Cho x, y, z là các số dương thõa mãn:       4x+9y+16z=49

CMR:  $A=\frac{1}{x}+\frac{25}{y}+\frac{64}{z}\geq 49$

Chứng minh rằng:

[tex]\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}< 1[/tex]

Chứng minh rằng:

[tex]\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{25\sqrt{24}+24\sqrt{25}}< 1[/tex]

Câu 2c)

$HPT\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}(x−y)=45\\(x−y)(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [(x−y)^{2}+4xy](x−y)=45\\ [(x−y)^{2}+2xy](x−y)=85 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{3}+4xy(x−y)=45\\ (x−y)^{3}+2xy(x−y)=85 \end{matrix}\right.$

Đặt : $a=x−y;b=xy$. Ta có : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+4ab=45\\ a^{3}+2ab=85 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\a^{3}=85−2ab \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab=−40\\ a^{3}=85+40 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=−20\\a^{3}=125 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\b=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x−y=5\\xy=−4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x−y)^{2}+4xy=5^{2}−4.4\\x−y=5 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=9\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=−3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x+y=3\\x−y=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\y=−4 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x=4\\ y=−1 \end{matrix}\right.$

Bạn thông minh ghê vậy! Cảm ơn vì sự đóng góp nhiệt tình của bạn nhiều lắm ạ! 

Các Pro giúp em với ạ! Em đag cần mấy cái này nhưng khổ nỗi bí rồi. Tks mọi người nhiều lắm!

   (Đề thì các bác chịu khó xem ảnh giúp em nhá)

Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

      P=$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

Tính tổng:

   $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}$

Cho phương trình: $x^2+2(1-m)x-3+m=0$      (m là tham số)

a. Giải phương trình với m=0.

b. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

c. Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.

Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn điều kiện $\frac{3x^2}{2}+y^2+z^2+yz=1$. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biều thức:

B=x+y+z

Cho các số thực a, b, c >0 thõa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$N=\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\geq 6$

Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Chứng minh:

$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\geq 2$

1. Chứng minh bất đẳng thức:$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ với $a\geq b\geq c> 0$

2. Cho 3y-x=6. Tính giá trị của biểu thức: M= $\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$ với $x\neq 6; y\neq 2$

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng $p^{2}-1$ chia hết cho 24

1.Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB=c, AC=b, BC=a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau      tại O. 

   a. Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a, b,c.

   b. CMR: Tam giác ABC là tam giác vuông khi $\frac{OB.OC}{BE.CF}=\frac{1}{2}$

2. Tam giác ABC có BA>BC. BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. CMR:

   a. M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

   b. $\frac{DA}{DE}=1+\frac{BK}{DF}$

   c. Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC.

3. Cho tam giác ABC, trên AD và AC về phía ngoài tam giác ta dựng hai hình vuông ABDE và ACMN. CMR: trung tuyến qua A của tam giác AEN kéo dài chính là đường cao của tam giác ABC.

1. Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: a + b +c = 0. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}$
2. a/ Cho a, b là hai số dường. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$  b/ Cho a, b là hai số dương có a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A= \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}$

1. Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: a + b +c = 0. Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}$

     Một trường có 2392 học sinh. Trong đó có một số học sinh đạt giải trong kỳ thi quốc tế, một số học sinh đạt giải quốc gia, một số đạt giải của tỉnh và một số đạt giải của trường (nhưng không có học sinh nào đạt 2 giải). Biết rằng số các học sinh đạt mỗi giải nói trên cũng là các chữ số cảu học sinh còn lại; và số học sinh đạt giải quốc tế ít hơn số học sinh đạt giải quốc gia, số học sinh đạt giải quốc gia ít hơn số học sinh đạt giải cấp tỉnh và số học sinh đạt giải tỉnh ít hơn số học sinh đạt giải của trường.

      Hãy cho biết số học sinh đat mỗi giải nói trên và số học sinh còn lại không đạt giải?

a.  CMR: nếu a + b + c = 0 thì $a^3 + b^3+c^3 = 3 abc$

b. Cho xy + yz + xz  =0 và xyz $\neq$ 0. Dựa vào kết quả câu trên hãy tính: $A = \frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}$

Chứng minh rằng: $2009^{2008}+2011^{2010}$ chia hết cho 2010

Cho x, y , z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. CMR:

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

Bài 1 

Áp dụng am-gm

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3.\sqrt[3]{xyz}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}=9$

Dấu = xr khi a=b=c

bạn bị nhầm rồi!
áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky mới đúng. vì bạn trả lời như thế nên mình mới nghĩ tới bunyakovsky và đã thành công. tks bạn nhìu

1. CMR với a,b,c là các số dương, ta co: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$
2. Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 cho đa thức $x^2+10x+21$

Giải phương trình: $8(x+\frac{1}{x})^2 + 4(x^2+\frac{1}{x^2})-4(x^2+\frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x})^2=(x+4)^2)$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= $\frac{2010x+2680}{x^2+1}$