RainThunde nội dung
Có 27 mục bởi RainThunde (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
#240223 Đề thi môn Vật lý KSTN 2010
Đã gửi bởi RainThunde on 09-09-2010 - 17:53 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
#248110 Bất đăng thức
Đã gửi bởi RainThunde on 24-11-2010 - 11:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
Xem bằng FireFox, câu V
#249618 Nhẹ nhàng BDT hay PP cổ điển
Đã gửi bởi RainThunde on 21-12-2010 - 18:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
CMR
$2(4{a}^{2}+bc){(b+c)}^{3}+2(4{b}^{2}+ca){(c+a)}^{3}+2(4{c}^{2}+ab){(a+b)}^{3} \leq {(a+b+c)}^{5}$
Nếu bằng PP cổ điển thì càng tốt
#251290 Vấn đề này...
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
tìm max của
$\dfrac{ab}{ka+lb+mc}+\dfrac{bc}{kb+lc+ma}+\dfrac{ca}{kc+la+mb}$ theo k, l, m
(Bình thường thì với k, l, m đơn giản (nguyên) ta có thể dùng Cauchy - Schwarz)
#251291 Nhẹ nhàng BDT hay PP cổ điển
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
#251292 BDT
Đã gửi bởi RainThunde on 13-01-2011 - 19:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:
$\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}+\dfrac{a}{\sqrt{{a}^{2}+8bc}}+\dfrac{a({a}^{2}+8bc)}{{(a+b+c)}^{3}} \geq \dfrac{3a}{a+b+c}$
cộng từng vế
cuối cùng ta chỉ phải chứng minh
${a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}+24abc \leq {(a+b+c)}^{3}$
#253123 bat dang thuc
Đã gửi bởi RainThunde on 12-02-2011 - 13:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\dfrac{{a}^{2}}{a+bc}=\dfrac{{a}^{3}}{{a}^{2}+abc}=\dfrac{{a}^{3}}{{a}^{2}+ab+bc+ca}=\dfrac{{a}^{3}}{(a+b)(a+c)}$
$\dfrac{{a}^{3}}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\geq\dfrac{3a}{4} (2)$
Cộng từng vế 3 BĐT tương tự với BĐT (2) ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3
#253124 Vấn đề này...
Đã gửi bởi RainThunde on 12-02-2011 - 13:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
#253369 1 bài Cực Trị ôn thi mini
Đã gửi bởi RainThunde on 17-02-2011 - 18:44 trong Bất đẳng thức và cực trị
${x}^{2}+{y}^{2}=2$ => ${S}^{2}-2P=2$ <=> $P=\dfrac{{S}^{2}-2}{2}$
Ta luôn có ${S}^{2}\geq 4P$ <=> $2 \geq S \geq -2$
mà $x, y \geq 0$ => $0 \leq S \leq 2$
$A={x}^{3}+{y}^{3}={(x+y)}^{3}-3xy(x+y)=\dfrac{-{S}^{3}}{2}+3S$
Khảo sát hàm số với S nằm trong đoạn $[0;2]$
Còn cách lượng giác hóa nữa, ai gõ nốt dùm cái... )
#254001 LAI 1 BAI BDT
Đã gửi bởi RainThunde on 01-03-2011 - 17:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c>0, $ab+bc+ca=1$
$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}$
Ta có $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} \leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c})$
Cộng từng vế với 2 bddt tương tự nữa ta được $P\leq \dfrac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
#254006 Thách thức
Đã gửi bởi RainThunde on 01-03-2011 - 17:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có;
$\dfrac{x}{4x+4y+z}=x\dfrac{1}{(x+2y)+(x+2y)+(2x+z)}$
$\leq \dfrac{1}{9}x (\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+z})$
<=> $\dfrac{x}{4x+4y+z}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2x}{x+2y}+\dfrac{x}{2x+z})$
Tương tự
$\dfrac{y}{4y+4z+x}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2y}{y+2z}+\dfrac{y}{2y+x})$
$\dfrac{z}{4z+4x+y}\leq\dfrac{1}{9}(\dfrac{2z}{z+2x}+\dfrac{z}{2z+y})$
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> x=y=z
#488897 C/m: $3\sqrt{1+2x^2}+2\sqrt{40+9y^2}\...
Đã gửi bởi RainThunde on 26-03-2014 - 17:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nếu bạn đã học khảo sát hàm số thì chỉ cần thay $y=1-x$ sau đó khảo sát vế trái là ra kết quả.
Nếu bạn chưa học khảo sát thì có thể chứng minh hai bđt sau bằng biến đổi tương đương
$3\sqrt{1+2x^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{3}\right)+\sqrt{11}$
$2\sqrt{40+9y^2}\geq\frac{6}{\sqrt{11}}\left(y-\frac{2}{3}\right)+4\sqrt{11}$
cộng từng vế 2 bđt trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{3}$, $y=\frac{2}{3}$
#489770 Tìm giá trị lớn nhất của $x^{2}y+y^{2}z+z^{2...
Đã gửi bởi RainThunde on 31-03-2014 - 01:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
#489771 Tìm min $a^{2}+2b^{2}+2ab+a-5b$
Đã gửi bởi RainThunde on 31-03-2014 - 01:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
$a^{2}+2b^{2}+2ab+a-5b$
$ = a^2+(2b+1)a+\frac{4b^2+4b+1}{4}+b^2-6b+9-\frac{37}{4}$
$ = \left(a+\frac{2b+1}{2}\right)^2+(b-3)^2-\frac{37}{4} \geq -\frac{37}{4}$
Vậy min $a^{2}+2b^{2}+2ab+a-5b = -\frac{37}{4}$ $\Leftrightarrow$ $a=-\frac{7}{2}$, $b=3$
#489937 $\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3...
Đã gửi bởi RainThunde on 01-04-2014 - 01:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Trước hết ta chứng minh $\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$ với x, y > -1.
Sau khi biến đổi (với x, y > -1), bất đẳng thức trên tương đương với $(x-y)^2\geq0$.
Ta có:
$Q=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}$
$\leq2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}+\frac{z}{z+4}=\frac{2z}{z-2}+\frac{z}{z+4}$
Ta có $x>-1$, $y>-1$ nên $z<2$.
Lập bảng biến thiên hàm trong khoảng (-4,2), ta tìm được GTLN của Q là $\frac{1}{3}$, xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$, $z=-1$
#491356 $P=\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}...
Đã gửi bởi RainThunde on 08-04-2014 - 01:56 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này nằm trong đề thi Olympic Toán Mỹ năm 1980.
Giả sử $x\geq y\geq z$. Ta có:
$3\sqrt[3]{(1-y)(1-z)(y+z+1)}\leq (1-y)+(1-z)+(y+z+1)=1$
$\Rightarrow (1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1-x}{y+z+1}$
$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq \frac{1}{y+z+1}$ (1)
Mặt khác $x\geq y\geq z$
$\Rightarrow \frac{y}{x+z+1}\leq \frac{y}{y+z+1}$ (2)
$\frac{z}{x+y+1}\leq \frac{z}{y+z+1}$ (3)
Từ (1), (2), (3)
$\Rightarrow \frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}+(1-x)(1-y)(1-z)\leq 1$
Vậy GTLN của P = 1, xảy ra $\Leftrightarrow (x,y,z)=(1,0,0)$ hoặc $(1,1,0)$ và các hoán vị
#491863 Tìm GTNN $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz$
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 01:12 trong Bất đẳng thức - Cực trị
bạn ơi mình chưa hiểu tại sao
$xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(z+y-x)$
Chứng minh:
- Nếu $x+y-z<0\Rightarrow y+z-x>2y>0$ và $z+x-y>2x>0$
$\Rightarrow xyz>0>(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$.
Tương tự cho các trường hợp $y+z-x<0$ và $z+x-y<0$
- Nếu $x+y-z\geq 0$, $y+z-x\geq 0$ và $z+x-y\geq 0$:
Theo AM-GM $\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)}\leq y$
$\sqrt{(y+z-x)(z+x-y)}\leq z$
$\sqrt{(z+x-y)(x+y-z)}\leq x$
Nhân từng vế 3BĐT trên ta được $xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$
- Vậy BĐT đã cho đúng.
Nhận xét: Nếu khai triển ra thì đây là bđt Schur với n=1
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$
#491866 P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}...
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 01:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow \left (1+\frac{b}{a}\right )\left (1+\frac{c}{a}\right )=4$
Đặt $x=\frac{b}{a}$, $y=\frac{c}{a}$, ta có $(1+x)(1+y)=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$
$\Rightarrow P=4\left (\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}\right )+2xy-\sqrt{7-3xy}$
$\Rightarrow P=x+y+4xy-\sqrt{7-3xy}=3+3xy-\sqrt{7-3xy}$
Đặt $t=xy$. Theo AM-GM $3=x+y+xy\geq xy+2\sqrt{xy}\Rightarrow 1\geq t>0$
Xét hàm $f(t)=3+3t-\sqrt{7-3t}$.
Ta có $f'(t)=3+\frac{21}{2\sqrt{7-3t}}>0\Rightarrow $ f(t) đồng biến trong khoảng (0; 1], do đó $f(t)>f(0)=3-7\sqrt{7}$
Vậy P không tồn tại GTNN
#491868 Tìm GTLN $\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}$
Đã gửi bởi RainThunde on 10-04-2014 - 02:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Khả năng là không tồn tại max
Cho $a=b=10^-4, c=10^8$, kết quả xấp xỉ 3333:
http://www.wolframal...2*10^8+10^(-8))
Nếu cho $a=b=10^-5, c=10^10$, kết quả xấp xỉ 33333:
#492086 P=$4(\frac{b}{a+c}+\frac{c}...
Đã gửi bởi RainThunde on 11-04-2014 - 00:09 trong Bất đẳng thức và cực trị
Phần đặt ẩn x, y ban đầu của bạn rất hay. Cho mình hỏi với dạng bài tập như thế nào thì nên đặt như vậy.
Mình chỉ học tập kinh nghiệm từ bài này: http://diendantoanho...t-bc-right-4c2/. Theo ý kiến cá nhân mình, những bài bđt ba biến, nhưng chỉ đối xứng với hai biến (trong bài của bạn thì đối xứng với b và c) thì có thể sử dụng.
#492581 Côsi cho 3 số
Đã gửi bởi RainThunde on 13-04-2014 - 02:19 trong Bất đẳng thức - Cực trị
@solution co the noi ro hon duoc khong?
$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c\sqrt[3]{abc}}\geq 4\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=4\sqrt[3]{abc}$
P/s: Bạn Solution cũng không online từ năm 2005 đến giờ. Mình nghĩ bạn nên lập chủ đề mới để hỏi, không nên gửi bài vào những chủ đề đã cũ.
#492582 Tìm GTLN của $A = 4\left ( \sum \sqrt{a} \...
Đã gửi bởi RainThunde on 13-04-2014 - 02:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Xét hàm số $f(x)=4\sqrt{x}-x^2$
$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-2x=0\Leftrightarrow x=1$
Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta thu được $f(x)\leq 3$ với mọi x>0
Vậy GTLN của A là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
2) $B\leq 2(a^2+b^2+c^2)-4(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})-3(a^2+b^2+c^2)=A$
Vậy GTLN của B là 9, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
3) Theo câu 2:
$C=\frac{ab+bc+ca+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a^2+b^2+c^2+3}\leq \frac{9+3(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{3}{2}$
Vậy GTLN của C là $\frac{3}{2}$, xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.
#493236 A= $\sqrt{2x^{2}+2y^{2}-2x+2y+1}+...
Đã gửi bởi RainThunde on 16-04-2014 - 02:10 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cách giải hình học:
$A=\sqrt{2}\left (\sqrt{x^2+y^2-x+y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+x-y+\frac{1}{2}}+\sqrt{x^2+y^2+2x+2y+2}\right )$
$=\sqrt{2}\left (\sqrt{\left (x-\frac{1}{2}\right )^2+\left (y+\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{\left (x+\frac{1}{2}\right )^2+\left (y-\frac{1}{2}\right )^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}\right )$
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm $A\left (\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right )$, $B\left (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right )$, C(-1, -1). Ta cần tìm GTNN của $\sqrt{2}(MA+MB+MC)$.
Để MA + MB + MC đạt GTNN thì M phải là điểm Fermat (hay điểm Torricelli) của tam giác ABC (mình sẽ không chứng minh, các bạn có thể tham khảo Google hoặc http://en.wikipedia....ki/Fermat_point). Dễ thấy tam giác ABC nhọn nên M sẽ nằm trong tam giác. Cách dựng điểm M như sau:
- Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABC', CAB'
- Giao điểm của BB' và CC' là điểm M cần tìm.
Ta tính được
$C' = \left (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right )$, phương trình đường thẳng CC': $x-y=0$
$B' = \left (-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )$, phương trình đường thẳng BB': $\left (\frac{5}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right )x+\left (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right )y+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=0$
Suy ra $M=\left (-\frac{\sqrt{3}}{6},-\frac{\sqrt{3}}{6}\right )$, khi đó biểu thức A đạt GTNN là $2+\sqrt{3}$
#493654 Tìm min, Max
Đã gửi bởi RainThunde on 18-04-2014 - 03:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
$x^2+y^2=xy+3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}$. Thay vào biểu thức Q:Bài 2: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + y^2 = xy + 3$
Tìm min, Max của $Q = \frac{1}{x^3 + y^3} + \frac{1}{xy}$
$Q=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{3(x+y)}+\frac{3}{(x+y)^2-3}$
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=\frac{1}{3t}+\frac{3}{t^2-3}$
Ta có $xy=\frac{(x+y)^2-3}{3}\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}\Rightarrow -2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}$
Dựa vào bảng biến thiên của f(t) ta thấy f(t) không đạt GTLN và GTNN trên $[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]$
Lưu ý: Thực ra phương trình f'(t)=0 có nghiệm khá lẻ xấp xỉ -0.7
$x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\frac{(x+y)^2}{3}$. Thế vào biểu thức S:Bài 3: Cho $x, y \in \mathbb{R} ; x^2 + xy + y^2 = 3$
Tìm min, Max của $S = x^3 + y^3 - 3x - 3y$
$S=(x+y)^3-3xy(x+y)-3(x+y)=-2(x+y)^3+6(x+y)$
Đặt $x+y=t$, xét hàm $f(t)=-2t^3+6t$.
Ta có $xy=(x+y)^2-3\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ với mọi x, nên $-2\leq x+y\leq 2$
$f'(t)=-6t^2+6=0\Leftrightarrow t=\pm 1$
Dựa vào bảng biến thiên của hàm f(t) trên [-2, 2]:
- S đạt GTLN bằng 4, xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hoặc t = -2, hay (x, y) = {(-1, -1); (-1, 2); (2, -1)}
- S đạt GTNN bằng -4, xảy ra khi và chỉ khi t = -1 hoặc t = 2, hay (x, y) = {(1, 1); (1, -2); (2, -1)}
#493845 $\left | x^2-y^2+2\sqrt{3}xy-2(1+2\sqrt{3...
Đã gửi bởi RainThunde on 19-04-2014 - 02:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
có thể giúp e biến đổi chỗ này không em biến đổi mãi mà không ra
Do x + 1 > 0, y + 1 > 0, $\Rightarrow \frac{x+y}{2}+1>0$. Ta có:
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\leq 2\frac{\frac{x+y}{2}}{\frac{x+y}{2}+1}$
$\Leftrightarrow \frac{xy+x+xy+y}{(x+1)(y+1)}\leq \frac{2(x+y)}{x+y+2}$
$\Leftrightarrow (2xy+x+y)(x+y+2)\leq 2(x+y)(xy+x+y+1)$
$\Leftrightarrow 2xy(x+y)+(x+y)^2+4xy+2(x+y)\leq 2xy(x+y)+2(x+y)^2+2(x+y)$
$\Leftrightarrow 4xy\leq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$
- Diễn đàn Toán học
- → RainThunde nội dung