bước 2->3 là sao vậy bạn

Tìm GTLN biểu thức $P=\frac{x^{4}+y^{4}}{\left ( x+y \right )^{4}}+\frac{x^{2}+y^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}+\frac{5\sqrt{xy}}{x+y}$

có điều kiện x, y không bạn

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)\sqrt{y}=1-x, (1)\\y(x+1)-\sqrt{y}(y+1)=x^{3}+5x^{2}-x-5, (2) \end{matrix}\right.$

Đặt $a=\sqrt{y} \geq 0$ ta được $(1) \Leftrightarrow (a+1)(a^2-a+1)=x(a+1) \Rightarrow x=a^2-a+1\geq\frac34$

từ đó: $\Rightarrow a^2(x+1)-a(a^2+1)=a^2(x+1)-a(x+a)=x(a^2-a)=x(x-1)$.

từ $(2) \Rightarrow x(x-1)=(x+1)(x-1)(x+5) \Rightarrow x=1$

cho $a+b+c=3$ tìm max

 

$\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
$=\frac{2}{9}.\frac{(a+b+c)^2}{(a+1)b+(b+1)c+(c+1)a}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\leq\frac29.\sum\frac{1}{1+a}+\frac39\sum\frac{a}{1+a}=\frac23+\frac19.\sum\frac{a}{1+a}$

$\leq\frac23+\frac{1}{18}.\sum\sqrt{a}\leq\frac23+\frac{1}{18}.\sqrt{3(a+b+c)}=\frac56$

Cho số tự nhiên $n\geq 2$. CMR:
$\frac{1}{1+3+5}+\frac{1}{1+3+5+7}+\frac{1}{1+3+5+7+9}+...+\frac{1}{1+3+5+...+(2n-1)}< \frac{5}{12}$

$\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{\sum_{j=1}^{i}(2j-1)}=\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{i^2}<\sum_{i=3}^{n}\frac{1}{(i-1)(i+1)}$
$=\frac12 \sum_{i=3}^{n}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i+1})=\frac12(\frac12+\frac13-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})<\frac{5}{12}$

Tìm m để BPT vô nghiệm:

$\sqrt{4-x^2}< m-x$

$\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{4-x^2}+x< m$. BPT vô nghiệm $\Leftrightarrow m < minf(x) = -2$

Bài toán 2.80 ( Phan Thành Nam)
Sáng tạo bất đẳng thức trang 171

nhưng phần áp dung bổ đề thì mình không chứng minh được điều kiện $|a-b|\leq|c-d|$

sao CM được điều kiện $|a-b| \leq |c-d|$ vậy bạn

Gải hệ$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-\frac{1}{4}}+\sqrt{y-\frac{1}{4}} =\sqrt{3} & & \\ \sqrt{y-\frac{1}{16}}+\sqrt{z-\frac{1}{16}}=\sqrt{3}& & \\ \sqrt{z-\frac{9}{16}}+\sqrt{x-\frac{9}{16}}=\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.$

đợi 4tháng nữa đi bạn

Giải $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1}=\sqrt[4]{2x+1}$

Điều kiện: $x\geq 0 \Rightarrow \sqrt{2x+1}>0 \wedge x<x+1<2x+1, (1)$
Ta được phương trình tương đương
$\sqrt[4]{\frac{x}{2x+1}}+\sqrt[4]{\frac{x+1}{2x+1}}=1$ mà $\sqrt[4]{\frac{x}{2x+1}}+\sqrt[4]{\frac{x+1}{2x+1}} \leq \frac{x}{2x+1}+\frac{x+1}{2x+1}=1$ (do $(1)$)
$\Rightarrow \sqrt[4]{\frac{x}{2x+1}}=\frac{x}{2x+1} \wedge \sqrt[4]{\frac{x+1}{2x+1}}=\frac{x+1}{2x+1} \Leftrightarrow x=0$

Điều kiện $x\geq 0$
Ta có $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x+1}=\sqrt{\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x+1}}\geq \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\geq \sqrt{\sqrt{x+x+1}}=\sqrt[4]{2x+1}$

bạn dung bdt gì vậy? cụ thể tí đi

Hình như là $x^3(x^3-x+2y)$ thì phải. Bạn cứ giải cho mình theo $x^3(x^3-x+2y)$ đi

nếu thế thì dung bđt đánh giá. ta được hệ tương đương
$\left\{\begin{matrix}&y^2+2x^6-x^4=\sqrt{4-(x^2y-1)^2}\leq2\\
&2yx^3+x^6-x^4=1+\sqrt{1+(x-y)^2}\geq2
\end{matrix}\right. \Rightarrow y^2+x^6\leq2yx^3\Leftrightarrow (y-x^3)^2\leq0$
$\Rightarrow y=x^3 \wedge x=y \wedge x^2y=1 \Leftrightarrow x=y=1$
Bạn xem lại xem có sai sót gì k:-?

Bài 1.
Giải phương trình $(x+1)\left ( 2+\sqrt{x^{2}+2x+4} \right )-2x\left ( 2+\sqrt{4x^{2}+3} \right )=0$

Bài 2.
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+8y^{3}-4xy^{2}=1\\ 2x^{4}+8y^{4}-2x-y=0 \end{matrix}\right.$

Bài 1: Xét $f(t)=t(2+\sqrt{x^2+3})....\Rightarrow x=1$
Bài 2: đặt $a=\frac{x}{y}, b=\frac{1}{x^3} \Rightarrow a=1....$

Giải bpt $\frac{x-\sqrt{x}}{1-\sqrt{2(x^2-x+1)}}\geq 1$

Ta có $\sqrt{2(x^2-x+1)}=\sqrt{x^2+1+(1-x)^2}>1$.
Suy ra $x-\sqrt{x}\leq 1-\sqrt{2((x-1)^2+x)} \Leftrightarrow 1-x+\sqrt{x}\geq \sqrt{2((x-1)^2+x)}$
Mà $\sqrt{2((x-1)^2+x)} \geq ||1-x|+\sqrt{x}|=|1-x|+\sqrt{x}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}&0 \leq x \leq 1\\&1-x=\sqrt{x}\end{matrix}\right. \Rightarrow x=\frac{3-\sqrt5}{2}$

Cảm ơn bạn nhiều nha - Đường Vĩ tuấn ko biết điều này - .

ax, sorry mấy bạn, hôm qua xem không kĩ

Sao bạn lại xét như vậy được nhỉ $x=y$ thì đúng rồi, mà hình như không xét được như vậy đâu ? VT có cả $x,y$ mà ?

xem y là tham số không được sao?

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-zy=3 & \\ x^{2}+y^{2}+yz-zx-2xy=-1 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-zy=3,(1) & \\ x^{2}+y^{2}+yz-zx-2xy=-1(2) & \end{matrix}\right.$
$2(2)+(1)\Rightarrow 4x^2+4y^2+z^2+2yz-4xz-4xy=0 \Leftrightarrow (z-2x+y)^2+3y^2=0 \Rightarrow y=0\wedge z=2x$
Thế vào $(2) \Rightarrow (x, y, z) \in {(1, 0, 2), (-1, 0, -2)}$

Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+\sqrt{x+y-1}=y^{3}+\sqrt{2y-1}\\ \sqrt[3]{y-9}=(x-3)^{3}+6 \end{matrix}\right.$

xét $f(x)=x^3+\sqrt(x+y-1)$ có $f'(x)=3x^2+\frac{1}{2\sqrt(x+y-1)}>0$ mà $f(y)=VP=VT=f(x) \Rightarrow x=y\geq\frac12$
$\Rightarrow \sqrt[3]{x-9}=(x-3)^3+6 \Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt[3]{(x-9)^2}+2\sqrt[3]{x-9}+4}=(x-1)((x-3)^2+2(x-3)+4)$
mà $(x-3)^2+2(x-3)+4 \geq 3$ và $g(x)=\sqrt[3]{(x-9)^2}+2\sqrt[3]{x-9}+4$ có $g'(x)=0 \Leftrightarrow x=8 \Rightarrow Maxg(x)=3$
nên hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

a, b, c dương thỏa
$\frac{1}{a}+$$\frac{1}{c}=$$\frac{2}{b}$
CMR:
$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

$\frac{1}{a}+$$\frac{1}{c}=$$\frac{2}{b} \Rightarrow \frac{a}{2a-b}=\frac{c}{b}, \frac{c}{2c-b}=\frac{a}{b}$
$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4 \Leftrightarrow \frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}\geq6$
$\Leftrightarrow \frac{c}{b}+\frac{a}{b}\geq 2$
mà $(a+c)(\frac1a+\frac1c)\geq4$ nên ta có dpcm

Cho a,b,c dương và abc=1
Tìm Max $\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

đã xóa

Bạn giải thích hộ mình cái đoạn cuối với, chỗ tổng hoán vị cuối cùng í, sao lại ra như tek, dùng bđt phụ j vậy

$\sum_{cyc}\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}=\sum_{cyc}(\frac{x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{z^2}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}})\geq\sum_{cyc}\frac{(x+\sqrt{xy}+z)^2}{2(y+\sqrt{zx}+z)^{2}+(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq 1$
đặt $a=(x+\sqrt{xy}+z)^2...$

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$ \frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}} + \frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}} + \frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq1$

$\sum_{cyc}\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}=\sum_{cyc}(\frac{x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}} + \frac{z^2}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}})\geq\sum_{cyc}\frac{(x+\sqrt{xy}+z)^2}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}+(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq 1$

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+c=1$.CMR
$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3$

Ta có $0 < a, b, c < 1$
$\sum_{cyc}\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum_{cyc}\frac{1-c}{\sqrt{(1-b)(1-a)}}\geq\frac{(\sum_{cyc}\sqrt{1-c})^2}{\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)}}\geq 3$

Giải bpt
$\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\log _2(1-x^2)\geq\dfrac{x}{\sqrt{1-x}+1}$

$\dfrac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\log _2(1-x^2)\geq\dfrac{x}{\sqrt{1-x}+1}$
$\frac{x(\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})}{(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}\geq -\log_2(1-x^2)$
$\Leftrightarrow \frac{-2x^2}{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{1-x}+1)}\geq -\log_2(1-x^2)$
mà $1-x^2 \le 1 \Rightarrow -\log_2(1-x^2) \geq 0$
$\Rightarrow x=0 \wedge \log_2(1-x^2)=0 \Rightarrow x=0$

Giải phương trình
$\frac{\sqrt{3}}{cos^{2}x}+\frac{4+2sin2x}{sin2x}-2\sqrt{3}=2(cotx+1)$

ĐK: $sin2x\neq 0$
$\frac{\sqrt{3}}{cos^{2}x}+\frac{4+2sin2x}{sin2x}-2\sqrt{3}=2(cotx+1)$
$\Leftrightarrow \sqrt3(2-\frac{1}{cos^2x})=2(\frac{1}{sinx.cosx}-cotx)$
$\Leftrightarrow \sqrt3cos2x-sin2x=0 \Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{6})=0\Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\vee x=\frac{\pi}{6}+k\pi$