có cách nào tìm trực tiếp công thức không ạ

thực ra mình tìm công thức truy hồi của $u_{n}$ trước rồi mới suy ra công thức tổng quát cho dãy $\left(u_{n}\right)$, do quá trình tìm khá phức tạp cũng như nhiều công đoạn (một phần cũng là hơi khó để trình bày), nên mình chỉ lấy phần công thức $u_{n}$ rồi chứng minh bằng quy nạp.

Em tính số tam giác cân (đều và không đều) ở đoạn này có "một chút xíu" nhầm lẫn, xin được sửa lại như sau :

Ta sẽ đếm số tam giác cân (đều và không đều).

Ký hiệu $a$ là cạnh bên, $b$ là cạnh đáy của tam giác cân. Ta có $\frac{b}{2}< a\le n$

+ $b=1$ : $a$ có thể lấy $n$ giá trị (từ $1$ đến $n$)

+ $b=2$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=3$ : $a$ có thể lấy $n-1$ giá trị (từ $2$ đến $n$)

+ $b=4$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

+ $b=5$ : $a$ có thể lấy $n-2$ giá trị (từ $3$ đến $n$)

...................

Vậy :

+ Nếu $n$ chẵn ($n=2k$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k)^2-2[1+2+3+...+(k-1)]-k=3k^2=\frac{3n^2}{4}$

+ Nếu $n$ lẻ ($n=2k+1$) thì số tam giác cân (đều và không đều) là $(2k+1)^2-2(1+2+3+...+k)=3k^2+3k+1=\frac{3n^2+1}{4}$

Em cảm ơn ạ sơ suất quá, anh không nói chắc em cũng không nhận ra.

* Sửa lại công thức cuối:

$n$ chẵn: $\dfrac{3n^{2}}{4}+\dfrac{\left(n-2\right)n\left(2n-5\right)}{24}=\dfrac{n\left(n+2\right)\left(2n+5\right)}{24}$

$n$ lẻ: $\dfrac{3n^{2}+1}{4}+\dfrac{\left(n-1\right)\left(n-3\right)\left(2n-1\right)}{24}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(2n+1\right)}{24}$

Với $S=\varnothing$: Dễ thấy chỉ có một cách chia ($\varnothing$ và $\varnothing$).

Với $S\ne\varnothing$:

$\bullet$ $n$ lẻ: Có $2^{n}$ cách chọn một tập con $A$ của $S$, mỗi tập $A$ ta xác định được duy nhất một tập con thứ hai thoả đề là $B=S\setminus A$

Do $A,B$ theo đề là hai tập không phân biệt nên ta chia bớt số cách bị trùng, trường hợp này có: $\dfrac{2^{n}}{2}=2^{n-1}$ cách.

$\bullet$ $n$ chẵn: Tương tự TH trên, ta cũng chia bớt số cách bị trùng, nhưng trong đó có $1$ cách đếm không bị trùng, là khi $\vert A\vert=\vert B\vert=\dfrac{n}{2}$, do đó số cách trong TH này là: $2^{n-1}+1$ cách.

Vừa nghĩ được cách này, mọi người xem giúp mình đúng không ạ 

Có bao nhiêu cách chia tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử thành $2$ tập con không giao nhau và hợp của chúng bằng $S$.

khai triển còn tuỳ thuộc vào $t$ là số thực hay số nguyên nữa bạn.

Alice và Bob cùng chơi trò chơi sau. Để bắt đầu, Alice sắp xếp các số $1,2,\ldots,n$ theo một thứ tự nào đó thành một hàng và sau đó Bob đặt một viên sỏi lên một số tuỳ ý nào đó. Ở mỗi lượt chơi, người chơi di chuyển viên sỏi sang một số bên cạnh với điều kiện viên sỏi chỉ có thể đặt lên số $k$ nhiều nhất $k$ lần. Hai người luân phiên chơi, Alice là người chơi trước. Người đầu tiên không thể di chuyển viên sỏi là người thua cuộc. Với mỗi số nguyên dương $n$, hãy xác định người chiến thắng biết rằng cả hai đều chơi rất giỏi.

Xếp $5$ nam vào bàn tròn, có $4!$ cách. (coi như chỉ có $5$ ghế, khi xếp thêm nữ thì sẽ thêm ghế, nên ở bước này vẫn là dãy kín)

Chọn $3$ trong $5$ khoảng trống giữa các nam để xếp $3$ nữ, có $A^{3}_{5}$ cách.

$\Rightarrow P=\dfrac{4!.A^{3}_{5}}{7!}=\dfrac{2}{7}$

Minh thấy hình như không đúng ở khúc đầu lắm nếu xếp 6 trước thì hình như có rất nhiều trường hợp như 600606060606

Cái đấy mình có xét ở 3 trường hợp dưới mà, VD như: $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $?$ $-$ $6$ $-$ $?$ $-$ $6$ có trong TH3.

$u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{2\left(2n+1\right)u_{n}+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_{n}}+4n+2\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}-2\left(n+1\right)^{2}=\dfrac{1}{u_{n}}-2n^{2}$

Đặt $v_{n}=\dfrac{1}{u_{n}}-2n^{2}$ ta được dãy: $v_{n+1}=v_{n}=v_{1}=\dfrac{1}{u_{1}}-2.1^{2}=\dfrac{-1}{2}$

$\Rightarrow u_{n}=\dfrac{1}{2n^{2}-\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow \displaystyle\sum^{n}_{k=1}u_{k}=\dfrac{2}{4k^{2}-1}=\displaystyle\sum^{n}_{k=1}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)=1-\dfrac{1}{2n+1}=\dfrac{2018}{2019}\Leftrightarrow n=1009$

Giả sử $12$ chữ số có thể xếp vào một hàng, số cách xếp cũng là số các số thoả đề bài : 

Xếp $5$ chữ số $6$ trước tạo ra $6$ khoảng trống $A,B,C,D,E,F$, có $1$ cách : $\underline{A}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{B}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{C}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{D}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{E}$ $-$ $6$ $-$ $\underline{F}$

TH1: Lấy một chữ số $1$ và một chữ số $3$ ghép thành một cặp (coi như một phần tử), xếp cặp này và hai chữ số $1$, ba chữ số $3$ vào $6$ khoảng trống trên, có: $\dfrac{6!.2!}{2!.3!}=120$ cách.

TH2: Lấy hai chữ số $1$ và hai chữ số $3$ ghép thành hai cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp hai cặp này và một chữ số $1$, hai chữ số $3$ vào $A,B,C,D,E$ có: $\dfrac{5!.2!.2!}{2!.2!}=120$ cách, tương tự vào $B,C,D,E,F$ cũng có: $120$ cách. Trường hợp này có $240$ cách.

TH3: Lấy ba chữ số $1$ và ba chữ số $3$ ghép thành ba cặp (mỗi cặp gồm một số $1$ và một số $3$). Xếp ba cặp này và một chữ số $3$ vào $B,C,D,E$ có: $\dfrac{4!.2!.2!.2!}{3!}=32$ cách.

Tổng cộng có $392$ số thoả đề bài.

Cho một bàn cờ hình vuông gồm $\left(2^{n}-1\right)\times\left(2^{n}-1\right)$ ô vuông đơn vị (gọi tắt là ô vuông). Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh. Ta điền vào mỗi ô vuông một trong hai giá trị $1$ hoặc $-1$. Một cách điền được gọi là hay nếu số trong mỗi ô vuông bằng tích các số trong các ô kề với nó. Tìm số cách điền hay.

Xét bài toán tổng quát: Có bao nhiêu tam giác có độ dài ba cạnh thuộc tập $S=\{1;2;3;\ldots;n\}$ với $n\ge1,n\in\mathbb{N}.$

Có bao nhiêu bao tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá $2014$?

Với $n=2014$, số tam giác (không cân) thoả đề bài: $\dfrac{\left(2014-2\right)2014\left(2.2014-5\right)}{24}=679244661$

Do đó, $n$ phải là số chẵn. Đặt $n=2m \Rightarrow u+l = m$. Bây giờ với mỗi bộ nghiệm nguyên không âm $(u;l)$, ta có số cách nhảy hợp lệ của con bọ là:

\[\frac{{n!}}{{u!u!l!l!}} = \frac{{\left( {2m} \right)!}}{{u{!^2}l{!^2}}}\]

Sao $u,l$ bị trùng đến 2 lần vậy anh 

Cho hình vuông tâm $O$ kích thước $9\times9$ được tạo thành từ $81$ ô vuông đơn vị. Hai ô vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở tâm $O$. Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy từ tâm của ô vuông đơn vị đang đứng sang tâm của ô vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để bọ quay trở về tâm $O$ ban đầu sau $4$ bước nhảy ngẫu nhiên.

Bạn giải thích cụ thể chữ "ngẫu nhiên" nhé. Ngẫu nhiên cũng có nhiều cách phân bố (density function) không giống nhau.

Hiểu từ "ngẫu nhiên" theo cách thông thường thôi (đừng làm khó em nó chứ )

 

Gọi $A_1$ là biến cố chọn được hộp có đồng xu $\Rightarrow P(A_1)=\frac{1}{3}$.

       $A_2$ là biến cố chọn được hộp có con xúc sắc $\Rightarrow P(A_2)=\frac{2}{3}$.

       $B$ là biến cố gieo đồng xu được mặt ngửa $\Rightarrow P(B)=\frac{1}{2}$.

       $C$ là biến cố gieo xúc sắc được mặt $1$ chấm $\Rightarrow P(C)=\frac{1}{6}$.

       $D$ là biến cố gieo được giá trị $1$ $\Rightarrow P(D)=P(A_1).P(B)+P(A_2).P(C)=\frac{5}{18}$.

cảm ơn các anh. Ban đầu em ko để ý xác suất "gieo được giá trị $1$" còn phụ thuộc vào xác suất chọn trúng hộp chứa đồng xu hay xúc xắc nên giải ra $\frac{3}{14}$ 

Cho $3$ chiếc hộp, trong đó có một hộp chứa $1$ đồng xu, hai hộp còn lại mỗi hộp chứa $1$ con xúc xắc. Giả sử giá trị của mặt ngửa đồng xu là $1$, mặt úp là $2$, giá trị của các mặt xúc xắc tương ứng số chấm trên mặt đó. Chọn ngẫu nhiên một trong ba hộp và lấy món bên trong hộp đó ra để gieo. Tính xác suất để gieo được giá trị $1$.

Một câu hỏi mở rộng thú vị là:

Nếu bây giờ các giáo viên và học sinh xếp thành vòng tròn để nhảy lửa trại nhưng vẫn thỏa yêu cầu ban đầu (giữa hai giáo viên có ít nhất 2 học sinh), thì có bao nhiêu cách sắp xếp?

Ý tưởng của em là giả sử mỗi người đứng cạnh nhau thì nắm tay nhau, ta cho $4$ giáo viên mỗi người nắm tay $2$ học sinh

Chọn $1$ giáo viên và $2$ học sinh để tạo thành một nhóm xem như một phần tử, có $4$ phần tử như thế, xếp $4$ phần tử này và $12$ học sinh còn lại thành vòng tròn có $15!$ cách.

số cách là: $\left(2!C^{1}_{4}C^{2}_{20}\right)\left(2!C^{1}_{3}C^{2}_{18}\right)\left(2!C^{1}_{2}C^{2}_{16}\right)\left(2!C^{1}_{1}C^{2}_{14}\right)15!$

em nghĩ hình như đã đếm trùng một số cách nhưng em không biết trùng ở đâu ạ :'<

Do là XS nên $a< b$, vậy thì $a-b< 0$ ?.

em nghĩ dấu của $a-b$ không ảnh hưởng đến hướng làm cho bài toán này, mục đích vẫn phải tìm $a$ và $b$

Do đó, kỳ vọng $A$ thắng (biến cố $Y_A$) là:

\[\mathbb{E} \left( {{Y_A}} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {P\left( {{X_{2k + 1}}} \right)}  = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {{p_A}{{\left( {1 - {p_A}} \right)}^k}{{\left( {1 - {p_B}} \right)}^k}}  = {p_A}\frac{1}{{1 - \left( {1 - {p_A}} \right)\left( {1 - {p_B}} \right)}} = \frac{{{p_A}}}{{{p_A} + {p_B} - {p_A}{p_B}}}\]

em không hiểu chỗ $k\to+\infty$. Nếu ta biểu diễn $k$ theo $n$ (số lượt đã tung) thì $k$ phải dừng lại ở một số nguyên dương cụ thể nào đó chứ ạ?

A tung trước ạ 

Bạn $A$ có một đồng xu mà khi tung có xác suất xảy ra mặt ngửa là $\frac{1}{3}$, bạn $B$ có một đồng xu mà khi tung có xác suất xảy ra mặt ngửa là $\frac{2}{5}$. $A$ và $B$ cùng chơi tung đồng xu của mình, ai tung ra mặt ngửa đầu tiên sẽ là người thắng. $A$ chơi trước. Xác suất $A$ thắng là $\frac{a}{b}$ trong đó $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính $a-b$.

$\begin{cases}x+y-z+1=0(1)\\x^2-y^2+z^2=1(2)\\x^3-y^3-z^3=1(3)\end{cases}$

Nhận thấy $(-1;y;z)$ không phải là một nghiệm của hệ pt trên, xét $x\neq-1$ : 

pt $(2)\Leftrightarrow(x-1)(x+1)=(y-z)(y+z)=(y+z)(-1-x)$

$\Rightarrow x-1=-y-z$

$\Leftrightarrow x+y=1-z$

Từ pt $(1)$ ta có: $z-1=x+y=1-z\Rightarrow z=1$

Thay $z=1$ vào hệ ban đầu ta được hệ mới: $$\begin{cases}x+y=0\\x^2-y^2=0\\x^3-y^3=2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$$

Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên đồng thời $3$ số tự nhiên từ $1$ đến $100$ sao cho $3$ số được chọn lập thành một cấp số cộng

mình thấy dấu bằng xảy ra của biến a cứ mâu thuẫn sao á lúc =0, lúc = post-178109-0-41060400-1623770984.png , còn dấu bằng của bài này thì dễ đoán đc rồi, quan trọng là cách làm

Dấu $"\ge"$ thứ 2 không phải $a\le\sqrt[3]{6}$ mà còn $a\ge0$ nữa

$x\in\left[0;\sqrt[3]{6}\right]\Rightarrow x\left(x-\sqrt[3]{6}\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le\sqrt[3]{6}x$

Cả bài đấy tớ chỉ dùng cái này thôi 

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left(a,b,c\right)=\left\{\left(0;0;\sqrt[3]{6}\right)\left(0;\sqrt[3]{6};0\right)\right\}$