Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

$$\sqrt[3]{abc} \le M \le \frac{a+b+c}{3}$$

for all.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 04-12-2012 - 16:45

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 08-07-2018 - 17:52

Bài toán: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

Ta có:

$$\sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{[\sum a^2b^2+2\alpha abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}$$

$\geqslant \sqrt[6]{\frac{\left ( 1+2\alpha  \right )abc\left ( \sum a \right )\left ( 1+2\beta  \right )\sum ab}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}}=\sqrt[6]{\frac{abc\sum a\sum bc}{9}}\geqslant \sqrt[3]{abc}$

Mặt khác, ta có:

$[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)\leqslant \left [ 1+2\left ( \alpha -1 \right )\frac{\left ( \sum ab \right )^2}{3} \right ]\left [ \left ( \sum a \right )^2+2\left ( \beta -1 \right ) \right ]$

$\leqslant \frac{1}{9}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^2\leq \frac{1}{81}\left ( 2\alpha +1 \right )\left ( 2\beta +1 \right )\left ( \sum a \right )^6$

$\Rightarrow \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 08-07-2018 - 17:59

Nothing in your eyes


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 29-07-2019 - 07:39

Ta có:

6[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)=6[a2b2+2αabc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)[1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6=[∑a2b2+2αabc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6

6(1+2α)abc(a)(1+2β)ab(3+6α)(3+6β)=6abcabc93abc⩾(1+2α)abc(∑a)(1+2β)∑ab(3+6α)(3+6β)6=abc∑a∑bc96⩾abc3

Mặt khác, ta có:

[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)[1+2(α1)(ab)23][(a)2+2(β1)][1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)⩽[1+2(α−1)(∑ab)23][(∑a)2+2(β−1)]

19(2α+1)(2β+1)(a)2181(2α+1)(2β+1)(a)6⩽19(2α+1)(2β+1)(∑a)2≤181(2α+1)(2β+1)(∑a)6

6[1+2(α1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)a+b+c3⇒[1+2(α−1)abc(a+b+c)](a2+b2+c2+2β)(3+6α)(3+6β)6≤a+b+c3

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=13a=b=c=13.


 

 





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all.

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh