân tử $(a+b-c)+(b+c-a)+(a+c-b)=a+b+c$ y chang anh mẫu.Bước tiếp theo sẽ đưa về dạng tích và khử mất mẫu rồi .......

 

Câu 3 giải pt 

ĐK : $x\geq -2$

Khi đó pt đã cho :

$\Leftrightarrow (\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x+5}+\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10})=3(\sqrt{x+5}+\sqrt{x+2})$

$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x^{2}+7x+10}=\sqrt{x+5}+\sqrt{x+2}\Leftrightarrow (\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+2}-1)=0$

Giải ra đc đối chiếu đk đc $x=-1$

ket qua sai roi em than yeu

tam giác ABC nội tiếp (O).M là trung điểm BC.Kẻ trung tuyến AM có AM=30cm.H là trực tâm tam giác ABC.Đường cao AK.OH=HK=1/4KM.Tính Ak.

$(2ab+3bc+4ca-5abc)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq \frac{1}{3}$  

Cho a,b,c không âm có a+b+c=1CM:
(2ab+3bc+4ca-5abc)(a³+b³+c³)<=1phần 3

Cho a,b,c không âm có a+b+c=1CM:
(2ab+3bc+4ca-5abc)(a³+b³+c³)<=1phần 3

Cho $a,b,c$ là các số dương $a+b+c=1$.CMR:

$$9(a^4+b^4+c^4) \geq (a^2+b^2+c^2)$$

Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/

Đề bài sai rồi bạn giả sử thay $a=1,b=\frac{1}{4},c=\frac{3}{4}$ thì quá sai

Hình như đề đúng phải là $abc\geq \left ( 3-2a \right )\left ( 3-2b \right )\left ( 3-2c \right )=\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )$

không sai bởi vì a+b+c=3 chứ của cậu bằng 2

Cho a,b,c >0 a+b+c=3 Cmr:a²b²c²>=(3-2a)(3-2b)(3-2c)

Cho $a,b,c>0$ và $(a+b)(b+c)(c+a)=1$CMR: $ab+bc+ca \le \dfrac{3}{4}$

Cho $a+b=3,a \le 1$.CM:$b^3-a^3-6b^2-a^2+9b \ge 0$.

Cho 2 đường thẳng $d_1, d_2$ không vuông góc nhau ,cắt nhau tại A;B là điểm cố định không thuộc hai đường thẳng  đã cho;d là đường thẳng thay đổi luôn qua B sao cho d cắt $d_1;d_2$ tại E,F không trùng A.Gọi H,K là hình chiếu vuông góc của E lên $d_2$ và F lên $d_1$.Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định .

cho hv ABCD,M thuoc CD,qua C ke duong thang  vuong goc voi AM tai H.BH cat AC tai K.Cmr : a,MK vuong goc voi 1 duong thang co dinh khi M   chay tren CD

b,Tam duong tron ngoai tiep tu giac DMK nam tren duong thang co dinh