Cho a,b là những số hữu tỉ dương thỏa: $a+b$ và $ab$ là số nguyên dương. CMR: a,b tự nhiên.

Mình cần gấp!

Vì $ab, a+b \ge 0 $

 

Suy ra: $a , b \ge 0$

 

Giả sử $a \ge b \ge 0$ 

 

Khi đó:

 

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là số nguyên

 

Nên: $a^2+b^2$ là số nguyên

 

$(a-b)^2$ là số nguyên

 

$a-b$ là số nguyên

 

$2a$ là số tự nhiên.

 

Nên a là số hữu tĩ hoặc số tự nhiên

 

Do $ab$ nguyên dương

 

Nên a là số tự nhiên.

 

Từ a+b là nguyên dương nên b cũng là số tự nhiên

vì sao ab và 2a tự nhiên => a tự nhiên????

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} 

bài thi chuyển lớp năm ngoái nì

 

Sở giáo dục đào tạo Lào Cai

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Ngày thi: 24/06/2014

 

Câu 2. (2,0 điểm).

Cho phương trình: $x^2-2mx+m-2=0~~(1)$ $(x$ là ẩn $)$

1. Cmr phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

2. Gọi $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Tìm $m$ để biểu thức $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

 

2.1 $\Delta =(2m-1)^2+7>0 \Rightarrow $ pt có 2 nghiệm phân biệt

2.2 Theo hệ thức viet, ta có :$x1+x2=2m; x1*x2=m-2$

$2mx_{1}+x_{_{2}}^2-6x_{1}x_{2}-m+2=(x_{1}+x_{2})x_{1}+x_{2}^2-6x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}=(2m-1)^2+7\geqslant 7$

 $M=\frac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}\geqslant \frac{-24}{7}$

dấu = xảy ra khi m=$\frac{1}{2}$

 

Viet Hoang 99

Chú ý $\LaTeX$, có thể kẹp $ vào một công thức dài ví dụ như

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

Chứ không phải là

$a^2$+$b^2$+$c^2$$\geq$$ab$+$bc$+$ca$

Không kẹp $ vào tiếng Việt có dấu

cotx - 1=cos2x / (1+tanx) + sin² x - 0.5 sin2x

đk: tanx #-1; sin X#0, cos x#0

cos x/sinx -1= (cos^2 x- sin^2 x)/(1+sin x/ cos x)+sin^2 x- sinx cos x

đến đây biến đổi tiếp:

hoặc cos x=sin x hoặc sin x cos x-sin^2 x=1

Đ/a x=pi/4+k. pi  

Bị sai bước bạn nhá!

Mẫu số= $(x_1+x_2)^2-8x_1x_2$ mới đúng.

Min là -2 khi m=1.

uhm. bt rồi. Nhầm. 

Chứng minh $\forall x\in \mathbb{R}$ ta có: $[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH1 : nếu $0\leqslant \left \{ x \right \}< \frac{1}{2}$

 $[a+1/2]=[ [a]+ {a}+ 1/2]=[a]+ [ { a }+1/2]=[a]$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2{a }]=2[a]$

=>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

TH2:  nếu $1/2 \leqslant \left \{ x \right \}< 1$

$[a+1/2]=[[a]+ { a}+1/2]=[a]+[{a}+1/2]=[a]+1$$

$[2a]=[2[a]+2{a}]=2[a]+[2 { a } ]=2[a]+1$

 =>$[x]+[x+\frac{1}{2}]=[2x]$

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đg cao AH=4cm, BD=5cm, AC vuông góc vs BD. Tính S hình thang ABCD

qua B kẻ đg thẳng song song vs AC cắt CD tại I. .tam giác BDI vuông tại B.

kẻ BK vuông góc vs DC. BK=AH=4.,  ta có:

1/BK^2=1/BD^2+1/BI^2  =>BI=20/3=AC.

S ABCD= AC*BD/2==

Giải pt sau:

$$cox(x).cox(2x).cos(4x)=\frac{-\sqrt{2}}{16}$$
 

xét sin x =0

xét sin x #0. Nhân 2 vế vs 8 sin x :

cos 8x=- 1/căn 2 sin x

Đây là đề thi chuyển lớp

Các bài toán tổ hợp

1,có bao nhiêu số có 3 c/số # tạo thành từ các c/ số 1,2,3,4,6,7,9 thỏa mãn là số chẵn và lớn hơn 345
2. Tính số các stn chẵn có 3 c/số và chia hết cho 9
3. Tính số các stn có 3 c/số và chia hết cho 4

Gpt nghiệm nguyên:

$(2.b^2+ab+a^2)(2b-a)+b+13=0$

Mình lập topic này để dành cho các bạn sinh năm 2000 có thể có tài liệu đề thi HSG, và tuyển sinh 10 chuyên và không chuyên.

Lưu ý: Mỗi bài các bạn phải đánh số thứ tự, trình bày rõ ràng, mạch lạc.

Mỗi tuần, mình sẽ đăng 1 để, các bạn vào làm.

Mong là topic sẽ được đông đảo các bạn ủng hộ.

Chúc các bạn thành công.

Đề số 1: Thời gian: 150 phút

1. Cho biểu thức:

P=$\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$

Q=$x^4-7x^2+15$ với x>0, x khác 1.

1) Rút gọn P.

2) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt GTNN.

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

3. 1) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: $2(x+y)+xy=x^2+y^2$.

2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c thỏa mãn: $a^2+b^2>5.c^2$. CMR: $c<a; c<b$.

4. Cho tam giác ABC cân ở A. Một đường tròn (O) có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc vs AB,AC lần lượt là X,Y và cắt BC tại 2 điểm, một trong 2 điểm này kí hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ. CMR:

1) Tứ giác HXBZ, HYCZ nội tiếp.

2) HB, HC theo thứ tự đi qua trung điểm XZ, YZ.

5. Giải phương trình: $\frac{x^2}{(x+2)^2}=3x^2-6x-3$

Cho a,b,c>0. 

CMR: $\sum \frac{a+b}{ab+c^2}\geq 4.\sqrt{1+\frac{3abc}{\sum (a+b)^3}}$

Thưa ban quản trị, 

cho em hỏi bạn em là Huong TH Phan trả lời cái topic này, sao lại bị ĐHV nhắc nhở ạ!

Mong BQT xem xét.

Nguồn: http://diendantoanho...-2/#entry522891

Em và bạn ấy cám ơn,

Lần áp dụng BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{27}{4\sum x}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

 

Vậy ta được đpcm . Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

1/2 chứ???

Chứng minh: $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}$

$\frac{1}{a+3b}+frac{1}{a+2c+b} \geq \frac{2}{a+2b+c}

$\frac{1}{b+3c}+frac{1}{b+2a+c} \geq \frac{2}{b+2c+a}

$\frac{1}{c+3a}+frac{1}{c+2b+a} \geq \frac{2}{c+2a+b}

Cộng vế theo vế ->> đpcm    

tìm lim

Bài 2/

Theo gt, có: $\left\{\begin{matrix} x-1+9\vdots 3\\ x-6+14\vdots 7 \end{matrix}\right.\rightarrow x=21k-8=42h-8$

Đến đây thì dễ!!!

có cách khác nữa nè :v

Ta có (2;3) =(2;7)= (3,7)=1 nên hệ có nghiệm duy nhất

m= 2*3*7=42

m_1= 3*7=21            m_2=2*7 =14       m_3=2*3=6

$21 y\equiv 1 (mod2)$

$y\equiv 1 (mod2) chọn y_1 =1$

$14y\equiv 1 (mod 3)$

$y\equiv 2 ( mod 3 ) chọn y_2 =2$

6$y\equiv 1 (mod 7)$

y\$equiv 6 (mod 7)  chọn y_3 =6$

Vậy hệ có nghiệm là

$21* 0* 1 +14*2*1 +6*6* (-1)  \equiv 34 (mod 42)$

Tam giác ABC,AB>AC, M,N là 2 điểm thuộc đường p/g trong, ngoài của góc  A.

CMR: a/ MB-MC<AB-AC

b/ NB+NC>AB+AC

đề thi hsg

Bài 2: Tìm các chữ số $a, b$ và $n \epsilon N$ , biết $\overline{a7b} . n = 2819$

 

2819 là số nguyên tố vì vậy không tìm đc a,b thỏa mãn bài toán

Câu $2b$

Hệ pt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{12x^2}{9x^2+4}=y & & \\ \frac{12y^2}{9y^2+4}=z & & \\ \frac{12z^2}{9z^2+4}=x & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y,z>0$

Xét hàm $f_{(t)}=\frac{12t^2}{9t^2+4}$ với $t>0$

Lấy $t_1;t_2 \in (0;+\infty )$, $t_1 \neq t_2$

Xét thương $\frac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{48(t_1+t_2)}{(9t_1^2+4)(9t_2^2+4)}>0$

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$

Hệ trên $\left\{\begin{matrix} f(x)=y & & \\ f(y)=z & & \\ f(z)=x & & \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát. Giả sử $x \geq y \geq z$. Ta có

$y\geq z\Rightarrow f(y) \geq f(z)\Leftrightarrow z\geq x \Rightarrow x=z$

$x\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(z)\Leftrightarrow y\geq x\Rightarrow x=y$

Vậy ta có $x=y=z$

Thay vào cần giải pt $12x^2=x(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ (tmđk)

Kết luận:

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$

2/ 

28159=29* 971

Cho hình chóp S.ABC. M thuộc SA, N thuộc BC. K trdiem AN. X=SK giao MN. c/m X di động trên đt cố định