Chứng minh: EF2 = 4PM.PN .

cho các số $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{\sqrt{2(x^{4}+y^{4})}+4xy}+\frac{x+y+z}{3}\geq \frac{3}{2}$

cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=8$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{y(z+1)(y+z)^{2}}+\frac{y}{z(x+1)(z+x)^{2}}+\frac{z}{x(y+1(x+y)^{2}}\geq 2$

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc(a+b+c)=3$. chứng minh rằng

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $ab+bc+ca\leq 1$ chứng minh rằng

$a+b+c+\sqrt{3}\geq 8abc\sum \frac{1}{a^{2}+1}$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=2\widehat{B}=4\widehat{C}$, $AD,BE,CF$ lần lượt là các đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ cân

Cho $ a+b+c=6$ chứng minh rằng

$1.T=\frac{a}{\sqrt{b^{3}+b^{2}+4}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+c^{2}+4}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+a^{2}+4}}\geq \frac{3}{2}$

$2.\sum \frac{x}{\sqrt{2(y^{4}+z^{4})+7yz}}\geq \frac{1}{6}$

cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $(x+y)(y+z)(z+x)= 1$ chứng minh rằng

$\sum \frac{\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}}{\sqrt{xy}+1}\geq \sqrt{3}$

cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$, chứng minh rằng

$\frac{3ab+5a}{b^{2}+4b+3}+\frac{3bc+5b}{c^{2}+4c+3}+\frac{3ca+5c}{a^{2}+4a+3}\geq 3$

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{5}+b^{5}}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}\geq 2$

Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn $xy(x+y)=3^{z}-1$

Cho 650 điểm nằm trong một hình tròn với bán kính 16. Chứng minh rằng tồn tại một hình vòng với bán kính trong 2, bán kính ngoài là 3 chứa 10 trong 650 điểm đã  cho (hình vòng là hình tạo bởi 2 hình tròn đồng tâm nhưng bán kính khác nhau, bao gồm những điểm nằm trong hình tròn lớn mà không nằm trong hình tròn nhỏ)

Chứng minh rằng trong mọi đa giác đều 2n đỉnh, tồn tại một đường chéo không đi song song với bất cứ cạnh nào của đa giác

Cho $a\geq 2$, $b\geq 4$, $c\geq 5$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=56$

Tìm min S=a+b+c

Áp dụng BĐT C-S:

$$\frac{ab}{\sqrt{\frac{ab+bc}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt{\frac{bc+ca}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt{\frac{ca+ab}{2}}}\leq \sqrt{2[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\left[\frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)}\right]}=2\sqrt{(bc+ca+ab)\left[\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\right]}.$$

Với mọi số thực dương $a,b,c,x,y,z$, ta có:

$$2\sqrt{(bc+ca+ab)(yz+zx+xy)}+ax+by+cz=\sqrt{2(bc+ca+ab)\cdot 2(yz+zx+xy)}+ax+by+cz\leq \sqrt{[2(bc+ca+ab)+a^{2}+b^{2}+c^{2}][2(yz+zx+xy)+x^{2}+y^{2}+z^{2}]}=(a+b+c)(x+y+z)$$

$\Rightarrow 2\sqrt{(bc+ca+ab)(yz+zx+xy)}\leq x(b+c)+y(c+a)+z(a+b).$

Chọn $x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{c+a},z=\frac{c}{a+b}$ ta có

$$2\sqrt{(bc+ca+ab)\left[\frac{bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{ca}{(b+c)(b+a)}+\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\right]}\leq a+b+c=3$$

$$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{\frac{ab+bc}{2}}}+\frac{bc}{\sqrt{\frac{bc+ca}{2}}}+\frac{ca}{\sqrt{\frac{ca+ab}{2}}}\leq 3,$$

hay $$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}.$$

Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c=1$. $\square$

lời giải hay quá. cảm ơn bạn

Tham khảo ở đây: https://diendantoanh...c34/#entry72764

cảm ơn bạn nhé. bài gốc là ở link b gửi. mình bị mắc đoạn này nên tạo 1 bài mới. Many thanks

cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR

$\sum ab\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{4}$

cho a,b,c>0. CMR

$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

cho a,b,c >0 và a+b+c=3. CMR

1.$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$

2.$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

cho a,b,c >0. a+b+c=3. chứng minh rằng:

$\frac{ab}{\sqrt{ab+bc}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+ca}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+ab}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Cho a,b,c,x>0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+x}{b+x}+\frac{b+x}{c+x}+\frac{c+x}{a+x}$

Cách 1: Sử dụng Holder bậc 2 và bdt $8/9$

Cách 2: Ko cần nghĩ nhiều như cách 1:

Đưa về biến $(x,y,z)=(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$

Và dùng bđt Vasc

P.s: oh shit, lúc trưa mình nhầm giữa 8/9 và 4/27

cảm ơn bạn nhiều nhé

cho a,b,c nguyên dương chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Cho a,b,c nguyên dương. chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

cho a,b,c nguyên dương. chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$