Bài 1: Cho a,b,c>0; a+b+c=3. Chứng minh rằng:

 $\Sigma \frac{a}{1+(b+c)^{2})}\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+12abc}$

Bài này thoạt nhìn có vẻ "lạ lẫm" nhưng sau khi phân tích thì thấy rất đỗi quen thuộc

Rõ ràng theo điều kiện c) thì ta chỉ cần xét với $n$ chẵn $n=2m$

Khi đó thì bộ $(x_1, x_2, ..., x_n)$ có đúng $m$ số $1$ và $m$ số $-1$

Cho tương ứng số $1$ bởi vecto $\vec{u}=(1,0)$ và số $-1$ bởi vecto $\vec{v}=(0,1)$

Như vậy mỗi bộ $(x_1, x_2, ..., x_n)$ tương ứng với một con đường đi từ điểm $O(0,0)$ đến điểm $M(m,m)$ bởi các vecto đơn vị sao cho đường đi không vượt qua đường thẳng $y=x$

Số cách đi như vậy chính là số Catalan $C_m=\dfrac{(2m)!}{m!(m+1)!}$

Bạn có thể giới thiệu mình chỗ để tìm hiểu về số Catalan được không?

Cho n nguyên dương sao cho 2n+1 và 3n+1 là 2 số nguyên tố.

chứng minh n chia hết cho 8

 Bạn ơi đề có vấn đề rồi với n=6 thì 2n+1=13 và 3n+1=19 đều là số nguyên tố

ta chia 2008 số hạng đầu tiên thành các cặp (0,2008);(1,2007);...(1004,1004) ta có tổng cộng 1005 cặp số. Mà tổng số phần tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008 nên tồn tại ít nhất 1 tập hợp có số phần tử lớn hơn 1004. Gọi số phần tử của tập có ít phần tử hơn (A) là a thì tập còn lại (B) có ít nhất 2009-2a phần tử khác A. ta loại đi a phần tử có trong 1005 cặp còn 1005-a cặp ko chứa phần tử nào của A. Mà 2009-2a $\geq $1005-a nên B tồn tại 1 phần tử thuộc a cặp ban đầu. Từ đó suy ra cặp đó chứa 2 phần tử thỏa mãn.

Cho 2 tập hợp A và B thỏa mãn:

i, Mỗi phần tử của cả 2 phần tử đều nhỏ hơn hoặc bằng 2008

ii, Tổng số phàn tử của 2 tập hợp lớn hơn 2008

CMR: tồn tại 2 phần tử ở 2 tập hợp trên mà tổng của chúng = 2008

Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu bộ thứ tự ($x_{1}$;$x_{2}$;...;$x_{n}$) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đầy:

     a) $x_{i}\epsilon$ {-1;1}  với mọi i=1,2,3,...n

     b) $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}\geq 0$ với mọi k=1,2,3...n

     c) $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=0$

đặt ${H_{n}}=\sqrt{2*\sqrt{2*\sqrt{2*....\sqrt{2}}}}$

với n dấu căn, dấu * thay bằng 1 trong hai dấu $+$  hoặc $-$

ta có $h_{1}={\sqrt{2}}$, $h_{2}={\sqrt{2+\sqrt{2}};\sqrt{2-\sqrt{2}}}$

hỏi $h_{n}$ có bao nhiêu phần tử

bạn xem có hiểu được không?

Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu bộ thứ tự ($x_{1}$;$x_{2}$;...;$x_{n}$) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đầy:

     a) $x_{i}\epsilon$ {-1;1}  với mọi i=1,2,3,...n

     b) $x_{1}+x_{2}+...+x_{k}\geq 0$ với mọi k=1,2,3...n

     c) $x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=0$

Với mỗi một số của $h_{n}$ ta có thể thêm dấu + và - vào chỗ * để được một số mới của $h_{n+1}$. Như vậy $h_{n+1}$ sẽ luôn có số phần tử gấp đôi $h_{n}$.

Từ đó số phần tử của $h_{n}$ sẽ là một cấp số nhân với công sai là 2.

Suy ra $h_{n}$=$2^{n-1}$. Ta có số phần tử của $h_{n}$.

phần a là 24 mà, bạn chỉ cần đếm số cách chọn mỗi số a,b,c,d sau đó nhân ra là được. Phần b thì mình nghĩ chắc là đúng rồi.

bài này tớ sẽ giải theo truy hồi. Gọi $a_{n}$ là số cách xếp thảo mãn.

Ta sẽ tính $a_{n+1}$ theo $a_{n}$ và $a_{n-1}$.

Xét 2 điểm $A_{n}$ và $A_{1}$:

     + Nếu 2 điểm cùng màu thì số cách chọn $A_{n+1}$ là 4$a_{n-1}$ vì loại 1 màu của $A_{1}$ chỉ cần đếm số cách xép n-1 điểm còn lại thì có $a_{n-1}$ cách.

     + Tương tự nếu 2 điểm khác màu thì số cách là 3$a_{n}$.. Suy ra $a_{n+1}$=3$a_{n}$+4$a_{n-1}$. Ta chỉ cần tìm $a_{5}$ và $a_{6}$. sau đó tìm công thức của $a_{n}$. Sẽ hơi khó tìm công thức, đây là cách tạm thời mình sẽ cố nghĩ cách khác.

a) ta thấy a có 1 cách chọn, b có 2, c có 3, d có 4 nên số n là: 1*2*3*4=24.

b) Ta có a=1.

+ Nếu b=1:

         + Nếu c=d suy ra p=r=1. q=s=-1

         + Nếu c $\neq$ d suy ra vì a,b lẻ nên c,d cùng tính chẵn lẻ suy ra c=d+2 hoặc d=c+2

+ Nếu b=2:

          Vì a lẻ, b chẵn nên c,d khác tính chẵn lẻ suy ra

                +c=d+1 hoặc d=c+1 ta luôn tồn tại p,q,r,s

                +c=d+3 hoặc d=c+3 ta luôn tồn tại p,q,r,s

Ta có điều phải chứng minh.

Mỗi trường hợp bạn tự tìm p,q,r,s nhá chỉ là 1 hoặc -1.