Tính tích phân suy rộng $\int_{1}^{\infty } \frac{ln(1+x)}{x} dx$ 

Sử dụng BĐT $\frac{\ln{(1+x)}}{x}\ge \frac{\ln 2}{x}>0 \, \forall x\ge 1$ để chứng minh TPSR phân kỳ.

Cho hàm số f(x) = cos(2.$x^{4}$ - $x^{12}$). Tính giá trị $\frac{f^{(16)}(0)}{16!}$.

Vì $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{4!}+\text{o}{(u^4)}$ nên

$f(x)=\cos {(2x^4-x^{12})}=1-\frac{(2x^4-x^{12})^2}{2}+\frac{(2x^4-x^{12})^4}{4!}+\text{o}{(x^{16})}=...+\fra{29}{3}x^{16}+\text{o}{(x^{16})}.$

Suy ra $\frac{f^{(16)}(0)}{16!}=\frac{29}{3}.$

Chào các anh chị, anh chị có thể giúp em giải các bài tập sau được không ạ, em cảm ơn nhiều ạ

lim (x^2+y^2) e^-(x+y) khi (x,y) -> (+vô cùng, +vô cùng)

Dùng BĐT $e^u \ge \frac{u^3}{3!}$ với $u>0.$

Tính diện tích giới hạn bởi nửa mặt cầu $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ bị cắt bởi hình trụ: $x^2+y^2=5$.

Diện tích mặt $z=f(x,y)$ bị giới hạn bởi miền $(x,y)\in D$ được xác định bởi

\[\iint_{D}\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2} dxdy=\iint_{D}\frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}} dxdy= \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{5}} \frac{3r}{\sqrt{9-r^2}}dr d\phi.\]

a) y=e^xcosx
b) y^(n)(0) nếu y=arcsinx

1) Dùng công thức Newton- Leibniz.

2) Dùng khai triển Maclaurin của hàm $\arcsin x.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y= \dfrac{4}{1-x}+ \dfrac{1}{x}$, với $0<x<1$.

Dùng BĐT: với các số thực dương $u,\, v$ và các số thực $a,\, b$, ta có 

$$\frac{a^2}{u}+\frac{b^2}{v}\ge \frac{(a+b)^2}{u+v}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{u}=\frac{b}{v}.$

Cho 2 dãy số $(x_n),(y_n)$ thoả mãn:

$x_1=y_1=\sqrt{3}$

$x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x_{n}^{2}}$

$y_{n+1}=\frac{y_n}{1+\sqrt{1+y_{n}^{2}}}$

Chứng minh rằng $2<x_{n}y_{n}<3$ với mọi $n\geq2$

Dùng lượng giác, ta sẽ tìm ra SHTQ của hai dãy. Từ đó, ta chứng minh được điều cần phải chứng minh.

tinh gioi han cua ham so sau khi x tien toi -2

              $\frac{x^{2}+2x}{x^{2}+4x+4}$

Minh lam ra am vo cung nhung sao dap an cu ra + - vo cung ay . 

 

Giới hạn không tồn tại.

Cho $(a_{n}):\left\{\begin{matrix} & a_{1}=\frac{4}{3}\\ & (n+2)^{2}a_{n}=n^{2}a_{n+1}-(n+1)a_{n}a_{n+1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim a_n. $ 

Dễ thấy nên biến đổi để qui về dãy truy hồi "tuyến tính" $\left\{v_n \right\}$, trong đó $v_n=\frac{1}{a_n}, n\in \mathbb{N}.$

Sau đó, đặt  $w_n= v_{n}-\frac{1}{4}, n\in \mathbb{N}.$

Ta thu được dãy truy hồi sau  $$(n+2)w_{n+1}=n^2w_n, n\in \mathbb{N}.$$

Từ đó xác định được SHTQ của dãy và tìm giới hạn.

Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

$a)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( e-\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right )^p$

$b)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )^p\ln \frac{n-1}{n+1}$

$c)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln(\ln n) \right )^{\ln n}}$

$d)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln n \right )^{\ln\left ( \ln n \right )}}$

$e)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p\ln ^qn}$

$f)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2}+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}$ ($n$ dấu căn)

a), b), e) "giá trị" $p$ như thế nào?

f) Gõ đề đúng không hongson?

Và (c, d) cũng thế! Chú ý giá trị bắt đầu  $1$ nhen!!

tính giới hạn

1.              $u_{n}=\sqrt{1+u_{n-1}} , u_{0}=\sqrt{3}$

2,              $u_{n}=\frac{1}{2}+\frac{(u_{n-1})^{2}}{2}, u_{1}=\frac{1}{2}$

1) Dãy giảm bị chặn dưới bởi 0. Giới hạn của dãy là $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

2) Dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$.  Giới hạn của dãy là $1$.

Hàm số sau đây có bao nhiêu điểm gián đoạn
$$f(x)=\begin{cases}\frac{|x|}{x}, x \ne 0\\0, x=0\end{cases}$$

Dễ dàng kiểm tra hàm số này chỉ có duy nhất điểm gián đoạn: $x=0.$

Tìm cực trị nha bạn, nó có tới 3 điểm dừng là $(2;3),(a;0),(0,b)$ với $a,b \in \mathbb{R}$.

"Ba"???- Mình đếm mãi không ra "3"!

Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\in N^{*}$

Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $\limu_{n}=\lim v_{n}$

Một số nhận xét  dẫn đến lời giải cho bài toán:

1) Dùng qui nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta nhận được $u_n\ge v_n \forall n\in \mathbb{N},$

2) Từ 1), ta thu được $ \left\{u_n\right\} $ là dãy giảm bị chặn dưới bởi $v_1=b$ và $\left\{v_n\right\}$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $u_1=a.$

3) Từ 2), ta thu được cả hai dãy hội tụ. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, ta suy ra hai dãy hội tụ về cùng giới hạn.

Cho $x\to +\infty$. Chứng minh rằng: $\frac{arctan(x)}{1+x^2}=O(\frac{1}{x^2})$

Điều này dễ thấy vì $\lim_{x\to \infty} \arctan x=\frac{\pi}{2}.$

Áp dụng BĐT $|\sin x|\le 1, |\sin x| \le |x|, \forall x\in \mathbb{R},$

\[|\cos x-\cos y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}. \sin\frac{x+y}{2}\right| \le |x-y|.\]

Từ đánh giá trên và Định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $0.$

Tìm $\lim u_n$ biết $u_n=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$

Dùng đẳng thức $$\dfrac{1}{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}= \dfrac{1}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}\left( \sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}=\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}}= \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$$

Cho 2 ma trận A, B sao cho $A.B= \begin{pmatrix} 5 & 11\\ 11 & 25 \end{pmatrix}$, $B.A=\begin{pmatrix} x & 14\\ 14 & y \end{pmatrix}$. Hãy tìm x,y và A,B.

Dùng $\det(AB)=\det(BA)$ và $\text{trace}(AB)=\text{trace}(BA).$

1/ lim($\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}$)

2/ lim ($\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}$)

1/  Vì  $\frac{k}{n^2+n}\le  \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1}\forall k\le n$ nên $$\frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+k}\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k} \le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1}\,\forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $\frac{1}{2}.$

2/ Ta có $$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \forall n\in \mathbb{N}.$$

Áp dụng định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $1.$

Tìm công thức tổng quát của $\left \{ U_n \right \}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} & U_1=2 & \\ & n^2U_n=U_1+U_2+...+U_n & \end{matrix}\right.$ . 

https://diendantoanh...-tìm-lim-n2u-n/

BÀI TOÁN: Cho $lim\frac{\sqrt[3]{an^3+5n^2-7}}{\sqrt{3n^2-n+2}}=b\sqrt{3}+c$ . Tính 

$$P=\frac{a+c}{b^3}$$

Đề sai! Không thể tính $P.$

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định như sau : $\left\{\begin{matrix}u_0=\frac12\\u_{k}=u_{k-1}+\frac1{n}u^2_{k-1} \end{matrix}\right.$ $(n\in N,k=1,2,3...n)$

Chứng minh rằng $\lim u_{n}=1$

Đề nhầm lẫn rồi!

Cho $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} y+x^3\sin{\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}} & ,(x,y)\neq(0,0),\\ 0 & ,(x,y)=(0,0). \end{matrix}\right.$

Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng bậc hai của hàm $f$ tại $(0,0)$.

Bạn có viết thiếu ngoặc hay không?

Được dùng kết quả này chưa bạn? $f$ và $g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f/g$ liên tục những điểm mà $g$ khác 0.

Cho:($(x_{n}):x_{1}=a,x_{n+1}=\frac{n(n+3)x_{n}+8}{(n+1)^{2}} (\forall n\geq 1)$

1.Tìm Số hạng tổng quát

1.Tìm a để dãy hội tụ.Khi đó tính lim $x_{n}$

Đặt $v_n= x_n-(2n+6), \, n\in \mathbb{N}.$

Ta có $v_1=a-8, \, v_{n+1}= \frac{n(n+3)}{(n+1)^2}v_n, n\in \mathbb{N}.$

Suy ra $$ v_{n}= \frac{(n-1)!(n+2)}{2(n!)^2}v_1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2n} v_1.$$