Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-2\left ( ab+bc+ca \right )}{2\left ( a+b+c \right )}\geqslant 2\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=6$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a^2+5}+\frac{1}{b^2+5}+\frac{1}{c^2+5}\leqslant \frac{1}{2}$$

và

$$\frac{1}{7a^4+17}+\frac{1}{7b^4+17}+\frac{1}{7c^4+17}\leqslant \frac{1}{8}$$

$\boxed{\text{ Bài toán:}}$

Cho $\textit{a,b,c}$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng với $k\geqslant 0$, ta luôn có:
$$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a}{ka+b+c}\geqslant \frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}\left [ 7-k+\dfrac{12\left ( k-1 \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{\left ( a+b+c \right )^2}+M \right ]$$

trong đó

$$M=\frac{4\left ( k-1 \right )^2\left ( 3k+5 \right )\left ( a-b \right )^2\left ( b-c \right )^2\left ( c-a \right )^2}{\left ( ka+b+c \right )\left ( kb+c+a \right )\left ( kc+a+b \right )\left ( a+b+c \right )^3}$$

$\textit{Proposed by cristianoronaldo}$

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

Ta có:

$$\sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{[\sum a^2b^2+2\alpha abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}$$

$\geqslant \sqrt[6]{\frac{\left ( 1+2\alpha  \right )abc\left ( \sum a \right )\left ( 1+2\beta  \right )\sum ab}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{abc\sum a\sum bc}{9}}\geqslant \sqrt[3]{abc}$

Mặt khác, ta có:

$[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)\leqslant \left [ 1+2\left ( \alpha -1 \right )\frac{\left ( \sum ab \right )^2}{3} \right ]\left [ \left ( \sum a \right )^2+2\left ( \beta -1 \right ) \right ]$

$\leqslant \frac{1}{9}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^2\leq \frac{1}{81}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^6$

$\Rightarrow \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.