Bài IMO nè:

CMR với a, b, c là các số nguyên dương thì:

$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}}\geq 1$

mình nghĩ là dùng côsi cho  $\frac{a^{2}}{1-a}$ và $\frac{b^{2}}{1-b}$ để rút gọn mẫu rồi dùng côsi lần nữa

ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$

Phương trình tương đương $x\left ( \sqrt{1-x}+1 \right )=2x\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )$. Ta có x = 0 là một nghiệm

Xét $\sqrt{1-x}+1=2\left ( \sqrt{1+x}+1 \right )\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=2\sqrt{1+x}+1\Rightarrow 4\sqrt{1+x}=-5x-4$

Vì $x\geq -1\Rightarrow -5x-4\leq 1$ mà $4\sqrt{1+x}\geq 4$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 0

Cho a và b là hai số nguyên dương, gọi $S= a+b$ và $M= BCNN(a,b)$. Chứng minh rằng :

ƯCLN(a,b)= ƯCLN(S,M)

Bài này mình trích trong đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi (2012-2013)

Có bao nhiêu tập hợp con của tập hợp {1;2;3;4;...;2014} thoả mãn điều kiện: A có ít nhất 2 phần tử và nếu $x\epsilon A , y\epsilon A, x>y$ thì $\frac{y^{2}}{x-y}\epsilon A$

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP  THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2013-2014

Môn: Chuyên Toán

 

Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn: $abc=1$. CMR:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(c+1)(b+1)}+\frac{c}{(a+1)(c+1)}\geq \frac{3}{4}$

Biến đổi tương đương rồi dùng AM-GM là xong

Ai chém câu 5 đi

Ai làm Bài 3 b) đi. Ngồi trong phòng thi cày mãi mà chẳng ra.  Hu..hu    ...  ....

Bài này có trong đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2014-2015 đúng ko. Bài này mình làm mãi chẳng ra

$(x^{2}+2y^{2})(1+2)=[(x)^{2}+(y\sqrt{2})^{2}][1^{2}+(\sqrt{2})^{2}]\geq (x+2y)^{2}$ (theo Bunhia) =1

=> $x^{2}+2y^{2}\geq \frac{1}{3}$

vậy min $x^{2}+2y^{2}=1$ khi $x=\frac{1}{3}; y=\frac{1}{3}$       

Tìm tất cả các số tự nhiên lớn hơn 9 sao cho khi xóa đi chữ số hàng đơn vị của nó thì được số mới là ước số của chính số đó

Gọi số phải tìm là $\bar{Ab}$ (A là một số tự nhiên khác 0|) ta có $10A+b\vdots A$. -> $b\vdots A$

+ Nếu b=0 thì $b\vdots A$ với mọi A

+ Nếu $b\neq 0$ thì b>0; A>0, mà $b\vdots A$ nên $A\leq b$, vì vậy A là số có một chữ số

-Nếu b=1 thì a=1

-Nếu b=2 thì a $\epsilon$ {1;2}

-Nếu b=3 thì a $\epsilon$ {1;3}

-Nếu b=4 thì a $\epsilon$ {1;2;4}

-Nếu b=5 thì a $\epsilon$ {1;5}

-Nếu b=6 thì a $\epsilon$ {1;2;3;6}

-Nếu b=7 thì a $\epsilon$ {1;7}

-Nếu b=8 thì a $\epsilon$ {1;2;4;8}

-Nếu b=9 thì a $\epsilon$ {1;3;9} 

-Vậy ta được các số : 11;12;22;13;33;14;24;44;15;55;16;26;36;66;17;77;18;28;48;88;19;39;99; A0 ( với A là số tự nhiên khác 0 )  

Bài 3b) nhân liên hợp, giống bài này

Còn bài 3a) dùng phương pháp kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp

thế trường hợp chữ số hàng đơn vị là 0 thì số cần tìm có mấy chữ số cũng được mà vẫn thỏa mãn mà bạn 

Thế TH số có 3,4,... chữ số thì sao???

Cảm ơn ý kiến của 2 pạn, mình đã sửa lại rùi  , mong các pạn xem lại hộ mình    ( tại lúc đầu không đọc kĩ đề, tưởng là số có hai chữ số   )

đề thi nam nay tinh nao cung de hon moi nam

Đề năm nay tỉnh Thanh Hóa khó hơn năm ngoái nè   ( tại cái bài số học 3b) với bài BĐT 5 ) 

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Tìm GTNN, GTLN của $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

 Xét $P^{2}=(x^{2}+4x+4)(y^{2}+4y+4)(z^{2}+4z+4)$$\leq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x+4y+4z+12)^{3}}{27}$

Vì $x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$=3 nên

$P^{2}\leq \frac{(3+4.3+12)^{3}}{27}=27^{2} \Rightarrow -27\leq P\leq 27$

Vậy min P=-27 khi $x=y=z=-1$

max P =27 khi $x=y=z=1$     

Úi, quên mất rùi , chỗ tìm min có vấn đề     ....................

Cho $x,y,z \in (0;1)$

CMR: $\frac{1}{x(1-y)}+ \frac{1}{y(1-z)}+ \frac{1}{z(1-x)}\ge \frac{3}{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}$

BĐT cần cm tg đg với 

$\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{x(1-y)}+\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{y(1-z)}+\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{z(1-x)}\geq 3$ (1)  

Ta có : $xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=xyz+(1-y)(1+xz-x-z)=xyz+(1-y)(1-z-x)+(1-y)xz= xz+(1-y)(1-z-x)$

Vậy$\frac{xyz+(1-x)(1-y)(1-z)}{x(1-y)}=\frac{xz+(1-y)(1-z-x)}{x(1-y)}=\frac{z}{1-y}+\frac{1-z}{x}-1$    

=> (1) <=> $\frac{1-z}{x}+\frac{x}{1-z}+\frac{z}{1-y}+\frac{1-y}{z}+\frac{y}{1-x}+\frac{1-x}{y}\geq 6$               (2)

Vì $x,y,z\epsilon \left ( 0;1 \right )$ nên$1-x,1-y,1-z> 0$

Dùng Cauchy cho  (2), suy ra dpcm

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho :$13579^{n}-1$ chia hết cho $10^{2016}$.

Dễ thấy với n=0 thì $13579^{n}-1=13579^{0}-1=1-1=0\vdots 10^{2016}$

Vậy tồn tại số tự nhiên n để :$13579^{n}-1$ chia hết cho $10^{2016}$.        

Bài 6 : 

$(\frac{3^{2}}{(a+b)^{2}}+c^{2})(\frac{3^{2}}{2^{2}}+1)\geq(\frac{9}{2(a+b)}+c)^{2} \Rightarrow \sqrt{\frac{9}{(a+b)^{2}}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{4}{13}}.(\frac{9}{2(a+b)}+c) \Rightarrow \sum \sqrt{\frac{9}{(a+b)^{2}}+c^{2}}\geq \sqrt{\frac{4}{13}}\sum (\frac{9}{2(a+b)}+c)\geq \sqrt{\frac{4}{13}}.(\frac{81}{4(a+b+c)}+(a+b+c))$$= \sqrt{\frac{4}{13}}.(\frac{81}{4(a+b+c)}+\frac{9}{4}(a+b+c)-\frac{5}{4}(a+b+c))\geq \sqrt{\frac{4}{13}}.(2.\frac{27}{4}-\frac{5}{4}.3)=\frac{3\sqrt{13}}{2}$

Dấu = xảy ra<=> a=b=c=1     

Đắng lòng   .....!!!!!!!, năm nay Thanh Hóa ko tổ chức thi violympic 

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{p^{2}-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên

Bạn huuhieuht ơi, cm $2(a+1)$ và $a^{2}-a+1$ nguyên tố cùng nhau như thế nào zạ ?

Theo mình nghĩ thì đặt d=ƯCLN( 2(a+1); a²-a+1)

=> $\left\{\begin{matrix} 2(a+1)\vdots d & \\ a^{2}-a+1\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a+1)\vdots d & \\ 2a^{2}-2a+2\vdots d & \\ 2a^{2}+2a\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a+4\vdots d & \\ 4a-2\vdots d & \end{matrix}\right. \Rightarrow 6\vdots d$

Vậy $d\epsilon${1;2;3;6}

=> 2(a+1) và a²-a+1 chưa chắc đã nguyên tố cùng nhau

* ) Một ví dụ: Nếu a=5 thì 2(a+1)= 12; a²-a+1=21 => ƯCLN( 2(a+1) ; a²-a+1 ) = 3

Xét $a^{4}+\frac{1}{4}=(a^{4}+a^{2}+\frac{1}{4})-a^{2}=(a^{2}+\frac{1}{2})^{2}-a^{2}=(a^{2}-a+\frac{1}{2})(a^{2}+a+\frac{1}{2})$

Mà $a^{2}-a+\frac{1}{2}=(a^{2}-2a+1)+(a-1)+\frac{1}{2}=(a-1)^{2}+(a-1)+\frac{1}{2}$

Vậy $a^{4}+\frac{1}{4}=\left [(a-1)^{2}+(a-1)+\frac{1}{2} \right ]\left ( a^{2}+a+\frac{1}{2} \right )$

=> $A= \frac{(1+\frac{1}{4})(3^{4}+\frac{1}{4})(5^{4}+\frac{1}{4})...(29^{4}+\frac{1}{4})}{(2^{4}+\frac{1}{4})(4^{4}+\frac{1}{4})(6^{4}+\frac{1}{4})...(30^{4}+\frac{1}{4})}=\frac{(0^{2}+0+\frac{1}{2})(1^{2}+1+\frac{1}{2})(2^{2}+2+\frac{1}{2})...(29^{2}+29+\frac{1}{2})}{(1^{2}+1+\frac{1}{2})(2^{2}+2+\frac{1}{2})(3^{2}+3+\frac{1}{2})...(30^{2}+30+\frac{1}{2})}= \frac{0^{2}+0+\frac{1}{2}}{30^{2}+30+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1861}{2}}= \frac{1}{1861}$

Cách khác nè: Từ giả thiết $x+y=2\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$

Mặt khác $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\geq \frac{xy}{4}\Rightarrow P^{2}=x^{2}+y^{2}+xy+2\sqrt{xy(x^{2}+y^{2})}\geq x^{2}+y^{2}+xy+xy=4\Rightarrow P\geq 2$

Sao bạn không kiểm tra điểm dừng của BĐT

Khi $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì dấu " = " xảy ra <=> x=y

Khi $2xy\geq \frac{xy}{4}$ thì dấu " = " xảy ra khi x, y có 1 số bằng 0

Vậy tóm lại, dấu "=" xảy ra <=> x=y=0 hoặc x=y=2, thử lại không thỏa mãn

dấu = xảy ra khi x=0;y=2 và hoán vị mà!!!!!

Đúng là như vậy, nhưng theo cách giải của bạn hachinh2013 thì có đoạn $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$ thì bắt buộc x=y mới xảy ra dấu = chứ