$M= (5+2\sqrt{6})^{1004}+(5-2\sqrt{6})^{1004}=a^{1004}+b^{1004}$

  Ta có: $a^{2}=10a-1; b^{2}=10b-1$

  Đặt: $s_{n}=a^{n}+b^{n}$

 $a^{n+2}+b^{n+2}=10.(a^{n+1}+b^{n+1})-(a^{n}+b^{n})$

  $\Rightarrow s_{n+2}=s_{n+1}.10+s_{n}$

$\Rightarrow (s_{n}+s_{n+2})\vdots 10$

 Tương tự $(s_{n+2}+s_{n+4})\vdots 10$

$\Rightarrow (s_{n+4}-s_{n})\vdots 10$

Ta có: $s_{0}=2; s_{1}=10$

$\Rightarrow s_{2}; s_{3}; ...s_{n}$ là các số tự nhiên và $s_{0}; s_{4}; ...s_{4n}$ có chữ số tận cùng là 2

$\rightarrow$ M là số tự nhiên và có chữ số tận cùng là 2

Đặt : $A= n^{6}+n^{4}-n^{3}+1$

         $\Rightarrow 4A= 4n^{6}+4n^{4}-4n^{3}+4$

Ta có: $(2n^{3}+n)^{2}= 4A+4n^{3}+n^{2}-4> 4A$

           $(2n^{3}+n-2)^{2}=4A-(4n^{3}-n^{2}+4n)< 4A$

 $\Rightarrow 4A=(2n+n+1)^{2}$

 $\Rightarrow n^{2}-2n+1=4\rightarrow n=3$

Trong dãy 1;3;5;...;199 có 45 số nguyên tố. 

Vậy chọn k=46 thỏa mãn đề bài

CM đc: 2n+1 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau

         Đặt $A= a_{1}^{x_{1}}.a_{2}^{x_{2}}...a_{m}^{x_{m}}$

                 $B=(x_{1}+1)(x_{2}+1)...(x_{m}+1)$

Nếu B lẻ 

$\Rightarrow x_{1};x_{2};...;x_{m}$ chẵn

$\Rightarrow$ A là số chính phương.

    Vì 2n+1 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau nên 2n+1 và 3n+2 là số chính phương.

    Vô lí vì 3n+2 chia 3 dư 2

$\Rightarrow$ B chắn

    $\Rightarrow$ Số lượng ước dương của A là chẵn nên tích của chúng là số chính phương

2, Kẻ OI vuông góc CD$\Rightarrow IC=ID; IH=IK$

    $\Rightarrow HC=DK$

       Ta có: $\angle ACB=90^{\circ}\Rightarrow \angle ACD> \angle ACB= 90^{\circ}$

                  $\Rightarrow \angle ACD$ tù nên H nằm ngoài đường tròn

       Tương tự với K

3, $2^{m-1}$ là số nguyên tố$\Rightarrow m-1=1\Rightarrow m=2$ (là số nguyên tố)

 

    Mình nghĩ có thể đề là  cho: $2^{m}-1$ là số nguyên tố, nếu đề như của bạn thì dễ quá!!!

2, $\overline{ab}; \overline{ac}$ là số nguyên tố nên b,c lẻ và b,c khác 5

$b^{2}=\overline{cd}+b-c=9c+b+d$

$\Rightarrow b^{2}> 9\Rightarrow$ b=7 hoặc 9

Nếu b=7$\Rightarrow 42=9c+d\Rightarrow 33\leq 9c\leq 42$

             $\Rightarrow$ Loại vì c lẻ

Nếu b=9$\Rightarrow 72=9c+d\Rightarrow 63\leq 9c\leq 72\Rightarrow c=7; d=9$

   Thử lại: đúng $\Rightarrow \overline{abcd}=1979$

Với y=0;1(loại)

       y=2 $\Rightarrow x=1$

Với y>2 $\Rightarrow 2^{y}\vdots 8\Rightarrow 5^{x}\equiv 1(mod 8)$

     $\Rightarrow x chẵn$. Đặt x=2k

 

   $\Rightarrow (5^{k}-1).(5^{k}+1)=2^{y}$

   Đặt:$5^{k}+1=2^{a}$

          $5^{k}-1=2^{b}$   (a>b)

 $\Rightarrow 2^{a}-2^{b}=2\Rightarrow a=2; b=1$

Thử lại : loại

Vậy x=1; y=2

Họ tên : Nguyễn Phương Thảo Vy

Nick trong diễn đàn: NPTV1207

Năm sinh: 2001

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS

Tìm các số tự nhiên a, b, c biết:

   $a^{2}=a+b-2c+2d+e-8$

   $b^{2}=-a-2b-c+2d+2e-6$

   $c^{2}=3a+2b+c+2d+2e-31$

   $d^{2}=2a+b+c+2d+2e-2$

   $e^{2}=a+2b+3c+2d+e-8$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Ta có: ${S_{MCD}}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$
Suy ra ${S_{MCD}}$ không đổi
=> Tứ giác $CPQD$ có diện tích nhỏ nhất khi tam giác MPQ có diện tích lớn nhất
Ta có: $\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MDP}}.\frac{S_{MPD}}{S_{MCD}}= \dfrac{MQ}{QD}.\dfrac{MP}{PC}\leq \frac{ (\frac{MQ}{QD}+\frac{MP}{PC})^{2}}{4}$

= $\frac{S_{MCD}}{4}$

Vậy min $$S_{MPQ}=S_{ABCD}:4$$ khi $\frac{MP}{PC}= \frac{MQ}{QD}\Rightarrow \frac{MB}{CD}= \frac{AM}{CD}\Rightarrow$ M là trung điểm AB

$\frac{S_{MPQ}}{S_{ABCD}}=\frac{S_{MPQ}}{S_{MCD}}.\frac{S_{MCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{8}$

Vậy Min $S_{MPQ}=\frac{S_{ABCD}}{8}$

$\Rightarrow$ Max $S_{CPQD}=\frac{7}{8}.\frac{S}{ABCD}$

Cho $x, y \geq0; x+y \leq5$

Tìm $Min P =\frac{4x+y}{xy}+\frac{2xy-y^{2}}{4y}$

$P=\frac{4}{y}+\frac{1}{x}+\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=(\frac{4}{y}+\frac{y}{4})-(\frac{y}{2}+\frac{x}{2})+(x+\frac{1}{x})\geq \frac{3}{2}$

Dau "=" xay ra khi x=1; y=4

Tìm Min $M=x^{2}+y^{2}-xy-x+y+1$

$M= (\frac{x^{2}}{4}-\frac{2x}{4}+\frac{1}{4})-2.\frac{x-1}{2}.y+y^{2}+(\frac{3}{4}.x^{2}-\frac{x}{2}+\frac{3}{4})$

=$(\frac{x-1}{2}-y)^{2}+\frac{1}{4}.(3x^{2}-2x+3)$

$(\frac{x-1}{2}-y)^{2}+\frac{1}{4}.(\sqrt{3}.x-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}$

Dau "=" xay ra khi x=1/3; y=-1/3

b) -Lấy M là giao 3 đường phân giác trong tam giác BDC.
-Ta có: góc EFB= góc BFM= góc CFM= góc DFC= 60 độ.
-Và góc FEB= góc FBM (=20 độ); góc DCF=góc FCM (=10 độ).
=> tam giác FEB= tam giác FMB (g.c.g)
  và tam giác DFC= tam giác MFC (g.c.g).
=> EF=FM và FM=FD.
=> tam giác DEF cân tại F.

Bạn bị nhầm vài chỗ.
M là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác BFC (không phải BDC)
Góc FBE=góc FBM =20 độ.

Cho $\Delta ABC$ có AB=AC
$AE\perp BC$$(E\epsilon BC)$
$BH\perp AC (H\epsilon AE)$
Biết $\frac{HA}{HE}=8$
BI là phân giác của $\widehat{ABE}$$(I\epsilon AE)$
Tính $\frac{IA}{IE}$

Ta có: AE/HE=9.
Tam giác BHE đồng dạng tam giác ABE
=> HE/BE=BE/AE=BH/AB => AE.HE=BE^2 => BE^2=9.HE^2
=> BH^2=10.HE^2=>BH = (căn10).HE
=> AI/IE=AB/BE=BH/HE= căn10

Bài 2 O là trung điểm BC đúng không?

EBD cắt Cx tại F là như nào bạn cho đề chẳng rõ ràng gì cả

Chắc là AD cắt Cx tại E, BD cắt Cx tại F

Với mọi n thì phân số ở đề bài là phân số tối giản thì phải có 3976 số thỏa mãn theo đề bài chứ không phải là 0

Bạn đọc kĩ lại đề đi.

Thế thì bạn phải giải cụ thể $n$ bằng bao nhiêu chứ nói chung chung $n^2+2 \ \vdots 7$ thì ai chẳng làm được

Số chính phương không chia 7 dư 5 nên (n^2+2) không chia hết cho 7.
Vậy không tìm đc n.

Cho $x,y,z>0;x^2+y^2+z^2=1$

Tìm Min $\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}$

$\sum \frac{x^{3}}{y+2z}=\sum \frac{x^{4}}{yx+2zx}\geq \frac{ x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3(xy+yz+xz)}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\frac{1}{3}$

Dau "=" xay ra khi x=y=z=$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 

(BDT Bu-nhi-a-cop-sky dang phan thuc)

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$ có đường cao AH sao cho $ẠH=HC$. Trên AH lấy I sao cho $HI=BH$. Gọi P,Q là trung điểm của BI và AC. Gọi N,M là hình chiếu của H trên AB và IC; K là $ CI \cap AB$, D là $BỊ \cap AC$ 

a,Chứng minh I là trực tâm của $\Delta ABC$

b,HNKM là hình vuông 

c,N,P,M,Q thẳng hàng

a,$\angle ACB=\angle IBC=45^{\circ}\Rightarrow \angle BDC=90^{\circ}$

AI vuông góc BC$\Rightarrow I$ là trực tâm của tam giác ABC

b,$\triangle IHM=\triangle BHN(g.c.g)\Rightarrow NH=MH$

 HNKM là hình vuông

c, CM: NP; MQ; NQ đều //KD

    P là trung điểm BI nên HP vuông góc BD $\Rightarrow HP//CD$

    Ta có: $\frac{BN}{BK}=\frac{BP}{BD}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow NP//KD$

    Tương tự với MQ. 

$\frac{AK}{MH}=\frac{AD}{PH}=\frac{AI}{IH}\rightarrow \frac{AK}{NK}=\frac{AD}{DQ}\rightarrow KD//NQ$

$\frac{2a+1}{(a^{2}+a)^{2}}=\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{(a+1)^{2}}$

$\Rightarrow M=1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{2015^{2}}-\frac{1}{2016^{2}}$$=1-\frac{1}{2016^{2}}< 1$

Cho $x,y,z\epsilon Z$ thỏa mãn $x+y+z\vdots 6$

Chứng minh $M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz \vdots 6$

$M=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Mà: $(x+y+z)^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y)+6xyz\vdots 6$

Ta có: $x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y\vdots 2$ (xét các trường hợp x;y;z chẵn lẻ)

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots 6\Rightarrow M\vdots 6$

Cho tam giác $ABC$ đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N,I,K$ lần lượt là hình chiếu $D$ trên $AB,AC,BE,CF$.
A. Chứng minh $EH$ là phân giác góc $DEF$
B. Chứng minh bốn điểm $M,N,I,K$ thẳng hàng

Bài này đã có ở http://diendantoanho...p-q-thẳng-hàng/

Đề có sai ở đâu ko bạn?