Bây giờ là bài số 24
$\boxed{24}$ Cho $a,b,c$ là các số không âm. Chứng minh rằng:
$$3\sqrt[9]{\frac{a^9+b^9+c^9}{3}} \geq \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{b^{10}+c^{10}}{2}}+\sqrt[10]{\frac{c^{10}+a^{10}}{2}}$$
Lời giải:
Đặt : $f(x)=3\sqrt[9]{\frac{a^{9}+b^{9}+c^{9}}{3}}-\sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )=f(ta,tb,tc)$ với t là số thực bất kì
Nên ta chuẩn hóa : a + b + c = 3 .
Ta có :
$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq (a^{10}+b^{10}+c^{10}).3^9$ ( bất đẳng thức holder)
Mà :
$\sum a^{10}\leq \sqrt[3]{3.(\sum a)(\sum a^{9})}=\sqrt[3]{9(\sum a^{9})}$ ( bất đẳng thức holder)
Do đó :
$\left ( \sum \left ( \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right ) \right )^{10}\leq \sqrt[3]{3^{29}(\sum a^{9})}\Leftrightarrow\left ( \sum \sqrt[10]{\frac{a^{10}+b^{10}}{2}} \right )\leq 3\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3} }$
Ta cần chứng minh :
$\sqrt[30]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\leq \sqrt[9]{\frac{\sum a^{9}}{3}}\Leftrightarrow \left ( \frac{\sum a^{9}}{3} \right )^{7}\geq 1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$ (Luôn đúng vì $\frac{\sum a^{9}}{3}\geq \left ( \frac{\sum a}{3} \right )^{9}=1\Leftrightarrow \sum a^{9}\geq 3$)
suy ra đpcm ( dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c )