Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4.Cmr:

$3(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})^2\geq (x+2)(y+2)(z+2)$

Đề Bắc Giang à

$\left\{\begin{matrix} x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3+y+2=0 & \\ \sqrt[3]{y^2-3}-\sqrt{xy^2-2x-2}+x=0 & \end{matrix}\right.$

Nếu phương trình (1) viết lại như sau: $x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3-y+2=0$

Đặt: $a=\sqrt{x^2+2},a>0$

Viết lại phương trình (1): $(y-a)[y^2+2(a+1)]=0$

Do điều kiện nên: $y^2+2(a+1)>0$

Suy ra: $y^2-x^2=2$

Từ đó thế vào (2) ta giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

Ta được x=3.

Do y>0 Nên $y=\sqrt{11}$

Chắc có chút nhầm lẫn với đề chuyên Hà Tĩnh

Bài 156

Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn:  $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+z^2}=5$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=x^3+y^3+2z^3$

Muôn đời thích Hà Lan và Đức  

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

Nhìn bạn bên trên giải mà sợ quá.

Bài này quy đồng lên là xong chứ sao.

Nhân 2 vế với (a+b+c) ta được:

$3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}+9\geq 4(3+\sum \frac{a}{b+c})\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})\geq \sum \frac{4a}{b+c}$ (luôn đúng theo cosi)

Bài 141:

Cho $0\leq a\leq b\leq 1\leq c$ và  $2b^2+c^2+4(2a+b+c)=18$

Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2-\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}$

Chỉ cần sách đủ hay để mình thích đọc là sẽ tập trung. Khi đấy càng đọc sẽ càng tập trung. Trừ khi mình không cảm nhận được cái hay của nó thôi

CHo a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ac=1$

CMR                 $\large a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)}$

Áp dụng bunhia:

$VP=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+ac}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(2ab+2ac+2bc)}=\sqrt{2(a+b+c)}=VT$

Bài 51

Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{((4x-1)y-x)^2}$

Giải hệ

$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2-y+2)=(y-1)(2+\frac{1}{x-y}) & \\ x+1=\sqrt{\frac{1}{2y^2}+x^2}+\sqrt{\frac{x}{y}} & \end{matrix}\right.$

Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất:

$p=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{((4x-1)y-x)^2}$

Giải phương trình:

$\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[4]{x+79}$

Lớp 10 có 7 nam, 6 nữ

Lớp 11 có 5 nam, 8 nữ

Tính xác suất chọn 4 em sao cho có đủ nam nữ và đủ lớp 10 và 11

Cho a, b, c dương.

Tìm min

$P=\frac{1}{4a+2b+4\sqrt{2bc}}-\frac{4}{a+2b+3c+8}+\frac{1}{b+2c+4}$

1.PNG2.PNG

Trong bộ ba câu phân loại

Nhưng có cách làm đại số không?

Tìm GTNN của

$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$

Em nghĩ đề là : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng  :

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}\geq 28$

Giải (theo đề sửa) : 

_ Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có : 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 27$

_ Có đánh giá quen thuộc : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq 1$

_ Bình phương BĐT 2 lên rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

_ Dấu "=" khi : $a=b=c$

Đề đúng rồi đấy, không đơn giản dùng cosi ra luôn được đâu.

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b+c)^3}{abc}+(\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2})^2\geq 28$

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãm: $4(x+y+z)=3xyz$

Tìm max của
$\frac{1}{2+x+yz}+\frac{1}{2+y+zx}+\frac{1}{2+z+xy}$

$(x-1)(y-1) \ge 0 \Rightarrow xy + 1 \ge x+y $
Tương tự $ yz + 1 \ge y+z $ và $ zx + 1 \ge z+x $
Cộng các vế vào ta được $ xy+yz+xz +3 \ge 2(x+y+z) $
Vì $ xyz \leq 1 $ nên $ 2(x+y+z) \ge ( 1+xyz)(x+y+z) $
Do đó : $xy+yz+xz +3 \ge (1+xyz)(x+y+z) $ $ \Leftrightarrow \[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \leq 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\] $
 

Chia hai vế cho xyz đoạn cuối thì $\frac{3}{xyz}\geq 3$ mà. Không suy được.

Tìm nguyên hàm:

$\int \frac{e^xdx}{x}$

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1, biết $x^{2} + 2xy + 7(x+y) + 2y^{2} + 10 = 0$

Từ giả thiết suy ra: 

$(x+y)^2+7(x+y)+10=-y^2\leq 0\Leftrightarrow -5\leq x+y\leq -2\Leftrightarrow -4\leq A\leq -1$

Kết luận $MinA=-4$ khi $x=5$, $y=0$

              $MaxA= -1$ khi $x=-2$, $y=0$

Cho: $x^2+y^2+z^2=9$ $xyz\leq 0$

Chứng minh: 

$2(x+y+z) -xyz\leq 10$

Giải phương trình:

$x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2+x+1}})$