$\textrm{Cho các số thực } a,b \textrm{ dương.}$

$\textrm{Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:}$

$P=\dfrac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+ \dfrac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\textrm{Cho hai đường tròn (O);(O') cắt nhau tại A và B.}$

$\textrm{Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D là tiếp điểm, C} \in \textrm{ (O), D} \in \textrm{(O').}$

$\textrm{Đường thẳng qua A song song với CD cắt (O) tại E, (O') tại F.}$

$\textrm{Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và BC với EF.}$

$\textrm{Gọi I là giao điểm của EC với FD.}$

$\textrm{a) Cm BCID nội tiếp}$

$\textrm{b) Cm CD là trung trực của AI}$

$\textrm{c) Cm IA là phân giác góc MIN}$

Anh không hiểu ý của em á? Ý của em là như này: Đúng là bài của em gọn thật nhưng em muốn ghi thế thành dãy cho nó đẹp, còn bài của anh thì dòng đầu đã có $P\leqslant \frac{1}{4}$ thì anh suy ra giá trị lớn nhất của$\text{P}$ được luôn chứ sao lại ghi thêm $\frac{1}{4}-P\geqslant 0$ (vì sau khi chứng minh điều này là hiển nhiên). Vả lại dòng} $2,3,4$ của anh nó gọn y hệt của em nữa?)

Oh! sorry em nhé, tại anh thích tóm gọn chủ đề lại nên ... với lại anh trình bày kém lắm

$\text{Khúc này có gì khác của em đâu anh? Với lại từ dòng đầu là hình như đã xong bài rồi mà?}$

Tại của em nó gọn quá ng` ta đou có hỉu

$\textrm{Lời giải được trình bày như sau:}$

$\textrm{Ta có:}$

$P \le \dfrac{(x^2-0)(1-x^2.0)}{(1+x^2)^2(1+0)^2}=\dfrac{x^2}{(1+x^2)^2} \le \dfrac{x^2}{4x^2} =\dfrac14$

$\Rightarrow \dfrac14 - P \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac14-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \ge 0 \textrm{(luôn đúng)}$

$\textrm{Dấu "=" xảy ra} \Leftrightarrow \left \{ {{x=\pm 1} \atop {y=0}} \right.$

$\textrm{Vậy ...}$

Lời giải. Ta có: 

$\frac{1}{4}-\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}=\frac{(y^4+1)(x^2-1)^2+y^2(6x^4+4x^2+6)}{4(1+x^2)^2(1+y^2)^2}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $(x,y)\in\left \{ (1,0);(-1,0) \right \}$

em còn cách nào khác không

chứ a thấy nó rút gọn quá ik

$\textrm{Cho } x,y \textrm{ là các số thực không âm.}$

$\textrm{Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:}$

$P=\dfrac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2}$

$\textrm{Cách của em}$

• $\textrm{ĐK: } x \ge \dfrac{-5}{2}$
• $\textrm{Ta có: }$

$(\sqrt{2x+5}-\sqrt{2x+2})(1+\sqrt{4x^2+14x+10})=3$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+5}-\sqrt{2x+2})(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x+5-2x-2}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2}}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}=1$

• $\textrm{Đặt }a=\sqrt{2x+5}; b=\sqrt{2x+2} \textrm{, phương trình trở thành:}$

​$\Leftrightarrow \dfrac{1+ab}{a+b}=1$

$\Leftrightarrow 1+ab=a+b$

$\textrm{Còn lại như anh làm thoi}$

• $\textrm{ĐK: } x \ge \dfrac{-5}{2}$
• $\textrm{Ta có: }$

$(\sqrt{2x+5}-\sqrt{2x+2})(1+\sqrt{4x^2+14x+10})=3$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2x+5}-\sqrt{2x+2})(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x+5-2x-2}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{3(1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2})}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}=3$

$\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2}}{\sqrt{2x+5}+\sqrt{2x+2}}=1$

• $\textrm{Đặt }a=\sqrt{2x+5}; b=\sqrt{2x+2} \textrm{, phương trình trở thành:}$

​$\Leftrightarrow \dfrac{1+ab}{a+b}=1$

$\Leftrightarrow 1+ab=a+b$

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0$

$...$

um, anh ơi

còn cách nào khác không ạ

Như kiểu đặt 2 ẩn phụ ý

Chỉnh sửa lại đề phù hợp nha em!. PT mà không có dấu "="

Nhìn thấy ngay $\sqrt{4x^2+14x+10}=\sqrt{2x+5}.\sqrt{2x+2}$ rồi đó.

á, em xin lỗi

không để ý

Cho hỏi cái này có dùng đánh giá ko

Giải phương trình: $(\sqrt{2x+5}-\sqrt{2x+2})(1+\sqrt{4x^2+14x+10})=3$

Một trong những phương pháp làm bài này là sử dụng Cauchy

Tách số sao cho $\dfrac{27a^2}{2}$ khi đưa vào căn sẽ xuất hiện 3a

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ bất kì và thỏa mãn } \dfrac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2bc$

$\textrm{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức } Q=3a+2b+c$

$\textrm{Áp dụng BĐT B.C.S, ta có:}$

$1=(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c})^2 \le 3(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a+b+c \ge \dfrac13$

$\textrm{Mặt khác: } \sqrt{2a^2+ab+b^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (a+b) (1)$

$\textrm{Thật vậy: } (1) \Leftrightarrow 2a^2+ab+b^2 \ge \dfrac{5}{2} (a+b)^2$

$\Leftrightarrow \dfrac34 a^2 - \dfrac32 ab + \dfrac34 b^2 \ge 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0 \textrm{ (luôn đúng)}$

$\textrm{Tương tự ta có: } \sqrt{2b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (b+c); \sqrt{2c^2+ca+a^2} \ge \dfrac{\sqrt{5}}{2} (c+a)$

$\textrm{Cộng vế theo vế:}$

$P \ge \sqrt{5} (a+b+c) \ge \dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\textrm{Dấu "=" xảy ra} \Leftrightarrow a=b=c=1$

$\textrm{Vậy ...}$

$\textrm{Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn } \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1.$

$\textrm{Tìm GTNN của } P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+c+2a^2}.$

$\textrm{Cho } x,y \textrm{ là các số không âm thỏa } x^3+y^3\le 1.$

$\textrm{Tìm GTLN của } P=x^2+y^2+\dfrac{x^2y^2}{[(4x-1)y-x]^2}$

$\textrm{Cho } x,y,z \textrm{ thỏa mãn } x+y+z=0;x+1>0;y+1>0 \textrm{ và } z+4>0.$

$\textrm{Tìm GTLN của } A=\dfrac{xy-1}{(x+1)(y+1)}+\dfrac{z}{z+4}$

Cách này hình như đặt

$(x,y,z)=(1-a,2-b,3-c)$ hay sao í

nhưng mk ko biết được ko, bạn thử xem

cách này đúng đó, nhưng mk lại quên mất các bước làm

* dù thầy mk có chỉ một lần rồi *

thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ

um, có làm được cách này không bạn

Dồn biến về c

Cụ thể

Bđt cần cm tương đương

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$ (chỉ thay giả thiết vào)

Lại có $(a-1)(b-2)\leq 0$ hay $ab\leq 2a+b-2\leq 1+6-c-2=5-c$

Dễ thấy $c\geq 3$

Nên 

$ab(1-3c)+c(6-c)+7\geq (5-c)(1-3c)+c(6-c)+7\geq 0$

hay $c^2-5c+6\geq 0$

đúng với $c\geq 3$

Xảy ra khi $(a,b,c)=(1,2,3)$

thế còn cách đặt x=1-a, y=1-b thì sao cơ

$\textrm{Cho } a,b,c \textrm{ là các số thực dương thỏa mãn: } a\le 1; b\le 2; a+b+c=6.$

$\textrm{Chứng minh bất đẳng thức } (a+1)(b+1)(c+1)\ge 4abc$

Chỗ này bị ngược dấu rồi bạn

thanks bạn

mình sửa rồi nhé

tại mk hay đánh một loạt $Latex$ nên hay bị nhầm