Bạn có thể phát biểu định lí brocard trong bài đc ko?

thì H là trực tâm của tam giác AMS thôi bn

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$

 

Dễ chứng minh :$a^{5}+b^5\geq ab(a^3+b^3)$ ( bn cm bằng chuyển vế rồi phân tích ra nhé !)

Ta có : $VT=3-\sum \left ( \frac{c^2}{a^5+b^5+c^2} \right )\geq 3-\sum \left ( \frac{c^2}{ab(a^3+b^3)+c^2} \right )=3-\sum \left ( \frac{c^3}{a^3+b^3+c^3} \right )=2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 (đpcm)

cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng

$\frac{3ab+5a}{b^{2}+4b+3}+\frac{3bc+5b}{c^{2}+4c+3}+\frac{3ca+5c}{a^{2}+4a+3}\geq 3$

$VT=\sum \left [ \frac{8a(3b+5)}{4(2b+2)(b+3)} \right ]\geq 8\sum \left [ \frac{a(3b+5)}{(3b+5)^2} \right ]=8\sum \left ( \frac{a}{3b+5} \right )\geq 8\frac{(a+b+c)^2}{3\sum ab+5\sum a}$ (*)

Mà dễ chứng minh $ab+bc+ca \leq 3$ nên

$VP(*)\geq \frac{8.3^2}{3.3+5.3}=3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1   ( đpcm)

Bài 1 : Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF .M là trung điểm của BC.AM cắt EF tại N .X là chân đường vuông góc hạ từ N xuống BC ( X thuộc BC) .Y,Z là hình chiếu vuông góc hạ từ X xuống AB,AC.B',C' lần lượt là giao điểm của XZ với AB và XY với AC.Chứng minh AM luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C'.

Liệu có nhầm lẫn khi sử dụng Holder lần thứ 2?

sr, có vẻ mk lm sai r =((

Bây giờ là bài số 24

$\boxed{24}$ Cho $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$$3\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9+c^9}{3}} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$

Lời giải: 

Đặt : $f(x)=3\sqrt[9]{\frac{a^{9}+b^{9}+c^{9}}{3}}-\sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )=f(ta,tb,tc)$    với t là số thực bất kì

Nên ta chuẩn hóa : a + b + c = 3 .

Ta có :

$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq (a^{10}+b^{10}+c^{10}).3^9$             ( bất đẳng thức holder)

Mà :

$\sum a^{10}\leq \sqrt[3]{3.(\sum a)(\sum a^{9})}=\sqrt[3]{9(\sum a^{9})}$             ( bất đẳng thức holder)

Do đó :

$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq \sqrt[3]{3^{29}(\sum a^{9})}\Leftrightarrow\left ( \sum \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )\leq 3\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3} }$

Ta cần chứng minh : 

$\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\leq \sqrt[9]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\Leftrightarrow \left ( \frac{\sum a^{9}}{3} \right )^{7}\geq 1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$ (Luôn đúng vì $\frac{\sum a^{9}}{3}\geq \left ( \frac{\sum a}{3} \right )^{9}=1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$) 

suy ra đpcm ( dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  )

1) Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=\frac{2011}{2010}, u_{n+1}=u_{n}^{2}-2u_{n}+\frac{2n+4999}{n+2499}$  với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$)  có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

2) Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=24,u_{2}=60,u_{n+1}=u_{n}+\frac{u_{n-1}}{n(n+1)(n+2)}$ với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

3)Cho dãy số  ( n = 1,2,….) xác định bởi : $u_{1}=2019,u_{n+1}(4-3u_{n})=1$ với mọi n = 1,2,… Chứng minh rằng dãy ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn ,tìm giới hạn đó.

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O).D,E,F lần lượt là trung điểm cạnh BC ,CA, AB. Đường tròn (AOD) cắt (O) tại điểm thứ hai là L.AL cắt đường tròn (AEF) tại K.KE,KF cắt BC lần lượt tại P,Q.Chứng minh rằng AQ = AP.

Bài 2 : Cho tam giác ABC nội tiếp (O) sao cho B,C cố định và A là điểm di chuyển trên cung lớn BC của (O).T là trung điểm của BC.J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC.AJ cắt (O) tại điểm thứ 2 là D .$\left ( \omega \right )$  là đường tròn đường kinh JD.$\left ( \omega \right )$ cắt (O) tại điểm thứ 2 là K .Trung trực BJ cắt BK tại M.Trung trực CJ cắt CK tại N.Chứng minh rằng : M,N,J ,T thẳng hàng