Trong khảo sát 100 người thì có 68 người thích uống nước ngọt, 55 người thích uống bia, 88 người thích uống nước suối, 74 người thích uống trà. Hỏi có ít nhât bao nhiêu người thích uống cả bốn loại?

Chọn $p,q\in \mathbb{R}^+$ sao cho $n=p^p-q^q$ thì $n$ phải nguyên dương (vì nếu $n=0$) thì cuối cùng cũng chỉ tìm được $f(1)=1$)

Còn ở đoạn cuối nên sửa lại thế này :

Cho $q=1$ $\Rightarrow (f(p))^p=1+n$ $(*)$

Mặt khác $q=1\Rightarrow p^p=1+n$ $(**)$

$(*)$,$(**)$ $\Rightarrow f(p)=p$ hay $f(x)=x$

 

Nhưng cách làm như trên chỉ tìm được $f(p)=p$ với các số $p$ không nguyên và thỏa mãn $p^p$ là số nguyên lớn hơn $1$. Còn với các số $p$ không nguyên và không thỏa mãn điều kiện trên thì chưa chứng minh được $f(p)=p$.

 

Mình chọn $p \in \mathbb{R}^{+}$ mà nên $f(p)=p$ cũng đồng nghĩa với $f(x)=x$

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$$.$ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta OBC$ cắt $AO$ ở $M$$.$ Từ $M$$,$ vẽ hai tiếp tuyến $ME,MF$ với $(O)$$.$ Chứng minh $EF,AM,BC$ đồng quy$.$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

Thế $a=0,b=1$ vào hàm số ta được $:$ $f(0.x^{x}+1)=0.(f(x))^{x}+1 \Leftrightarrow f(1)=1$

Chọn $p,q \in \mathbb{R}^{+}$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho $n=p^{p}-q^{q}$

Thế $x=p,a=1,b=0$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.p^{p}+0)=1.(f(p))^{p}+0 \Leftrightarrow f(p^{p})=(f(p))^{p}$ $(1)$

Tiếp tục thế $x=q,a=1,b=n$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.q^{q}+n)=1.(f(q))^{q}+n \Leftrightarrow f(q^{q}+n)=(f(q))^{q}+n$ $(2)$

Lại có $:$ $n=p^{p}-q^{q} \Leftrightarrow p^{p}=n+q^{q} \Rightarrow f(p^{p})=f(q^{q}+n)$ $(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow (f(p))^{p}= (f(q))^{q}+n$

Từ đó cho $p=1$$,$ ta được $:$ $(f(q))^{q}+n=(f(1))^{1}=f(1)=1 \Leftrightarrow (f(q))^{q}=1-n$ $(*)$

Từ $p=1$$,$ ta lại có $:$ $n= p^{p}-q^{q}= 1^{1}-q^{q}=1-q^{q} \Leftrightarrow q^{q}=1-n$ $(**)$

$(*)(**) \Rightarrow (f(q))^{q}= q^{q} \Rightarrow f(q)=q$ hay $\boxed{f(x)=x}$

Thử lại thấy thỏa mãn$.$ Vậy đó là hàm số duy nhất cần phải tìm$.$

Cho hình vuông $ABCD$ có $O$ là tâm$.$ Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$$,$ gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $BC$$.$ Gọi $E$ là giao điểm của $HO$ với $CD$ và $F$ là trung điểm của $AD$$.$ Chứng minh rằng ba điểm $E,F,M$ thẳng hàng$.$ 

$\left\{\begin{array}{l} x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^4 + 2x^2y + y^2) - 6x^2y + 3x^2 = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\(x^2 + y)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)^2 - 3x^2(2y - 1) = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1)\\x^2(2y - 1)(2y - 1 - 3) = 0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2 + y = x(2y - 1) \,\, (1)\\\left[\begin{array}{l}x = 0\\y = \dfrac{1}{2} \,\, (VN)\\y = 2\end{array}\right.\end{array}\right. $

Rút gon : $\sqrt{2-2\sqrt{4\sqrt{2}-5}}-\sqrt{3+2\sqrt{3\sqrt{2}-2}}$

Lấy $2$ điểm trên nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=2R$. Vẽ $MQ \perp AB$ tại $Q$, $NP \perp AB$ tại $P$. Xác định vị trí $M,N$ để $MQ+MN+NP$ lớn nhất, để $S_{MNPQ}$ lớn nhất. Tính các giá trị lớn nhất đó theo $R$.

$\overarc{AB}$

$\not\equiv$

$Cho x,y,z>0, x+y+z=3 . CMR: \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} + \frac{xz}{y} \geq 3$

Với điều kiện $x,y,z>0 (gt)$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được :
$\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} \geq 2\sqrt{\frac{xy}{z} . \frac{yz}{x}} = 2\sqrt{y^{2}} = 2y$
$\frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \geq 2\sqrt{\frac{yz}{x} . \frac{zx}{y}} = 2\sqrt{z^{2}} = 2z$
$\frac{zx}{y} + \frac{xy}{z} \geq 2\sqrt{\frac{zx}{y} . \frac{xy}{z}} = 2\sqrt{x^{2}} = 2x$
Cộng vế theo vế ta được : $\frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} + \frac{xz}{y} \geq x+y+z = 3$
Khi $x=1,y=1,z=1$ (thoả yêu cầu đề bài) thì đẳng thức xảy ra.
Vậy $Min_{\frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x} + \frac{xz}{y}} = 6$ khi $x=1,y=1,z=1$

Gọi $(J;R)$ là đường tròn bàng tiếp trong $\widehat{A}$ của tam giác $ABC$. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ và $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$. CMR $S_{ABC}=R(p-a)$

...

Khi viết liên tiếp các số tự nhiên 12345678910111213..... Thì số thứ 1001 là chữ số gì?

Ta xét đến chữ số thứ $999$
Ta có :
Từ $1$ đến $9$ có tổng số chữ số là : $[(9-1):1+1].1=9$ (chữ số)
Từ $10$ đến $99$ có tổng số chữ số là : $[(99-10):1+1].2=180$ (chữ số)
$\Rightarrow$ Từ $1$ đến $99$ có : $9+180=189$ (chữ số)
$\Rightarrow$ Số chữ số còn lại là : $999-189=810$ (chữ số)
Ta thấy từ 100 đến $x$ (số có $3$ chữ số) có tổng số chữ số là $810$
$\Rightarrow [(x-100):1+1].3=810 \Leftrightarrow x=369$
Nên ta có $\underbrace{1234567891011 \cdots 369}_{{999} chữ số}370371\cdots$
$\Rightarrow$ chữ số thứ $1001$ là chữ số $7$

Cảm ơn bạn, nhưng hơi dài.

Mình viết đầy đủ, nếu bạn thấy chỗ nào không cần thiết thì bỏ hay rút gọn bớt !

Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn thoả : $\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{xy}+\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{yz}+\frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{zx}=3$. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Lấy $G \in BC$ của hình vuông $ABCD$ tâm $O$ và $H \in CD$ thoả $\widehat{GOH}= 45^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. CMR : $MG \parallel AH$

Cho $a,b,c > 0$. Tìm GTNN của $A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}+\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}$

CMR : $\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{25^{2}} < \frac{49}{50}$

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$. CMR : $\frac{ab}{(a-b)^{2}}+\frac{bc}{(b-c)^{2}}+\frac{ca}{(c-a)^{2}} \ge -\frac{1}{4}$

Cho $A=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} (n \in \mathbb{N*})$. CMR : $A \notin \mathbb{Z}$

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR : $\sqrt{2}(a+b+c) \le \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}} < \sqrt{3}(a+b+c)$

Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$

Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$
$(1) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}=-z^{3}-3xy(-z)+z^{3}=3xyz$
Xét $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})={[(3xyz)[-2(xy+yz+zx)]]}=-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})$
$VT=5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (2)$
$VP=6(x^{5}+y^{5}+z^{5})=6[(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{2}y^{2}(x+y)-y^{2}z^{2}(y+z)-z^{2}x^{2}(x+z)]=6[-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})+x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}]=6[-5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})]=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow VT=VP (đpcm)$

bạn có thể cho mk lời giải cụ thể được ko.
Mk cảm ơn nhiều

Lấy kết quả $(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5=5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)$ rồi phân tích ngược trở lên !

 Cho

x2+y2=1 \\ z2+t2=1 \\ xz+yt=1
cmr √(x2+t2)(y2+z2)(xy+zt)+1 là số tự nhiên
2.Cho A=√1a2+b2 +1(a+b)2 +√1a4 +1b4 +1(a2+b2)2 với a,b là các số hữu tỉ khác 0
cmr A là số hữu t

Dùng Latex đi bạn !