Giải hệ phương trình

 

$\ \left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ \frac{xy+xz+yz}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

kết quả A=-1/xy dùng cô si cho xy là ra

bạn rút gọn bình thường là ra mà chỗ nào có x+y thay bằng 1

là sao? bạn giải kỹ hơn giùm mình đi

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

$-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0$

Tương tự ta có $b^{2}-2b-3\leq 0$ $c^{2}-2c-3\leqslant 0$

Cộng vế theo vế ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)-9\leq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 9+2.1=11$

Vậy max A=11 <=>$\left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-1 & & \\ c=3& & \end{matrix}\right.$(giả sử $c\geq a\geq b$)

Nhận thấy $x \geq 0$

Áp dụng bđt Cauchy ta có $x+1 \geq 2\sqrt{x}$

$\rightarrow P=\frac{\sqrt{x}}{x+1} \leq \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=1$

Hoặc

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x+1}\geq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x=1

$A=(y-x)^{2}+(x-1)^{2}+2\geq 2$

$B=(3y-x-2)^{2}+(x-1)^{2}+2029\geq 2029$

$C=21-(x-y-1)^{2}-3(y-2)^{2}\leq 21$

P/s: Bạn nên suy nghĩ trước khi hỏi nhé!!!

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ta luôn dựng được một tam giác sao cho diện tích tam giác đó bằng diện tích tứ giác ABCD

Cho $a;b;c \in N^{*}$ sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z$

Gọi d là ước chung của a và b.

Chứng minh $d\leqslant \sqrt{a+b}$

Với q>3 ; Tìm 2 số nguyên tố q và r biết 2^q+q²=r

Cần j đến Phéc-ma nhỉ , theo mình làm như sau nhé 
Vì với n>3 và $q^2+2^q$ là snt nên q lẻ suy ra $2^q \equiv 2(mod3)$
Ta lại có q ko chia hết cho 3 thì suy ra $q^2$ \equiv 1 (mod3) 
=> $q^2+2^q$ chia hết cho 3 ( vô lí)
Vậy không có q,r thỏa mãn đề ra :v

Cách này biết lâu rồi. Chỉ là tìm cách mới thôi

Vì q>3 nên 3 không chia hết cho q, do đó $k\vdots q$, vậy (k,q)=1 là sai!

(k;q)=1 thì 3 chia hết q suy ra q=3 thì mới kết luận không tồn tại q mà bạn

Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với

Giải các hệ pt

 

1.     $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}y^{3}+27=18y^{3} & & \\ 4x^{2}y+6x=y^{2}& & \end{matrix}\right.$

2.     $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3 & & \\ y+\frac{1}{z}=3& & \\ z+\frac{1}{x}=3& & \end{matrix}\right.$

3.      $\left\{\begin{matrix} 17x+2y=2011\left | xy \right | & & \\ x-2y=3xy& & \end{matrix}\right.$

$2^{n}+3^{n}+4^{n}=(3-1)^{n}+3^{n}+(3+1)^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ (mod 3)

Vì T chính phương nên T chia 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu n =2k => T chia 3 dư 2 (loại) do đó n=2k+1( T chia 3 dư 1)

Với n $\geq$ 3thì$2^{n}+3^{n}+4^{n}=2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}=4^{k}.2+9^{k}.3+16^{k}.4=4^{k}+(8+1)^{k}+16^{k}.4\equiv 3$ (mod 8)

T chính phương => T chia 8 dư (0;1;4) do đó n<3

Giải n=(0;1;2)

Bài 1 bạn cứ xét từng hàm số rồi cộng bình thường sẽ thấy bằng nhau
Bài 3 để A nguyên tố thì 1 trong 2 thừ số phải bằng 1 và số còn lại nguyên tố. Từ đó giải thôu

$\frac{(x+2)(x+8)}{x}=\frac{x^{2}+10x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+10\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}+10=18$

Min=18 khi x=4

Bài 1:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{16}{2x+y+z}$

 

tương tự ...........

 

$\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq \frac{1}{16}.4\sum \frac{1}{a}=1$

 

Bài 2:

 

$a^{2}+2b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+(b^{2}+1)+2\geq 2(ab+a+1)$

 

tương tự ......................

 

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{ab+a+1}=\frac{1}{2}$

(do $abc=1$)

 

Bài 3:

 

$b+c\geq 16abc\Leftrightarrow b+c\geq 16(1-b-c)bc\Leftrightarrow (b+c)(1+16bc)\geq 16bc$

 

Thật vậy:  $(b+c)(1+16bc)\geq 2\sqrt{bc}8\sqrt{bc}=16bc$       (ĐPCM)

Làm giúp bài 4 luôn bạn

Cho a,b,c, x,y,z là các số thực dương

 

1.   Cho         $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$

Chứng minh:         $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

2. Cho        $abc=1$

Chứng minh          $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

3. Cho   $a+b+c=1$

Chứng minh         $b+c\geq 16abc$

 

4. Cho   $x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3$

Tìm Max     $M=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

đoạn chữ đỏ sao suy ra đc thế bạn? Bé hơn hoặc bằng mà

viet nham

đặt $\ a=x^{3}$  b c tương tự

      khi đó $\ abc=1\Rightarrow (xyz)^{3}=1\Rightarrow xyz=1$

 

bài toán viết thành  $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1} $\dpi{200} \leqslant 1$

 

$\ x^{3}+y^{3}+1=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+xyz\geqslant (x+Y)(2xy-xy)+xyz=(x+y)xy+xyz=xy(x+y+z)$

 

do đó   $\ \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}\geqslant \sum \frac{1}{xy(x+y+z)}=\sum \frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}=1$

I Love MC  
1) Thiếu ĐK $x,y$ ko âm
Ta có $1+\sqrt{y} \ge 1$ 
Suy ra $\sqrt{x}-1 \le 1$ 
Hay $0 \le  x \le 4$ . Đến đây ta tìm được $(x,y)=(4,0)$ 
2) Vì $x,y \in \mathbb{Z}$ 
Suy ra PT $\Leftrightarrow \frac{8x^2-25}{3x+5}=y \in \mathbb{Z}$ 
Dễ rồi
 

bài 1 còn nghiệm x=y=2 bạn ơi. Tìm nghiệm này giùm mình cái

Tìm x,y nguyên

 

1.       $(1+\sqrt{y})(\sqrt{x}-1)=1$

 

2.           $8x^{2}-3xy-5y=25$