Giả sử m=p. Ta chứng minh C1, C2, C3 thằng hàng. Khi chứng minh được chiều này rồi chiều còn lại thành dễ.

* Trường hợp a//b thì dùng ĐL Thales là ra

* Trường hợp a không song song b

Trên A2C1 lấy điểm K sao cho C1K / C1A2 = C1B1 / C1A1. Tương tự, lấy điểm L thuộc A2C3 

Theo ĐL Thales, chứng minh được KB1 // A1A2 và LB3 // A3A2 => KB1 // LB3

Có: KB1 / LB3 = ( KB1 / A1A2) . ( A1A2 / A2A3) . ( A2A3 / LB3) = ( C1B1 / C1A1) . ( B1B2 / B2B3) . ( A3C3 / C3B3) = B1B2 / B2B3 ( vì C1B1 / C1A1 = C3A3 / A3C3)

Từ đó kết hợp với KB1 // LB3 chứng minh được K, B2, L thẳng hàng. (1)

Lại có : KC1 / C1A2 = C1B1 / C1A1 = C2B2 / C2A2  => C1C2 // KB2. Tương tự, C3C2 // LB2 (2)

Từ (1) và (2) => C1, C2, C3 thẳng hàng

nhờ bạn chứng minh chiều ngược lại với 

ta có P=$$\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}= \frac{1}{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{1+\sqrt{3}^{2}}{1}$$

đến đây bạn tự giải tiếp nha

 

Đặt $(y+z,z+x,x+y)=(a;b;c)=> (x;y;z)=(\frac{b+c-a}{2};\frac{a+c-b}{2};\frac{b+c-a}{2})$

$=> \frac{b+c}{2a}+\frac{a+c}{2b} +\frac{2(a+b)}{c}-3 \geq 2$
Không xảy ra dấu =
2) Đưa về  phương trình bậc hau thì phải ?! Rồi xét \delta 

 

chắc là không phải đâu bạn

Bài này quá quen thuộc rồi, mình xin đóng góp thêm một cách nữa.

Đặt $ \displaystyle \left( {a,b,c} \right)\to \left( {{{x}^{3}},{{y}^{3}},{{z}^{3}}} \right)$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $$\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}} + \frac{1}{{{y^3} + {z^3} + xyz}} + \frac{1}{{{z^3} + {x^3} + xyz}} \leqslant 1$$Ta có bổ đề sau: ${a^3} + {b^3} \geqslant ab\left( {a + b} \right)$. Áp dụng ta được: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{{x^3} + {y^3} + xyz}}}  \leqslant \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y} \right) + xyz}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{1}{{xy\left( {x + y + z} \right)}}}  = 1 \Rightarrow Q.E.D$$

lời giải này hay đấy

nhờ các bạn giải giúp mình với 

cho x,y,z là các số thực dương và xyz=1 chứng minh rằng$$\sum \frac{1}{x+y+1}\leq 1$$

Ta có $$4=(\sqrt x+1)(\sqrt y+1)=\sqrt xy +\sqrt x +\sqrt y+1\leq \frac{x+y}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+1 => x+y\geq 2$$

lại có $$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}=\frac{x^{2}}{y}+y+\frac{y^{2}}{x}+y\geq 2x+2y=>\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x+y$$

suy ra  min P = 2

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}$

Ta có

 $$\sum \frac{a}{1+b^{2}}=\sum \frac{a(1+b^{2}-ab^{2})}{1+b^{2}}=\sum a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}} \geq \sum a-\frac{ab^{2}}{2b}= a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ac)$$

lại có 

$$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{2}=>ab+bc+ac\leq 3$$

mà a+b+c=3 => min P = 1,5 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

bài như thế đúng rồi ak

Theo điều kiện bài toán ta có

$xyz=x+y+z\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{yz(x^2+1)}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2} (\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$ ( theo bất đẳng thức AM-GM )

Làm tương tự rồi cộng với hai phân số còn lại thì ta có max Q = $\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$

Thanks Bạn nhiều      

Chứng minh BĐT phụ sau :
$2x + \frac{1}{x}  \geq \frac{5}{2} x^2 +\frac{1}{2}$ 
 

rồi sao nữa bạn

ta có P=$$a^{2}+b^{2}+c^{2}-6(a+b+c)+2017$$

              =$$$(a-3)^{2}+(b-3)^{2}+(c-3)^{2}+1990$$$\geq 1990$$

            DẤU BẰNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c=3

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$$

tìm max 

Q= $$\sum\frac{x}{\sqrt{yz(x^{2}+1)}}$$

ở dưới mẫu căn hết luôn

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn$$\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}= 1$$

tìm giá trị lớn nhất $Q =\sum \frac{x}{\sqrt{yz(x^2+1)}}$

theo bạn thì x,y,z bằng bao nhiêu

Nhờ bạn xem lại đề hình như sai

=x5y−xy5+15xy(x+y)=x5y−xy−(xy5−xy)+15xy=xy(x4−1)+...=x5y−xy5+15xy(x+y)=x5y−xy−(xy5−xy)+15xy=xy(x4−1)+...

=xy(x2−4+5)(x−1)(x+1)+.....+15xy(x+y)=xy(x2−4+5)(x−1)(x+1)+.....+15xy(x+y)

=xy(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)+5xy(x−1)(x+1)+...+15xy(x+y)=xy(x−2)(x+2)(x−1)(x+1)+5xy(x−1)(x+1)+...+15xy(x+y)

Vì x−2,x−1,x,x+1,x+2x−2,x−1,x,x+1,x+2 là 5 số nguyên liên tiếp->xy(x−2)(x+2)(x+1)(x−1)⋮2,3,5→⋮30xy(x−2)(x+2)(x+1)(x−1)⋮2,3,5→⋮30

tương tự với 5xy(x−1)(x+1)5xy(x−1)(x+1)

xy(x+y)xy(x+y) luôn chẵn với mọi x,y

→15xy(x+y)⋮30→15xy(x+y)⋮30