Giải hệ phương trình

 

$\ \left\{\begin{matrix} x+y+z=6 & \\ \frac{xy+xz+yz}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=2\sqrt{2} & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\ \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

1. Chứng minh $\forall n\in N*, n>1. \exists p,q\in N*: n=p+q $ p,q có lượng ước nguyên tố bằng nhau

 

2. Cho p là số nguyên tố (p>5)

X= { p-n²  / n thuộc N* , n²<p }             Chứng minh rằng tồn tịa x,y thuộc X : x khác y, x khác 1 , x/y

3. Cho k>1 ; k thuộc N. Chứng minh rằng tồn tại p và tồn tại dãy : q₁<q₂<...<q_n<... sao cho

(p+kq_i) là số nguyên tố với i thuộc N*

 

4.Cho p nguyên tố. Tìm k thuộc Z. để $\sqrt{k^{2}-kp}\in N*$ 

C2:

$(\frac{h_{a}}{h_{b}})^{2}+(\frac{h_{a}}{h_{c}})^{2}=1\Rightarrow (\frac{b}{a})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}=1\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ nên tam giác này vuông

C1:

Từ câu 2 ta có $(\frac{12}{15})^{2}+(\frac{12}{20})^{2}=1$ nên tam giác này vuông

$\frac{(x+2)(x+8)}{x}=\frac{x^{2}+10x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+10\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}+10=18$

Min=18 khi x=4

$a,b,c\in IR^{+}$   :   $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}= 3$

 

C/M:        $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

$x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x+k)(x-3)^{3}$ khai trien ra dong nhat he so tinh dc a,b,c theo k lai co 9a+3b+c+81=0 thay vao giai k

1.    $\left\{\begin{matrix} 6x^{2}-y^{2}-xy+5x+5y-6=0 & & \\ 20x^{2}-y^{2}-28x+9=0 & & \end{matrix}\right.$

 

2.    $\left\{\begin{matrix} x+1=y+z & & \\ xy+z^{2}-7z+10=0& & \\ x^{2}+y^{2}=17& & \end{matrix}\right.$

Sử dung log

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ta luôn dựng được một tam giác sao cho diện tích tam giác đó bằng diện tích tứ giác ABCD

Cho $a;b;c \in N^{*}$ sao cho $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in Z$

Gọi d là ước chung của a và b.

Chứng minh $d\leqslant \sqrt{a+b}$

$-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0$

Tương tự ta có $b^{2}-2b-3\leq 0$ $c^{2}-2c-3\leqslant 0$

Cộng vế theo vế ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)-9\leq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 9+2.1=11$

Vậy max A=11 <=>$\left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-1 & & \\ c=3& & \end{matrix}\right.$(giả sử $c\geq a\geq b$)

Kéo dài DK: DK cắt AC tại P.

Chứng minh được $\Delta PAD = \Delta BAE  \Rightarrow$ PA=AC

$\Delta PCK $ có PA=AC và AH // PK $\Rightarrow$ KH = HC 

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

 x,y $\in$ IR⁺,  x+y=2

 

Find Min :

 

$T=\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy^{2}-x^{2}y^{3}}$

xét n>2   $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ ( mod 3 ) suy ra n lẻ. 

$n= 2k+1\Rightarrow 3^{n}=3^{2k+1}=9^{k}.3=(8+1)^{k}.3\equiv 3$ ( mod 8 )

Mà $n\geq 3\Rightarrow (2^{n}+4^{n})\vdots 8$ do đó $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv 3$ ( mod 8 ) mọi n>2

suy ra n<2 

nếu x, y,z đều ko chia hết 3 => x², y² chia 3 cung dư 1 => x²+y²=z² chia 3 dư 2 vô lý => tồn tại x or y or z chia hết 3

tương tự khi chia cho 4

Tìm x,y nguyên

 

1.       $(1+\sqrt{y})(\sqrt{x}-1)=1$

 

2.           $8x^{2}-3xy-5y=25$

Nhận thấy $x \geq 0$

Áp dụng bđt Cauchy ta có $x+1 \geq 2\sqrt{x}$

$\rightarrow P=\frac{\sqrt{x}}{x+1} \leq \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=1$

Hoặc

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x+1}\geq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x=1

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng

 

$\dpi{200} \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{c^{2}}{b+c}+\frac{a^{2}}{c+a}+\frac{b^{2}}{a+b}$

Bài 1 bạn cứ xét từng hàm số rồi cộng bình thường sẽ thấy bằng nhau
Bài 3 để A nguyên tố thì 1 trong 2 thừ số phải bằng 1 và số còn lại nguyên tố. Từ đó giải thôu

đa giác n cạnh => có n đỉnh... 
mỗi đỉnh of đa giác có thể nối với (n-3) đỉnh khác để tạo ra (n-3) đường chéo....(trừ đỉnh ta đang xét và 2 đỉnh gần nhất....(vì nối tạo ra cạnh)) 
ta có n đỉnh => sẽ có n.(n-3) đường chéo.. 
nhưng 1 đường chéo sẽ đc nối bởi 2 đỉnh => số đg chéo sẽ đc nhân đôi = n.(n+3) 
=> số đường chéo thực = n.(n-3)\2

I Love MC  
1) Thiếu ĐK $x,y$ ko âm
Ta có $1+\sqrt{y} \ge 1$ 
Suy ra $\sqrt{x}-1 \le 1$ 
Hay $0 \le  x \le 4$ . Đến đây ta tìm được $(x,y)=(4,0)$ 
2) Vì $x,y \in \mathbb{Z}$ 
Suy ra PT $\Leftrightarrow \frac{8x^2-25}{3x+5}=y \in \mathbb{Z}$ 
Dễ rồi
 

bài 1 còn nghiệm x=y=2 bạn ơi. Tìm nghiệm này giùm mình cái

Giải các hệ pt

 

1.     $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}y^{3}+27=18y^{3} & & \\ 4x^{2}y+6x=y^{2}& & \end{matrix}\right.$

2.     $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=3 & & \\ y+\frac{1}{z}=3& & \\ z+\frac{1}{x}=3& & \end{matrix}\right.$

3.      $\left\{\begin{matrix} 17x+2y=2011\left | xy \right | & & \\ x-2y=3xy& & \end{matrix}\right.$

Chứng minh tồn tại 2013 số nguyên dương a₁ ;  a₂ ;...;   a₂₀₁₃    thõa mãn a₁ < a₂ < ... < a₂₀₁₃  và

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{2013}}=1$