Spoiler

Ở trường, cô giáo vẫn đang dạy những phần đầu của đại số ( căn thức) mà cho mấy bài Dirichlet hại não quá. =)))) Cô hại trò cũng hại. Mình vẫn khao khát có bạn nào đó có thể cho mình một vài bài tương tự như trên (ngồi chế cũng được  )

BÀI 58:  Gỉa sử $A$ là một tập con của tập các số thực $\mathbb{R}$ thỏa: $A\supset \mathbb{Z}$ ; $\sqrt{2}+\sqrt{3}\epsilon A$, nếu $x,y\epsilon A$ thì $x+y$ và $xy$  $\epsilon A$. Chứng minh rằng $\sqrt{2}-\sqrt{3}\epsilon A$.

Ta có$\sqrt{2}+\sqrt{3}\in A=>(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2} \in A =>10-(5+2\sqrt{6}) \in A =>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} \in A =>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \in A (dpcm)$

giống $n^{a}-1=(n-1)(n^{a-1}+n^{a-2}+n^{a-3}+...+n^2+n+1)$ thôi

=)) bạn viết ở phần trên mình tưởng là $2^{2a}$ *nhìn nhầm* =))

Chứng minh nếu $2^{n}-1$ là số nguyên tố thì $n$ là số nguyên tố

Do $(2^a-1)(1+2^a+2^2a+a^3a+...+2^{(b-1)a})=2^{ab}-1$

Giả sử $n$ không nguyên tố : $n=ab $ trong đó $1<a,b<n$ thì ta có $2^a-1$ là ước của $2^{ab}-1=2^{n}-1$ ,nên $2^{n}-1$ không nguyên tố ,vô lí .Nên $n$ phải là số nguyên tố

Bạn giải thích rõ phần này cho mình đc k = ))

Bài 5: Cho $5$ điểm nguyên trên hệ trục tọa độ $Oxy$. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong $5$ điểm đã cho có diện tích nguyên

Xét tam giác tạo thành từ 3 trong 5 điểm trên, chẳng hạn tam giác ABC có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}|$ (không biết nhớ có đúng k nữa :v)

Có 4 trường hợp (chẵn;lẻ) (chẵn chẵn) (lẻ lẻ) và (lẻ chẵn), do vậy tồn tại 2 điểm cùng tính chẵn lẻ, ví dụ là A,B trên đây luôn, =>đpcm :v

Mình cũng góp thêm mấy bài sử dụng Nguyên lí Đirrichle :

 

Bài 40 : Cho 1 đa giác đều 100 cạnh . Tại mỗi đỉnh của đa giác , viết 1 trong các số 1,2,3,...,49 .

            Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh A,B,C,D của đa giác mà AB=CD và a+b=c+d ( kí hiệu a,b,c,d là số được viết tương ứng tại 4 đỉnh A,B,C,D )

 

 

Long đẹp trai đã giải bài này tại http://diendantoanho...-hình-chữ-nhật/:3

Uây các bạn chém gió xuyên màn đêm luôn à :v

$(a1^{2}+a2^{2}+...+an^{2})(b1^{2}+b2^{2}+...+bn^{2}) \geq (a1b1+a2b2+...+anbn)^{2}$ 

Bạn chuyển $-\sqrt{6-x}$ qua vế phải, với $x=0$ thì hiển nhiên vô lý rồi vì $VT<0$ trong khi $VP \geq 0$

Mình không rành món casio này, nhưng hình như là khi bạn gán x thì xác định vị trí nghiệm tốt hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TS VÀO LỚP 10 THPT
ĐĂK LẮK NĂM HỌC 2011-2012
Môn thi :TOÁN CHUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150p,không kể thời gian giao đề

Bài 1.(3 điểm)
1)Giải phương trình$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} +\sqrt{x-1}=3$
2)Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} -\frac{8}{x^2y}=2& \\ \frac{y}{x}-\frac{8}{xy^2}=2& \end{matrix}\right.$
Bài 2.(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị của m dương để phương trình $x^{3}-(m+1)x^2+(m+2)x-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ sao cho$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=3$
2) cho x,y là số thực tùy ý.Chứng minh rằng
$x^4+y^4+4x^2y^2\geq 3(x^3y+xy^3)$
Bài 3.(2,0 điểm)
1) Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ước số chung lớn nhất của a và b không lớn hơn$\sqrt{a+b}$
2) Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $4^x +17=y^2$
Bài 4.(2,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O.Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn (O') đường kính AO.Trên (O') lấy điểm M ( khác A và O),tia OM cắt (O) tại N,gọi P là giao điểm thứ hai của AN với (O').
1) Chứng minh tam giác APM câm.
2) Đường thẳng AM cắt OP tại H.Đường tròn ngoại tiếp tam giác NOH căt (O) tại điểm thứ hai là Q.Chứng minh A,M,Q thẳng hàng.
3) Cho $\widehat{QAB}=60^0$. Chứng minh AQ=6HM
Bài 5.(1,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A và $\widehat{A}=36^0$. Chứng minh$\frac{AB}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Chứng minh H là trực tâm và cũng là trọng tâm của tam giác OAN đều

=>$HM=\frac{1}{3}AM$

Ta có $\widehat{QOB}=60^0$

=>Tam giác QOB đều

=>$\widehat{QBO}=60^0=\widehat{NOA}$ (do ON và QB song song do cùng vuông góc với AQ)

=>$\widehat{NOA}=\widehat{NOQ}=60^0$

Xét tam giác QOA có phân giác ON cũng là trung tuyến

=>$AM=AQ$

Lại có $3HM=AM$

=>$AQ=6HM$

góc QAB=60 độ thì sao tam giác OAN đều được khi đó góc AON= 30 độ mà

QAB=30 bạn, chị trên gõ lộn á

Em xin phép làm câu 1
Ta có PT $<=> xy(x+y+2)=1+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=a$ và $xy=b$

$=>ab+2b=1+a^{2}$

Xét $a=-2=>0=5 (vô lý)$

Xét a khác -2, ta có $b=\frac{a^{2}+1}{a+2}=a+2-4+\frac{5}{a+2}=>a+2$ thuộc ước của 5

Với $a+2=5=>a=x+y=3;xy=b=2=>(x;y)=(1;2);(2;1)$

Với $a+2=1=>a=-1=x+y;b=xy=2=>vô nghiệm$

Với $a+2=-5=>a=-7=x+y;b=-10=xy=>vô nghiệm$

Với $a+2=-1=>a=-3=x+y;b=-10=xy=>(x;y)=(-5;2);(2;-5)$

bài 1 kết quả:7575050702961

Em bấm bằng máy tính nó quy tròn đấy, nhận thấy số 4 tận cùng nên ắt kết quả có tận cùng phải là số chẵn = )
Bài này nửa sử dụng casio, nửa sử dụng giấy, dùng máy bấm sao cho không phải quy tròn, sau đó nhân tay = )

Bài 1)Tính chính xác 

$16594^{4}$

Bài 2)Tìm 2 chữ số tận cùng

$2^{70}$

Bài 3)Tìm số dư

a)$3^{2^{1992}}$ chia cho 11

b)$17^{17}$ khi chia cho $2003$

ta có $2^{20} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{40} \equiv 76^{2} \equiv 76 (mod 100)$

$=>2^{60} \equiv 76.76 \equiv 76 (mod 100)$

ta có $2^{10} \equiv 24 (mod 100)$

$=>2^{70} \equiv 76.24 \equiv 24 (mod 100)$

Vậy 2 chữ số cần tìm là $24$

Có cách nào không cần nhân tay không vậy bạn

Không bạn à = ))
Hồi mình lớp 9 chém mấy cái bài dạng này bằng tay sau khi bấm máy tính ra thôi = ))
Nguyên do là máy nó làm tròn á bạn = ))

Câu 1. (3 điểm)

1. Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$. Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của biểu thức:$$A=\left ( 5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2 \right )^{2}+2014$$

2. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+8y^{2}=12 \\ x^{3}+2xy^{2}+12y=0 \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2. (4 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $6x^{2}+5y^{2}+z^{2}+2yz-4xz-34=0$.

2. Cho $2014$ số tự nhiên đôi một khác nhau sao và nhỏ hơn $4026$. Chứng minh tồn tại ba số trong $2014$ số đó mà một số bằng tổng hai số kia.

3. Cho $a$, $b$, $c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$A=\dfrac{\left ( b+c-a \right )^{3}}{2a}+\dfrac{\left ( c+a-b \right )^{3}}{2b}+\dfrac{\left ( a+b-c \right )^{3}}{2c}$$

 

Câu 3. (1,5 điểm)

Cho hình vuông $MNPQ$ và điểm $A$ nằm trong tam giác $MNP$ sao cho $AM^{2}=AP^{2}+2AN^{2}$. Tính $\widehat{PAN}$.

 

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho đưòng tròn $\left ( O \right )$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Từ điểm $D$ trên cung $AB$ không chứa $C$ ($D$ khác $A$ và $B$) hạ các đuờng vuông góc đến các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{DM}=\dfrac{BC}{DN}+\dfrac{CA}{DP}$.

Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z

=>x+y+z=3
Ta có A=$\frac{b+c-a}{2a}+\frac{c+a-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}$

= $\frac{x^{4}}{xy+xz}+\frac{y^{4}}{xy+yz}+\frac{z^{4}}{xz+yz}$

$\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{2(xy+yz+xz)}$

Ta có $2(xy+yz+xz) \leq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

=>$A\geq \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Mà ta có $3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq (x+y+z)^{2}=9$
=>$A\geq\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$
Vậy GTNN của $A=\frac{3}{2}$ <=>a=b=c=1

Bài 3:b/ Ta có $17^{5}\equiv1733 (mod2003)$

$17^{10} \equiv 1733.1733 \equiv 792 (mod 2003)$

$17^{7} \equiv 87 (mod 2003)$

$=>17^{17} \equiv 792.87 \equiv 802 (mod 2003)$

Tổng hợp một số bài toán mình chưa giải ra, mong các bạn chặt chém giúp : ))
P/s:Chia sẻ cách giải các dạng với nhé

I/Hệ PT:
1/$\left\{\begin{matrix} x^{2} &+2xy &+2y^{2} &+3x &=0 \\ y^{2} &+xy &+3y &+1 &=0 \end{matrix}\right.$

2/$\left\{\begin{matrix} x^{2} &+y &=y^{2} &+x \\ 2y & &=x^{3} &-1 \end{matrix}\right.$

3/$\left\{\begin{matrix} x^{2} &+y^{2} &+\frac{2xy}{x+y} &=1 \\ \sqrt{x+y} &= &x^{2} &-y \end{matrix}\right.$

4/$\left\{\begin{matrix} x^{3} &+y^{3} &=1 &+x &+y &+xy \\ 7xy &+y &-x &=7 & & \end{matrix}\right.$

II/PT:

1/$x^{4}+(x-1)(x^{2}-2x+2)=0$

2/$2(8x+7)^{2}(4x+3)(x+1)=7$

3/$\sqrt{x^{2}+3x+2}+\sqrt{x^{2}-1}+6=3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}$

Thôi làm tạm câu cuối

II)

$\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x-1)(x+1)}+6-3\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+2}-2\sqrt{x-1}=0$

$(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+2}+3+\sqrt{x-1})$

$\Rightarrow \sqrt{x+1}=2\Rightarrow x=3$

Câu 2)

$(1)\Rightarrow (x-y)(x+y-1)$

Xét $x=y$

$x^3-2x-1=0$ (tự giải nha)

Xét $x+y=1$ 

$\Rightarrow y=1-x$

Thay vào (2) là ra 

PS:

mà chú thi nguyễn du thế nào rồi có tin tức gì chưa

chưa thi mà cậu : ))

Cho $a \ge -1 , b \ge -1 $. Chứng minh $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 4$

Bạn xem lại đề được k
Bđt k xảy ra với, chẳng hạn a=b=99 bạn ơi

1) Cho số nguyên dương m thỏa (m,10)=1. Cmr: tồn tại 1 số chia hết cho m có dạng ...00..01 ( n chữ số 0 )

2) Cho 55 số nguyên dương \[x_{1},x_{2},x_{3},....x_{55}\] thỏa \[1\leq x_{1}< x_{2}< ...< x_{55}\leq 100\] .CMR : tồn tại i,j với \[1\leq i< j\leq 55\] sao cho \[x_{j}-x_{i}=9\]

3) Cho \[\alpha \epsilon \Re ^{+},n\epsilon \mathbb{Z}^{+}.\] . Cmr: tồn tại hai số nguyên dương p và q thỏa mãn \[\left | \alpha -\frac{p}{q} \right |\leq \frac{1}{np}\]

 

màu đỏ là số 1 mà c :v

Mình lấy đề ở đây, bài cuối cùng của dạng I

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113572/phuong-phap-quy-nap-toan-hoc

Trong link ghi là "8" mà bạn @@
 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$

(sử dụng phương pháp quy nạp) 

Nếu thay vì 6 là 8 thì ta cm:
Với $n=1$ thì thỏa mãn

Giả sử với $n=k$ (k là số nguyên dương) ta có cái màu đỏ trên thì với $n=k+1$ ta cũng có cái màu đỏ trên = ))
Tức là $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}$
Ta có $$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-2+1}{2^{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n-1}}$$

Theo quy nạp, ta có đpcm =))

1) Cho số nguyên dương m thỏa (m,10)=1. Cmr: tồn tại 1 số chia hết cho 10 có dạng ...00..01 ( n chữ số 0 )

2) Cho 55 số nguyên dương \[x_{1},x_{2},x_{3},....x_{55}\] thỏa \[1\leq x_{1}< x_{2}< ...< x_{55}\leq 100\] .CMR : tồn tại i,j với \[1\leq i< j\leq 55\] sao cho \[x_{j}-x_{i}=9\]

3) Cho \[\alpha \epsilon \Re ^{+},n\epsilon \mathbb{Z}^{+}.\] . Cmr: tồn tại hai số nguyên dương p và q thỏa mãn \[\left | \alpha -\frac{p}{q} \right |\leq \frac{1}{np}\]

là sao hở c :v?

sửa rồi ạ 

Không, ý mình là viết như vậy thì ra số 1 :v

Không í mình đó là phần màu đỏ là 1 câu khác. nó trong cái đề thầy đưa mình    chép nguyên văn đăng lên thôi mình chả hiểu nó nói gì 

mình nghĩ cái đoạn màu đỏ thiếu