Cho $m;n$ là hai số nguyên dương khác nhau. Tính

$\lim_{x \to 1}\left ( \dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n} \right )$

 

 $\left\{\begin{matrix} \ x-2y+1=\sqrt{\dfrac{2y^2+xy+5}{x^2+1}+3} & \\x^3+(y-3)x^2+(1-y)x-2y^2+y-8=0 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

17/ $\sqrt[3]{3-x^3}=2x^3+x-3$

Đặt     $t=\sqrt[3]{3-x^3}$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} 2x^3+x-3=t & \\  3-x^3=t^3& \end{matrix}\right.$

Cộng hai pt theo vế $\Rightarrow  x^3+x=t^3+t \iff x=t  \Rightarrow x=\sqrt[3]{3-x^3} \iff x=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}$

Giải PT sau  bằng PP Lượng Giác hóa

 

$ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} )=2+\sqrt{1-x^2}$

ĐKXĐ: $ -1 \le x \le 1$

Đặt $x= cost ; t \in [0; \pi]$

$\Longrightarrow 2\sqrt{1+sint}(\sqrt{2}.sin^3\frac{t}{2}-\sqrt{2}.cos^3\frac{t}{2})=2+sint$

$\Leftrightarrow 2.(sin\frac{t}{2}+cos\frac{t}{2}).\sqrt{2}.(sin\frac{t}{2}-cos\frac{t}{2})(1+sin\frac{t}{2}.cos\frac{t}{2})=2+sint$

$\Leftrightarrow -\sqrt{2}.cost(2+\sint)=2+sint$

$\Leftrightarrow cost=\frac{-1}{\sqrt{2}} ....$

Tham khảo tại đây

theo mình cứ để rainbow99 đăng từ từ thôi. Chắc gì khi dow về đã đọc hết 32 đề cơ chứ! 

đăng lên có khi lại thấy hay hay thì sao?

Bài 1: 2 điểm 

Cho biểu thức: $P=\left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{x-4} \right )(x-4)$ với $x \ge 0; x \ne 4$

1. Rút gọn biều thức P

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2: 2 điểm

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}mx-y=1 (1) & \\ x+my=m+6 (2)& \end{matrix}\right.$ (với $m$ là tham số)

1.Giải hệ phương trình với $m=1$

2. Tìm $m$ để hệ có nghiệm $(x;y)$ thỏa mãn: $3x-y=1$

Bài 3: 2 điểm

1.Cho phương trình bậc hai : $x^2-(2m-1)x+m^2-m-6=0$ ($m$ là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ với mọi giá trị của $m$. Tìm $m$ để: $-5<x_1<x_2<5$

2.Giải phương trình: $(x+2)(x-3)(x^2+2x-24)=16x^2$

Bài 4: 3.5 điểm

Cho $\Delta ABC$ đều có đường cao $AH$. Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $M$ nằm ngoài đoạn $BC$ sao cho $MB > MC$ và hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$ là $P$ ($P$ nằm giữa $A$ và $B$). Kẻ $MQ$ vuông góc với đường thẳng $AC$ tại $Q$

1. Chứng minh bốn điểm $A;P;Q;M$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm $O$ của đường tròn đó.

2. Chứng minh: $BA.BP=BM.BH$

3. Chứng minh: $ OH \bot PQ$

3. Chứng minh: $PQ > AH$

Bài 5: 0.5 điểm

Giải phương trình:

$\sqrt{2x+\dfrac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\dfrac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$

Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác BD;CEtrong của góc B và C lần lượt là $x-2y+1=0$  và $x+y+3=0$. Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

 • từ A kẻ $AH \bot BD$ ; cắt BC tại M 

$\Rightarrow$ H là trung điểm của AM

♠viết pt AM  đi qua A và vuông góc với BD

♠$H=BD \cap HM \Rightarrow$ tọa độ I 

♠ H là trung điểm của AM $\Rightarrow$ tọa độ M thuộc BC

tương tự với CE, tìm được $N \in BC$

• BC qua M;N

$(3x+4y)^2 \leq (3^2+4^2)(x^2+y^2)=25^2 \Rightarrow \left | 3x+4y \right | \leq 25$

 

3) Rút gọn các biểu thức

$A=\frac{sinx+sin2x+sin3x+sin4x}{cosx+cos2x+cos3x+cos4x}$

 

$B=\frac{sin3x+2sin4x+sin5x}{sin2x+2sin3x+sin4x}$

 

 

$A=\frac{sinx+sin2x+sin3x+sin4x}{cosx+cos2x+cos3x+cos4x} =\frac{(sinx+sin4x)+(sin2x+sin3x)}{(cosx+cos4x)+(cos3x+cos2x)} =\frac{2.sin\dfrac{5x}{2}.cos\dfrac{3x}{2}+2.sin\dfrac{5x}{2}.cos\dfrac{x}{2}}{2.cos\dfrac{5x}{2}.cos\dfrac{3x}{2}+2.cos\dfrac{5x}{2}.cos\dfrac{x}{2}} =\frac{sin\dfrac{5x}{2}}{cos\dfrac{5x}{2}}=tan\frac{5x}{2}$

B tương tự

Chứng minh: $Cos\frac{2\pi}{9}.cos\frac{4\pi}{9}.cos\frac{8\pi}{9}=\frac{-1}{8}$

đây là bài toán ngược với bài toán đưa ra. tập nghiệm cần tìm = R - tập nghiệm của bài toán ngược.

b)$\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 & & \end{matrix}\right.$

• $y=0 \Rightarrow  x=0$ là nghiệm của hệ 

• $y \ne 0$

$\left\{\begin{matrix} xy^{2}-2y+3x^{2}=0 & & \\ y^{2}+x^{2}y+2x=0 & & \end{matrix}\right. $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2.\dfrac{1}{y}+3.(\dfrac{x}{y})^2=0 & \\ 1+x^2.\dfrac{1}{y}+2x.(\dfrac{1}{y})^2=0 & \end{matrix}\right.$

$t=\dfrac{1}{y}$

$\left\{\begin{matrix} x-2t+3t^2x^2=0 & \\ 1+x^2t+2xt^2=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t^2x^2=2t-x & \\ x^2t+2xt^2=-1 & \end{matrix}\right. $

$\Rightarrow (2t-x)(x^2t+2xt^2)=-3t^2x^2$

Nhân ra và đưa về đồng bậc

Xét x=0 không phải nghiệm

 

Chia hai vế pt cho $x^2$

 

$x^2+mx+1+m\dfrac{ 1}{x}+\dfrac{ 1}{x^2}=0 \\ \left (x+\dfrac{1}{x} \right )^2+m \left (x+\dfrac{ 1}{x} \right ) -1 =0 *$

 

đặt $t=x+\dfrac{ 1}{x}   ; |t|  \ge 2$

 

pt: $t^2+my-1=0$ có nghiệm $  |t|  \ge 2$

 

Xét bài toán:  Tìm m để pt không có  nghiệm  $ |t|  \ge 2$  

 

• pt vô nghiệm 

 

• pt có nghiệm $-2 < t_1 \le t_2 <2$

 

Vậy ...............

 

 

 

 

 

 

Gọi $x_0$ là một nghiệm của pt: $\sqrt{x_0-5}+\sqrt{9-x_0}=m$
 

2. 

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

 

 

2/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e) $

$\Leftrightarrow (\dfrac{1}{4}a^2-ab+b^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ac+c^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ad+d^2)+(\dfrac{1}{4}a^2-ae+e^2) \geq 0$
$ \Leftrightarrow (\frac{1}{2}a-b)^2+(\frac{1}{2}a-c)^2+(\frac{1}{2}a-d)^2+(\frac{1}{2}a-e)^2 \geq 0$ (lđ)

 

 

 

 

 

dùng phương pháp đánh giá . Tham khảo tại đây

 

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3$

 

Ta có: $a^2+2b+3=a^2+2b+1+2 \geq 2(a+b+1)$

 

Tương tự ta được:

 

$VT \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1} + \dfrac{c}{c+a+1)}$

 

Ta sẽ cm $\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{b+c+1}+\dfrac{c}{c+a+1} \leq 1$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{-b-1}{a+b+1}+\dfrac{-c-1}{b+c+1}+\dfrac{-a-1}{c+a+1} \leq -2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{b+1}{a+b+1}+\dfrac{c+1}{b+c+1}+\dfrac{a+1}{c+a+1} \geq 2$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}+\dfrac{(c+1)^2}{(c+1)(b+c+1)}+\dfrac{(a+1)^2}{(a+1)(c+a+1)} \geq 2$ (*)

 

Theo Cauchy-Schwarz: 

 

$VT(*) \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3}$

 

Mà $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b+c)+3\leq \dfrac{1}{2}[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9]$

 

$\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2$

 

$\Rightarrow VT(*) \geq 2=VP(*)$

 

Vậy bđt được cm

 

Nguon HM

 

chỗ màu đỏ sai dề thì phải.

ở mẫu là $a$ chứ không phải $a^2$

Tham khảo tại đây

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=4\Rightarrow (x+y+z)^{2}=4\Rightarrow x+y+z=\pm 2$

Xét trường hợp 1: $x+y+z=2\Rightarrow y+z=2-x$

Tự phương trình thứ 2 ta có $yz=1-x(y+z)=1-2x+x^{2}$

Vậy y, z là hai nghiệm của phương trình bậc hai $t^{2}-(2-x)t+1-2x+x^{2}=0$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0\Rightarrow -3x^{2}+4x\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{4}{3}$

Tương tự ta có $0\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$. Kết hợp với giả thiết ta có nghiệm

Xét trường hợp 2: Tương tự

nếu vậy thì sau khi kết hợp 2 trường hợp ta lại được $\dfrac{-4}{3}\leq x;y;x \leq \dfrac{4}{3}$ là điều kiện bài cho !

vậy có thể kết luận rằng với đk bài cho thì hệ có vô số nghiệm