Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{cos x + cos y + cos z}{cos (x+y+z)} = \frac{sin x + sin y + sin z}{sin (x+y+z)} = p$ . Tính giá trị của: $cos (x+y) + cos(y+z)+cos(z+x)$.

Đề bài: Tìm $n\in N$ để $A=3^{2n}+3^n+1\vdots 13$.

Lời giải.

- Nếu $n=3k$ ($k\in N$). Ta có:

$A=3^{6k}+3^{3k}+1$. 

Mặt khác: $3^{6}\equiv 1$ (mod $13$) $\Rightarrow 3^{6k}\equiv 1$ (mod $13$).

                 $3^{3}\equiv 1$ (mod $13$) $\Rightarrow 3^{3k}\equiv 1$ (mod $13$).

Do đó $A\equiv 3$ (mod $13$) $\Rightarrow$ với $n=3k$ thì $A$ không chia hết cho $13$.

- Nếu $n=3k+1$. Ta có:

$A=3^{6k+2}+3^{3k+1}+1=9.3^{6k}+3.3^{3k}+1\equiv 0$ (mod $13$).

$\Rightarrow$ với $n=3k+1$ thì $A$ chia hết cho $13$.

- Nếu $n=3k+2$. Ta có:

$A=3^{6k+4}+3^{3k+2}+1=81.3^{6k}+9.3^{3k}+1\equiv 0$ (mod $13$).

$\Rightarrow$ với $n=3k+2$ thì $A$ chia hết cho $13$.

Vậy với $n=3k+1$ hoặc $n=3k+2$ thì $A$ chia hết cho $13$.

Mọi người cho em hỏi là vì sao lại xét 3 trường hợp cụ thể như trên mà lại không xét các trường hợp như $n=2k$, $n=2k+1$, $n=4k$, $n=4k+1$, $n=4k+3$, $n=4k+4$,... ạ?

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Gọi $P,Q$ là các điểm nằm trên đường tròn $(O;R)$ sao cho $PA^2+PB^2+PC^2$ đạt giá trị lớn nhất và $QA^2+QB^2+QC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. CMR trực tâm $H$ của tam giác $ABC$, $P$, $Q$ thẳng hàng.

Cám ơn tác giả nhiều file làm lại ở đây!  http://www.mediafire...Casio_-_BTV.pdf

Cho em hỏi bạn làm cách nào chuyển thành file pdf thế ạ?

 

2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn các điều kiện $0<x\leq y\leq 2,2x+y\geq 2xy$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=x^2\left ( x^2+1 \right )+y^2\left ( y^2+1 \right )$$

 

 

Ai giải bài này bằng phương pháp nhóm Abel giúp em được không ạ?

Nguồn: Thầy Hồng Trí Quang.

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

                  $P=\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}$

Giải hệ phương trình:  $\left\{\begin{matrix} 2x=y^3+y^2& & & \\ 2y=z^3+z^2& & & \\ 2z=x^3+x^2& & & \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,n$ thỏa mãn:     $n^2+3n+1=5^x$

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa mãn:  $2a^2+ab+2b^2=2c^2+cd+2d^2$.

Chứng minh rằng $a+b+c+d$ là hợp số.

Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                      $A=\frac{2(a+b)^2}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^2}{2b+c}+\frac{(2c+a)^2}{c+2a}$

 

Bài 2:

        a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.

      

- Trường hợp 1: $x$ là số chẵn.

Vì $3^x$ và $5^y$ là số lẻ suy ra $z^3$ chẵn suy ra $z$ chẵn. Do đó $8\mid z^3$. 

Đặt $x=2k\Rightarrow 3^x=9^k\equiv 1$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 7$ (mod 8)

+ Nếu y lẻ, đặt $y=2m+1\Rightarrow 5^y=5.25^m\equiv 5$ (mod 8)

+ Nếu y chẵn, đặt $y=2m\Rightarrow 5^y=25^m\equiv 1$ (mod 8)

Do đó $5^y$ không thể chia 8 dư 7. Vậy $x$ chẵn loại.

- Trường hợp 2: $x$ là số lẻ.

+ Nếu $x=3k\Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow 3^x+5^y=27^k+5^y=(28-1)^k+5^y=BS(7)+(-1)^k+5^y=BS(7)+5^y-1$

Ta luôn có $z^3$ chia 7 chỉ có thể có số dư là $0,1,6$ $\Rightarrow 5^y\equiv 0,1,2$ (mod 7)

$z^3$ chia hết cho 8 mà k lẻ suy ra $27^k\equiv 3$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 5$ (mod 8) $\Rightarrow y$ lẻ.

Vì $y$ lẻ nên $5^y\equiv 3,5,6$ (mod 7). Do đó $x=3k$ loại

*Còn trường hợp $x=3k+1$ và $x=3k+2$ nữa mình chưa làm được, nhờ mọi người góp ý nhé. 

Tìm số chính phương $\overline{abcd}$ biết rằng $\overline{ab}-\overline{cd}=1$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:

              $\sqrt{\frac{(a+b)^3}{a+1}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{b+2}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{c+3}}\geq 12$

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$a^2b+b^2c+c^2a\geq \frac{9a^2b^2c^2}{1+2a^2b^2c^2}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x,y,z để:    $3^x+5^y=z^3$

Có bạn nào có chuyên đề về "định lí Vành Gauss" dành cho THCS cho mình xin, mình cảm ơn nhiều !

$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$

Bước cuối cùng trước đpcm làm như thế có ổn lắm không bạn ?

 

Theo AM-GM ta có:

$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Cụ thể AM-GM thế nào bạn?

Ta có $AP\perp AQ$ =>APHQ là hình chữ nhật
AH cắt PQ tại F =>F là trung điểm AH, PQ
OH cắt PQ tại I'
có $\widehat{AOC} =2\widehat{ABC}$
<=>$180^\circ -\widehat{OAC} -\widehat{OCA} =2\widehat{ABC}$
<=>$180^\circ -2\widehat{OAC} =2(90^\circ-\widehat{BAH})$
<=>$90^\circ -\widehat{OAC} =90^\circ -\widehat{BAH}$
<=>$\widehat{OAC} =\widehat{BAH}$
<=>$\widehat{CAD} -\widehat{OAD} =\widehat{BAD} -\widehat{HAD}$
<=>$\widehat{OAD} =\widehat{HAD} =\widehat{QPA}$
=>QP //OA mà F trung điểm AH
=>I' là trung điểm OH =>I' trùng I
=>đpcm

Cảm ơn bạn nhiều !

Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Gọi $AD,AE$ lần lượt là phân giác trong và ngoài của $\Delta ABC$  ($D,E\in BC$). Từ $H$ kẻ $HP\perp AD (P\in AD)$ và $HQ\perp AE (Q\in AE)$ .Gọi $I$ là trung điểm của $OH$. Chứng minh rằng 3 điểm $P,Q,I$ thẳng hàng.

Đây là đề thi thử ams hôm 3/4 mà? mình cũng vừa đăng một bài bđt lên này http://diendantoanho...12/#entry624624

Bài bất dễ rồi cậu, nhưng bài này thì khó !

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn phương trình: $\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=4$

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãm $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}+\frac{b}{2b^2+c^2+3}+\frac{c}{2c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}$