$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn:
$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$
Có 11 mục bởi viscolt0801 (Tìm giới hạn từ 27-04-2020)
Đã gửi bởi viscolt0801 on 22-05-2021 - 09:18 trong Số học
$\boxed{\textrm{Bài 146}}$ Chứng minh rằng với $\forall p$ là số nguyên tố thì không tồn tại $x,y \in \mathbb{Z^{+}}$ thoả mãn:
$$ 2^p +3^p = x^{y+1} $$
Đã gửi bởi viscolt0801 on 17-05-2021 - 08:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sum{\dfrac{2+a^3}{2+a+b^3}}$
Đã gửi bởi viscolt0801 on 08-05-2021 - 20:16 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Mình đóng góp 1 cách khác :
ĐK: $x \in R$
-Đặt: $\sqrt{9x^2 +16}=t$ (với $ t \geqslant 0$)
$pt \Leftrightarrow 12xt -6x = t +2t^2 -1 \Leftrightarrow 2t^2 +t(1-12x) +6x -1=0$
-Có: $\Delta_{t} = (1-12x)^2 - 8(6x-1)= (12x-3)^2$
$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=6x-1$. Giải ra ta thu được nghiệm $x=1$ thoả mãn.
Đã gửi bởi viscolt0801 on 08-05-2021 - 19:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a^3 +1}{b^2 +c^2} \geqslant a + b+c$
Đã gửi bởi viscolt0801 on 05-05-2021 - 13:08 trong Hình học
$\boxed{\textsf{Bài 42}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $D$. $M,N$ là điểm thuộc các cạnh $AB,AC$ sao cho $MN || BC$ và $MN$ không cắt $(I)$. Đường tròn $(J)$ bàng tiếp góc $A$ của tam giác $AMN$, tiếp xúc cạnh $MN$ tại $H$.
1. Chứng minh rằng: $\Delta ABJ \sim \Delta AIN $.
2. Từ $B$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(J)$, tiếp xúc với $(J)$ tại $L$ ; từ $N$ kẻ tiếp tuyến thứ hai của $(I)$, tiếp xúc $(I)$ tại $K$. Chứng minh rằng : $\angle ABL + \angle IAB = \angle INK + \angle AIN $.
3. Chứng minh rằng : $DK || HL$
P/s: Bài này mình sưu tầm, có thể là các bạn gặp ở đâu đó rồi
Đã gửi bởi viscolt0801 on 04-05-2021 - 15:51 trong Số học
Mình xin đóng góp 2 bài:
$\boxed{\textsf{Bài 122}}$ Cho số nguyên dương $n$ là 1 lập phương đúng. Chứng minh rằng: $n^2 + 3n +3$ không là lập phương đúng. ( Lập phương đúng là số có dạng $a^3$ với $a$ nguyên)
$\boxed{\textsf{Bài 123}}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a$, tổng:
$P = (a+1)^2 + (a+2)^2 + (a+3)^2 + ...... + (a+99)^2$ không thể viết dưới dạng luỹ thừa lớn hơn $1$ của một số nguyên dương.
Đã gửi bởi viscolt0801 on 04-05-2021 - 12:58 trong Hình học
$\boxed{\textbf{Bài 41}}$ Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và cắt $DE,DF$ tại $M,N$, $NE$ cắt $MF$ tại $H$. Vẽ đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $DMN$ cắt $(I)$ tại $L$ khác $D$.
1. Chứng minh: $A$ là tâm $(MNFE)$
2. Chứng minh: $H$ thuộc $(I)$ và 3 điểm $A,H,L$ thẳng hàng.
3. Tiếp tuyến tại $M,N$ của $(O)$ cắt $EF$ tại $P,Q$, $LP$ cắt $(O)$ tại $T$ khác $L$. Chứng minh: $PT.PL = PE^2$ và 3 điểm $N,E,T$ thẳng hàng.
4. Chứng minh $(LPQ)$ tiếp xúc $(O)$
Trích đề thi HSG lớp 9 Thành Phố Vũng Tàu 2020-2021
Đã gửi bởi viscolt0801 on 04-05-2021 - 09:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}} \geqslant 3\sqrt[6]{abc}$
Đã gửi bởi viscolt0801 on 01-05-2021 - 20:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Mình mới nghĩ ra cách $a,b \in R$ đc mà
Thế bạn gửi cho mình tham khảo với
Đã gửi bởi viscolt0801 on 01-05-2021 - 14:04 trong Bất đẳng thức và cực trị
-Theo giả thiết:
$\frac{9}{4}=(1+a)(1+b)=a+b+ab+1\leqslant a+ b +\frac{(a+b)^2}{4}+1 \\ \Leftrightarrow (a+b)^2+4(a+b)-5 \geqslant0 \Leftrightarrow [(a+b)+5][(a+b)-1]\geqslant0\Leftrightarrow a+b\geqslant1.$
-Xét:
$P^2 = (1+a^4)+(1+b^4) + 2\sqrt{(1+a^4)(1+b^4)} \geqslant 2 + a^4+b^4 + 2(1+a^2b^2)= 4 + (a^2+b^2)^2 \geqslant 4 + \frac{(a+b)^2}{4} \geqslant 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}.\\ \Rightarrow P \geqslant \frac{\sqrt{17}}{2}$Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$
P/s: Cái này điều kiện $a,b \in R^{+}$ chứ, nếu không thì cách của mình sai rồi
Đã gửi bởi viscolt0801 on 01-05-2021 - 12:03 trong Hình học
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học