Sao lại thế nhỉ, phải là:
$-1\leq cos3x\leq 1;-1\leq sinx\leq 1$
Đã sửa r ạ :v Mình rõ nhầm :v
Có 153 mục bởi iloveyouproht (Tìm giới hạn từ 04-05-2020)
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-08-2017 - 16:03 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Sao lại thế nhỉ, phải là:
$-1\leq cos3x\leq 1;-1\leq sinx\leq 1$
Đã sửa r ạ :v Mình rõ nhầm :v
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-08-2017 - 10:27 trong Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Giải:
$2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0$
Ta có : $2cos2xcosx-cosx-sinx-2=0 <=>cos3x+cosx-cosx-sinx=2 <=>cos3x-sinx=2$
Mà $-1\leq cos3x;sinx\leq 1$
Nên Muốn VT=VP -> $\left\{\begin{matrix} cos3x=1 & & \\ sinx=-1 & & \end{matrix}\right.$
Đến đây b tự giải lấy nghiệm nhá
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-07-2017 - 16:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{2}{3}$
Bđt sai vs đ c=0,02 còn a=b=20 Bài này b chắc chế từ :
Cho a, b, c >0 thỏa abc=8 . CMR : $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$ Đúng không ?
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-07-2017 - 15:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \geq 1$
Bài 2. Cho a, b , c > 0 thỏa $a+b+c =1$. Chứng minh rằng
$\frac{a^2+b}{b+c} + \frac{b^2+c}{c+a} + \frac{c^2+a}{a+b} \geq 2$
Bài 3. Cho a, b, c > 0 thỏa $a^2+b^2+c^2 = 3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
1.
Đã gửi bởi iloveyouproht on 05-07-2017 - 22:11 trong Chuyên đề toán THCS
Tài liệu này dc úp trên trang lttk mà giá mua là 50k khá chát. Nên mình đóng thành pdf để mọi người in và dùng free . Nhớ like và share nếu thấy tài liệu bổ ích
tks thím <3
Đã gửi bởi iloveyouproht on 05-07-2017 - 21:05 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài 1
Tìm $maxP=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y\neq0\\ xy(x+y)=x^2-xy+y^2 \end{matrix}\right.$
Bài 2
Tìm $minP=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y>0\\ x+y\leq 1 \end{matrix}\right.$
p/s: hóng lời giải dùng hàm số.
1. ( cách khác )
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-07-2017 - 14:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c > 0 thỏa a+b+c=3. CMR : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}\geq 3$
Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c}{a+b+c^{2}}}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sqrt{(a+b+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c)}}\geq 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c}{\sum a^{2}+\sum a}=\frac{4 \sum a^{2}+2\sum a}{\sum a^{2}+\sum a}=2+\frac{2\sum a^{2}}{\sum a^{2}+3}=2+\frac{2}{1+\frac{3}{\sum a^{2}}}\geq 2+\frac{2}{1+\frac{9}{(\sum a)^{2}}}=3$(đpcm)
Đã gửi bởi iloveyouproht on 27-06-2017 - 21:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3
tìm GTNN của $\sum \frac{a}{b^{3}+ab}$
Ta có ; $\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{b}-\frac{b}{b^{2}+a}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+1)=\frac{1}{b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}$
tương tự . Cộng lại ta được : $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{4a}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}(\sum \frac{1}{a})-\frac{3}{4}\doteq \frac{3}{4}(\frac{9}{a+b+c})-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 25-06-2017 - 22:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho thỏa$a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c\geq \frac{1}{3}$. Chứng minh:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{27}{2}$
B xem lại đề nha . Thử vs a=b=0.01;c=2 thì chỉ riêng $\frac{1}{a+b}=50$ rồi => BĐT sai
Đã gửi bởi iloveyouproht on 25-06-2017 - 22:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c= \sqrt{5}$ . Chứng minh rằng $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)\leq \sqrt{5}$
giả sử c=min(a,b,c)
$P=(b^{2}-a^{2})(b^{2}-c^{2})(a^{2}-c^{2})$ nếu $a\geq b$ thì $P\leq 0$ (BĐT Đúng )
Nếu b>a . Ta có :
$P\leq a^{2}b^{2}(b^{2}-a^{2})$
$P^{2}\leq a^{4}b^{4}(b^{2}-a^{2})^{2}= a^{4}b^{4}(b+a)^{2}(b-a)^{2}\leq 5a^{4}b^{4}(b-a)^{2}$
Mà theo AM-GM : $a^{4}b^{4}(b-a)^{2}\leq \left [ \frac{(b-a)^{2}+ab+ab+ab+ab}{5} \right ]^{5}=\left [ \frac{(a+b)^{2}}{5} \right ]^{5}\leq 1$
=> $P\leq \sqrt{5}$ ( ĐPCM )
Dấu = xảy ra khi $(b-a)^{2}=ab$ và $a+b=\sqrt{5}$ ( cái nhiệm này b tự giải nhá )
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-06-2017 - 08:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giả sử $A,B,C$ là ba góc của một tam giác nhọn.
Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosCcosA}{cosB}}> 2$
Đào mộ ạ :v
____________________________________
BĐT <=> $\sum \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}> 2$
Đặt : $a^{2}+b^{2}-c^{2}=x;b^{2}+c^{2}-a^{2}=z;c^{2}+a^{2}-b^{2}=y$
Ta cần cm : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$
Đúng vì : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}=\frac{xy}{\sqrt{xy.z(x+y)}}\geq 2(\sum \frac{xy}{xy+yz+zx})=2$
Dấu = xảy ra khi một trong các số xy;yz;zx=0 . Điều này không thể do đó :
$\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$ hay : $\sum \sqrt{\frac{CosACosB}{CosC}}>2$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-06-2017 - 21:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
ngắn gọn
$(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 4ab+\frac{a+b}{2}$
mà : $2ab+\frac{a}{2}\geq 2a\sqrt{b}$
$2ab+\frac{b}{2}\geq 2b\sqrt{a}$
=>đpcm
Đã gửi bởi iloveyouproht on 26-04-2017 - 20:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\left ( \frac{1}{( a-b)^{2}}+\frac{1}{( b-c)^{2}}+\frac{1}{( c-a)^{2}} \right )\geq \frac{27}{4}$
bài toán 4 nha b
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-04-2017 - 20:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
2.cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ cmr $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$
đã có ở đây : https://diendantoanh...32/#entry676259
Đã gửi bởi iloveyouproht on 05-04-2017 - 21:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
e nghĩ ko dc đặt ntn.Điều kiện bài toán sẽ bị thay đổi,
đặt được bình thường b à Vì khi mình đặt thì chỉ ở lần 2 mới liên quan đến diều kiện bài toán b ạ
Đã gửi bởi iloveyouproht on 05-04-2017 - 20:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c dương thỏa a+b+c=3. CMR : $\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$
Ta có : P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{1}{1+\frac{b}{a}+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$
Đặt : $\left ( \frac{b}{a};\frac{c}{b} ;\frac{a}{c}\right )->\left ( x;y;z \right )$
=>xyz=1
P=$\frac{1}{x^{2}+x+1}$
Tiếp tục đặt : $\left ( x;y;z \right )->\left ( \frac{np}{m^{2}};\frac{nm}{p^{2}};\frac{pm}{n^{2}} \right )$
Ta đưa bđt về cần cm : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}$
Mà : $\sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}}$
BĐT sẽ được CM nếu chỉ ra : $(\sum m^{2})^{2}\geq \sum m^{4}+\sum m^{2}np+\sum n^{2}p^{2}$
Hay : $\sum m^{2}n^{2}\geq mnp(\sum m)$(bất đẳng thức này đúng theo cauchy)
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-04-2017 - 20:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh
$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\leq \frac{9}{4}$
P=$\sum \frac{a}{a+bc}=\sum \frac{a}{a(\sum a)+bc}=\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}=\frac{2(\sum ab)}{\prod (a+b)}$
Ấp dụng bđt : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$
=> P$\leq \frac{2(\sum ab)}{\frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)}= \frac{9}{4}$(đpcm)
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-04-2017 - 20:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho $a,b,c>0$ .CMR:
$ \frac{a}{\sqrt{2a+b}} +\frac{b}{\sqrt{2b+c}} +\frac{c}{\sqrt{2c+a}} \leq \sqrt{a+b+c}$
Ta có : P=$\frac{a}{\sqrt{2a+b}}\leq \sqrt{(\sum a)(\sum \frac{a}{2a+b})}=\sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b}{2a+b})}= \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\sum \frac{b^{2}}{2ab+b^{2}})}\leq \sqrt{(\sum a)\frac{1}{2}(3-\frac{(\sum a)^{2}}{(\sum a)^{2}})}=\sqrt{\sum a}$(đpcm)
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-04-2017 - 02:57 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng
(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)$\leq$8
Từ giả thiết suy ra : ab+bc+ca=abc . Bạn xem tại đây :
Đã gửi bởi iloveyouproht on 04-04-2017 - 02:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=abc,,,,
Chứng minh rằng $(a+b-c-1)(b+c-a-1)(c+a-b-1)\leq 8$
Đây là đề thi tỉnh em hôm nay ,,đăng lên để mọi người tham khảo @@
Đào mộ
Đặt (x,y,z)->(a-1,b-1,c-1) => x,y,z>0
Ta có :
GT=> $\sum (x+1)(y+1)=\prod (x+1)<=>\sum x+2=xyz$
Ta cần cm : $\prod (a+b-c)\leq 8$
từ GT => $\sum x\geq 6$ => $xyz=\sum x+2\leq \frac{4(\sum x)}{3}$
Hay $\frac{xyz}{\sum x}\leq \frac{4}{3}$
Ta chỉ việc chứng minh : $\frac{xyz}{\sum x}\sqrt{\frac{27xyz}{\sum x}}\geq \prod (x+y-z)$
<=> $27x^{3}y^{3}z^{3}\geq (\sum x)^{3}\prod (x+y-z)^{2}$
Bây giờ lại đặt x+y-z=m ; y+z-x=n ; z+x-y=p => 2x=m+p ; 2y=m+n ; 2z=n+p
Ta đưa bđt về cần cm : $27\prod (m+n)^{3}\geq 512m^{2}n^{2}p^{2}(\sum m)^{3}$
Vì $9\prod (m+n)\geq 8( m+n+p)( mn+np+pm)$
Nên ta chỉ cần cm : $(m+n+p)^{3}( mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}(m+n+p)^{3}$
<=> $(mn+np+pm)^{3}\geq 27m^{2}n^{2}p^{2}$ ( đúng theo cauchy )
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=3
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-04-2017 - 00:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho x,y là 2 số dương thay đổi.tìm gtnn của biểu thức:$s=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$
$S=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}\geq (x+y)^{2}\frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{4xy}{2xy}=6$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-04-2017 - 00:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leq z$ chứng minh rằng:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 01-04-2017 - 15:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c >=0. CMR:
$ \sqrt{\frac{a+b}{c}} + \sqrt{\frac{c+b}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}})$
Cách khác b xem ở đây nhé
Đã gửi bởi iloveyouproht on 30-03-2017 - 14:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
đề là ab+bc+ca+abc=4 ạ, mình viết nhầm nữa ._.
Nếu gt thay đổi thì ta cũng chỉ cần biến đổi thêm chút là đc :v
Từ gt=>abc$\leq 1$
Ta có bđt phụ : $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(\sum ab)$ (*)
Chứng minh (*): https://diendantoanh...bc1geq-2abbcca/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : $3(\sum a^{2})+abc=\frac{1}{2}\left [ 6(\sum a^{2})+2abc \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 5(\sum a^{2})+2(\sum ab) -1\right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 7(\sum ab) -1\right ]= \frac{1}{2}\left [ 7(4-abc) -1\right ]\geq 10$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 30-03-2017 - 03:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
Theo mình nghĩ thì bài này phải là tìm GTLN của $P$
ĐKXĐ:$a\geq 0;b\geq 0;c\geq 0$
Theo bài ra ta có:
$3a+(a+b)+2(a+b+c)\leq 3+5+2.14<=>6a+3b+2c\leq 36$
Mặt khác dụng bđt C-S:$(6a+3b+2c)(1+2+3)\geq 6(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$
$=>(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\leq 36$
$=>\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 6$
Dấu $"="$ xảy ra $<=>$ $a=1$;$b=2$;$c=3$
xem lại 1 chút nha b
$a=1$;$b=2$;$c=3$ thì k thể =6 đc :v
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học