Trong $\triangle ABC$ chứng minh:

$(1+sin^2A)(1+sin^2B)(1+sin^2C)>4$

 Cho a,b,c >0.Chứng minh: $\sum \frac{2a^3}{(b+2c)^2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)$

Bất đẳng thức không chính xác

thử a=b=c thấy đúng mà

đề sai rồi bạn ơi, nhỏ hơn hoặc bằng 3/2 chơ

Tìm $a,b\in \mathbb{Z}$ sao cho $a^{n}+b^{n+1}\vdots n$ với $\forall n$ nguyên dương

Mình mới vào lớp 10, học đến bài "Ánh xạ" thấy khó hiểu quá. Mong mọi người có thể giúp đỡ mình, có thể cho tài liệu tham khảo thì càng tốt để mình học tốt hơn. Cảm ơn mọi người!!!!

Cho $x,y\in [0;1]$. Tìm min, max của $A=x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$

GIẢI HỆ PT :   { x²  - y² = 4x - 2y -3

                            x² + y² =5

$(1)\Leftrightarrow (x-y-1)(x+y-3)=0\Leftrightarrow x=y+1$ hoặc $x=3-y$

thay vào (2) rồi giải thôi

Chứng minh không có 3 số a,b,c nào thỏa mãn: $p(a)=b, p(b)=c,p(c)=a$

bác có link phan bội châu ko

hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy+1=7y-x & \\ (xy+1)^2=13y^2+xy & \end{matrix}\right.\Rightarrow (7y-x)^2=13y^2+xy\Leftrightarrow 36y^2-15xy+x^2=0$

Giải tìm x theo y rồi thay vào là đc

Tìm MAX của $A=\left ( a+b \right )\left (  \frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{a+b^3}\right )-\frac{1}{ab}$ với $a,b>0$

câu 1 thế này hay hơn:

$3x^2+4x+10=\sqrt{14x^2-7}$

$\Leftrightarrow (x^2+4x+4)+(2x^2-1-2\sqrt{7}.\sqrt{2x^2-1}+7)=0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2+(\sqrt{2x^2-1}-\sqrt{7})^2=0$

Liên hợp theo nghiệm 0;-1;2

Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=315$

câu hình b hình như sai rồi, C di động thì BD di động nên M di động

$\left\{\begin{matrix} x(xy+1)=6y^2 & \\ (xy+1)^2-2xy=5y^2 & \end{matrix}\right$

Xét x=0 suy ra y=0

Xét $x\neq 0$ chia (1) cho x, chia (2) cho $x^2$ rồi đặt là được

BĐT trên tương đương với BĐT :

$\prod{y^3+z^2x}\geq\prod{x}\prod(x+y)$

Áp dụng CS ta có $y^3+z^2x\geq\frac{(y^2+zx)^2}{x+y}$ Quy về CM BĐT đối xứng:

$\prod(x^2+yz)\geq{xyz}\prod(x+y)$

Thật vậy BĐT này sau khi khai triển có thể viết lại thành $\sum{x^3}+\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq\sum{xy(x+y)}$

Qua phép đánh giá $\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq{3xyz}$ ( AM-GM)

Thì BĐT còn lại là schur bậc 3 quen thuộc.

giải thích đoạn màu đỏ với

Bạn chỉ cần dùng phép khai triển Abel tách cho 3 số là OK

cụ thể giúp mình vs

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{zx}{y}+\frac{y^2}{z} \right )\left ( \frac{xy}{z}+\frac{z^2}{x} \right )\left ( \frac{yz}{x}+\frac{x^2}{y} \right )\geq \left ( \frac{zx}{y}+y \right )\left ( \frac{xy}{z}+z \right )\left ( \frac{yz}{x}+x \right )$

1. Giải phương trình $4\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x+7}=\left ( x+1 \right )\left ( x^2+4x+2 \right )$

2. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2=yz+1 & \\ y^2=zx+16 & \\ z^2=xy+22 & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ca=5$.

Chứng minh $9\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}+\frac{16\left ( a+b+c \right )^2}{ab^2+bc^2+ca^2+abc}\geq 63$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $a\geq b\geq c> 0, a\leq 5, a+b\leq 9, a+b+c\leq 11.$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 45$

hình bài 5 câu b đây

Ta có $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}= \sum \frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum(1-\frac{b+1}{a+b+1})$

Xét $B=\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}$

<=> $B\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum b^{2}+ab+(2b+a)+1}=\frac{1}{2}$
   (Đoạn này dễ bạn tự biến đổi để bt dưới mẫu = 1/2 bt trên tử)


Do đó A$\leq \frac{1}{2}$

>>>>>>>>>>>>>>>>

$B\geq 2$ nha bạn