Tìm x;y nguyên sao cho $(x^{2}+y)(y^{2}+x)=(x-y)^{3}$

Th1 thì dễ rùi.

TH2.$x^{2}y+2y^{2}+x + 3x^{2} -3xy=0$

<=>$2y^{2} + y(x^{2}-3x)+ 3x^{2}+x =0$

$\Delta =(x^{2}-3x) ^{2} -4.2.(3x^{2}+x)$

=$(x^{2}-8x)(x+1)^{2}$

Xét x=-1=>......

Xét x $\neq$-1 .Mà $\Delta$ là số chính phương  ( Do x,y thuộc Z).

Đặt $(x^{2}-8x)(x+1)^{2}=m^{2} => x^{2} - 8x= \frac{m^{2}}{(x+1)^{2}}.$

Mà $x^{2}-8x$ thuộc $\mathbb{Z} => x^{2} - 8x=n^{2}(n thuộc N)$

<=> $(x-4)^{2}-n^{2}=16$

<=>(x-4+n)(x-4-n)=16.

Đến đây bạn xét 4 trường hợp và nhớ là n thuộc N là ra.

Ở đây bạn nhé http://diendantoanho...ố-chính-phương/

3xy-5=x^2+2y<=> 4x^2-12xy+9y^2-9y^2+8y-16/9=-164/9<=> (2x-3y)^2-(3y-4/3)^2=164/9=>(6x-9y)^2-(9y-4)^2=164 <=> (6x-4)(6x-18y+4)=164=>(3x-2)(3x-9y+2)=41= +-1.+-41 đưa về hpt để giải ra

Là -196/9 nha bạn. 

chuyển -20 sang là thành cộng rồi -16/9 là phải là -164/9 nha 

Lạy thánh     

$4x^{2}-12xy+9y^{2}-(9y^{2}-8y+\frac{16}{9})=-20 -(\frac{16}{9}) <=>(2x-3y)^{2}-(3y-\frac{4}{3})^{2}=\frac{-196}{9}$

Ta có pt <=>$x^{2}-3xy+(2y+5)$

Đây là phương trình bậc 2 đối với x.

$\Delta =9y^{2}-4(2y+5)=9y^{2}-8y-20.$

Dễ dàng nhận ra phương trình có nghiệm khi $9y^{2}-8y-20 =a^{2}(a\in \mathbb{N})$

$<=> (9y)^{2}-72y-180=a^{2}$

$<=>(9y-4)^{2} =a^{2}+196$

$<=>(9y-4-a)(9y-4+a)=196$

Ta xét các trường hợp $(1;196);(2;98);(4;49);(7;28);(14;14)$ và lưu ý là: $9y-4-a\leq 9y-4+a$

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy =>xy\leq \frac{1}{2}$

$=>-2xy \geq -1$ và xy+1$ \leq$ \frac{3}{2}$

=>$A\geq \frac{-1}{\frac{3}{2}}= \frac{-2}{3}$

Dấu"=" xảy ra khi x=y

 vậy thì x phải khác 0

còn trường hợp x=0 thì sao bạn

$x\neq 0$ hay x=0 thì vẫn là ($\left ( x^{2}-mx+2m+1 \right )x=0.x=0$

Bạn có thể nhân x vào pt 1. Sau đó cộng 2 phương trình là ra. Bạn nhớ thử lại nha.

Ta có : $a^{5}+243+243+243+243\geq 405a$

=> $\sum (a^{5}+ 243+243 + 243 +243)\geq 405\sum a =>a+b+c\leq 9$

Dễ dàng chứng minh được $abc\leq 27$

$\frac{a^{6}}{bc}+\frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\geq 2\frac{a^{5}}{\sqrt{\frac{abc}{3}}}$

$=>\sum (\frac{a^{6}}{bc}+ \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}})\geq 486$

Ta đi C/m: $\sum \frac{a^{4}}{\frac{a}{3}}\leq 243 hay C/m: \sum a^{3}\leq 81$

Có: $(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\leq (a^{5}+b^{5}+c^{5})(a+b+c)\leq 6561 =>a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 81=>ĐPCM$

Từ điều kiện dễ dàng c/m được : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3;ab+bc+ac\leq 3$

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ab+bc+ac=3(a+b+c)^{2}-5(ab+bc+ac)=12 =>a+b+c\leq 3$

P=$\frac{(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ac)}{a+b+c}+ab+bc+ac$

=$(a+b+c)+$(ab+bc+ac)(1-\frac{2}{a+b+c})$

Ta có: $a+b+c\leq 3; (ab+bc+ac)(1-\frac{2}{a+b+c})\leq 3(1-\frac{2}{3})=1$

=>$P\leq 4$

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}= x+ \sqrt{\frac{x}{2}2y}+\sqrt[3]{\frac{x}{4}y4z} \leq x+ \frac{x}{4}+y+ \frac{x}{12}+\frac{y}{3}+ \frac{4z}{3}=\frac{4}{3}(x+y+z)\doteq \frac{4}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi x=4y=16z =>....

Vì sao $x+y-1\geq 0$ thì $x\geq 2, y\geq 1$ vậy bạn?

P/s: Lần sau bạn giải bài nào thì trích dẫn bài đó luôn nhé!

Làm ẩu quá sai rùi.

$xy-2y-x-2\geq 0 <=> (x-2)(y-1)\geq 0.$

=> $x\geq 2$ và$y \geq 1 (Do x+y-1\geq 0)$

=> $\sqrt{x^{2}-2x+4}\leq 2x-2$ và $\sqrt{y^{2}+3}\leq 2y$

=>$\sqrt{x^{2}-2x+4}+ \sqrt{y^{2}+3}\leq 2(x+y-1)$

Dấu"=" xảy ra khi y=1 ; x=2, thử lại

Lời giải đầy đủ đây các bạn tham khảo

12715786_466729563510601_4731407955057557081_n.jpg

Đến đoạn $(x-2)(y-1)\geq thì bạn xét 2 trường hợp Trường hợp x\leq 2 và y\leq 1 sẽ cho ra điều vô lý là: \sqrt{x^{2}-2x+4} + \sqrt{y^{2}+3} >2(x+y-1) ( Mâu thuẫn) Mình mới học lớp 9 nên không hiểu về cách của bạn .$ Bạn xem xem cách mình OK chưa 

 

Bài 386: $\left\{\begin{matrix} &x-2\sqrt{x^{2}-2x+4}=y+1-2\sqrt{y^{2}+3} \\ &\sqrt{4x^{2}+x+6}-5\sqrt{y+2}=\sqrt{xy-2y-x+2}-1-2y-\left | x-2 \right | \end{matrix}\right.$

 

$xy-2y-x-2\geq 0 <=> (x-2)(y-1)\geq 0.$

=> $x\geq 2$ và$y \geq 1 (Do x+y-1\geq 0)$

=> $\sqrt{x^{2}-2x+4}\leq 2x-2$ và $\sqrt{y^{2}+3}\leq 2y$

=>$\sqrt{x^{2}-2x+4}+ \sqrt{y^{2}+3}\leq 2(x+y-1)$

Dấu"=" xảy ra khi y=1 ; x=2, thử lại

Lạc mất phần đầu ở sau rùi

giờ mới thấy đơn giản:

Xét Th1 $m\leq -1=> 4m^{2}-12m+2=4m(m+1)-16(m+1)+18\geq 18$(1)

Xét TH2: $m\geq 3=> 4m^{2}-12m+2=4m(m-3)+2\geq 2$(2)

Từ 1 và 2=> Min=2  

mình đang nói là min=-7 không hợp lí

vì tổng 2 bình phương luôn luôn lớn hơn 0 chứ k nói min=0 khi x1=x2

Cái này thì  không hợp lí đơn giản vì thay m=3/2  ta sẽ được $\Delta <0 tức là pt vô nghiệm$

ở đâu vậy bạn

đề ra 2 nghiệm phân biệt mà bạn 

 

$x_1^2\geq 0$

$x_2^2\geq 0$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2\geq 0$

 

x1=x2 là bít sai rùi.

 

 

Bài toán 2:  Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$

Chứng minh:

$6(x^{3}+y^{3}+z^{3})+1\geq 5(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

 

 

Ta có: Pt <=>$5x^{2}+ 5[(y+z)^{2}-2yz]\leq 6x^{3}+6(1-x)[(1-x)^{2}-3yz]+1$

<=>$5x^{2}+5(x^{2}-2x+1) - 10yz\leq 6x^{3}+6(1-x)^{3}-18(1-x)yz+1$

<=>$10x^{2}-10x+5-10yz\leq 18x^{2}-18x-18(1-x)yz+7$

<=>$A=8x^{2}-8x-10yz+18xyz+2\geq 0$

Mà $0\leq yz\leq \frac{(1-x)^{2}}{4}$

Nên $A\geq 8x^{2}-8x-\frac{8(1-x)^{2}}{4}+2+\frac{18x(1-x)^{2}}{4}\geq 0 = \frac{x(3x-1)^{2}}{2}\geq 0$

=>ĐPCM

2.c)

Ta có: $x^{3}+y^{3}+z^{3}+6xyz =x^{3}+(y+z)\begin{bmatrix} (y+z)^{2}-3yz \end{bmatrix} + 6xyz$

=$x^{3} + (1-x)^{3} - 3yz(1-x)+ 6xyz$

=$x^{3}+(1-x)^{3}-3yz+ 9xyz$

=$1-3x+3x^{2}- 3yz(1-3x)$=A

Mà  (0$\leq yz \leq \frac{(1-x)^{2}}{4}$

=>A$\geq 3x^{2}-3x+1 - 3/4(1-x)^{2}(1-3x)$

=$(9x^{3}-9x^{2}+3x+1)/4\geq 1/4.$

=>$x^{3} + y^{3}+ z^{3} + 6xyz \geq 1/4$

Dấu "=" xảy ra khi : x=0 và y=z=1/2

Ta có: $x^{2}(y-z)^{2}=(1-y^{2}-z^{2})(y-z)^{2}=(y-z)^{2}-(y^{2}+z^{2})(y-z)^{2}$

$\leq (y-z)^{2}-\frac{(y^{2}-z^{2})^{2}}{2}$

=>$\sum x^{2}(y-z)^{2}\leq \sum (y-z)^{2}-\sum\frac{(y^{2}-z^{2})^{2}}{2}$

Mà $\sum (y^{2}-z^{2})^{2}\geq 0$

$\sum (y-z)^{2}=(\sum 2y^{2}-\sum2yz )$=$2-2yz=>P\leq \sum xy+\frac{1}{2}(2-2\sum xy)=1$

 

giải phương trình:

3) $\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+3}=2\left ( x+\frac{3}{x} \right )$

 

 

VT>=0=> (x+3/x)>=0=>x>0

Đặt $\sqrt{2x^2+x+6}=a ; \sqrt{x^2+x+3}=b(a;b>=0).$

$Ta có : a^2 - b^2 =x^2+3. =>Pt <=> a+b = 2(a^2-b^2)/x <=>(a+b)(1-2(a-b)/x)=0

Xét a+b=0=> vô lý

Xét 1-2(a-b)/x=0 hay 1= 2(a-b)/x <=>x=2(\sqrt{2x^2+x+6}+\sqrt{x^2+x+3}) <=>(x-2)/2=(\sqrt{2x^2+x+6}-4)-(\sqrt{x^2+x+3}-3)(liên hợp với nghiệm x=2)$

$Bạn xét 2 trường hợp . Trường hợp còn lại c/m vô lý do x>0. 

Vậy......$

Câu 5 bạn dùng liên hợp với nghiệm là 2 luôn nhé.

2,

Ta có: $x^{2}-6x+15= (x-3)^{2}+6 >0=> \sqrt[3]{x-9}>0$

Áp dụng bđt a^3+b^3+c^3 >=3abc( cauchy 3 số) ta có : 

$3.1.1\sqrt[3]{x-9}\leq (x-9+1+1)=x-7 => 3(x^{2}-6x+15) \leq x-7$

<=>$3x^{2}-19x + 52\leq 0.$

$\Delta=-263 <0$ (Vô lý)

=> Phương trình vô nghiệm