Tìm đa thức f(x) thỏa mãn:

f(x) có bậc 2 và f(x) $\leq 1$ với $\left | x \right |\leq 1$, f(x) $\geq 7$ với x $\geq 2$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), H và I thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Biết AH = R, tính$\angle A$

Cho x, y, z $\geq 0$ và $x+y+z=1$. Cm:

A = $\sqrt{x+\frac{(y-z)^{2}}{12}}+\sqrt{y+\frac{(z-x)^{2}}{12}}+\sqrt{z+\frac{(x-y)^{2}}{12}}\leq \sqrt{3}$

tham khảo tại dây

https://www.google.c...DNP1WgGLS2HssUQ

Cho a, b, c là các số thực ko âm. Cm:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

Cho $\Delta ABC$. O là điểm trong tam giác sao cho$\widehat{ABO}=\widehat{ACO}$. Vẽ $OH\perp AB(H\in AB)$, vẽ $OK\perp AC(K\in AC)$. Gọi M,E và F thứ tự E là trung điểm của BC,BO và CO. Chứng minh:

a)$\widehat{OEH}=\widehat{OFK}$

b)$MH=HK$ hay MH=MK gì đó(mình không nhớ rõ).

sr mik ko tải đc latex

a. Đặt góc HBO = góc KCO = a

=> góc HEO = góc KFO = 2a (góc ngoài tam giác)

b. gt => ME là đường trung bình tam giác BOC => ME // OC và ME = OF (1)

             MF là đường trung bình tam giác CBO => MF // BO và MF = OE (2)

Từ (1) và (2) => T.g MEOF la hình bình hành. K/h phần a => góc HEM = góc MFK

Mà HO = EO = MF và KF = OF = ME => tam giác EMH = tam giác FKM (c.g.c) => MH = MK (đpcm)

A = $2(x+y+z)+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}$

   =$2(x+y+z)+\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}=2(x+y+z)=4026$

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng : $\left | \frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a} \right |< 1$

Nhân 2 vế với abc >0 ta có:

VT = $\left | ac(a-c)+ab(b-a) +bc(c-b)\right |$

     =$\left | (a-b)(b-c)(c-a) \right |$

Theo BĐT tam giác: $\left | a-b \right |< c$ ; $\left | b-c \right |< a$ ; $\left | c-a \right |< b$

=> VT < abc = VP (đpcm)

Cho các số thực không âm $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5} =1$

Tìm Max Q = $a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+a_{3}a_{4}+a_{4}a_{5}$

Ta xét dãy số gồm 2008 số có dạng :

1, 11, 111,.... , 111...11 chia cho 2007

Theo nguyên tắc Đrich- lê sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 2007.

Gọi 2 số đó là A và B ( A > B)

=> A - B = 111...1100...0 chia hết cho 2007 ( ĐPCM)

Dựng tia Bx sao cho$\angle ABX=60^{\circ}$, Bx cắt AC tại điểm N. Kẻ AM vuông góc với Bx tại M. Ta có

BM = $\frac{AB}{2}=\frac{b}{2}.\bigtriangleup ABC~\bigtriangleup BCN(g.g)$ => $\bigtriangleup$ BCN cân => BC = BN = a

Mà$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CN}=>CN=\frac{BC.BN}{AC}=\frac{a^{2}}{b}$

=>$AN=b-\frac{a^{2}}{b}$.$AM^{2}=\frac{3b^{2}}{4};MN=\frac{b}{2}-a$

=>$AM^{2}=AN^{2}-MN^{2}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}=3ab^{2}$

cho $a,b,c \in [0,1]$ chứng minh rằng 

$a+b^2+c^3-ab-bc-ac\leq1$

$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geq 0$

$\Leftrightarrow 1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc\geq 0\Leftrightarrow a+b+c-(ab+bc+ca)\leq 1-abc\leq 1$

Mà $b(1-b)\geq 0\Rightarrow b^{2}\leq b$

      $c(1-c^{2})\geq 0\Rightarrow c^{3}\leq c$

$\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

Áp dụng BDT Cô si cho 4 số:

$\frac{1}{2}.(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}}+1+1)\geq 2x^{2}y^{2}$

$\frac{1}{4}.(x^{16}+y^{16}+1+1)\geq x^{4}y^{4}$

=> $\frac{1}{2}.(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}.(x^{16}+y^{16})+\frac{5}{2}\geq (1+x^{2}y^{2})$

$\Leftrightarrow P\geq \frac{-5}{2}$

Dấu = khi x = y = 1

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} 2x+3^y=xy\\x-y=5 \\ 5^x-17^y=2^{xy} \end{matrix}\right.$

Thay vào:

$5^{y+5}-17^{y}=2^{2x+3^{y}}=2^{2(y+5)+3^{y}}$

$\Leftrightarrow 3125.5^{y}=17^{y}+2^{2(y+5)+3^{y}}$

Xét các TH của y

- Nếu y < 0 => VT > VP

- Nếu y $\geq$ 0 thì => VT> VP

=> pt VN

y=0 VP>VT

y=-1 VP>VT

y=-5 VT>VP

y=-10 VT>VP

y = -1 thì VT > VP mà

còn y = 0 thì mik viết nhầm

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$
Cmr:
$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

$\frac{a}{a^{2}+2b+3}=\frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}$

CMTT => BDT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum (1-\frac{a}{a+b+1})\geq 3-1=2$

Ta có:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab+6\sum a+9}=2$

=> đpcm

bạn gửi nhầm box ko vậy, bài này giải bằng máy tính thì phải

gt =>$72x-y=\pm \sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$

$\Leftrightarrow y=72\pm \sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$ => $x\geq 10$

$\Rightarrow y=72x-\sqrt{\frac{3x^{5}-240677}{19}}$

Nhập vào máy:

10 ---> A

A = A + 1:B = $72A-\sqrt{\frac{3A^{5}-240677}{19}}$. Lặp phím "=" 

Suy ra x = 32 ; y = 5 hoặc y = 4603

         

nếu lặp tới trên 32 mà có giá trị nữa thì sao

p/s: 298 $rightarrow$ 300

vậy bạn có cách giải nào có thể tìm được đủ các nghiệm của pt ko

hoặc là đề hỏi thiếu

lặp tới khi nào? 

sao lại ko lặp được

khi lặp đến x= 32 ta tìm được giá trị của y = 5

Thay x = 32 vào pt đã cho tìm đc giá trị còn lại của y = 4603

Cho x,y thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Tìm GTLN, GTNN của $A=\frac{2xy+y^2}{2xy+2y^2+1}$

- Xét với x = 0 => y = 1 => $A=\frac{1}{3}$

- Xét với y = 0 => x = 1 => A = 0

- Với x, y khác 0. Đặt $t = \frac{x}{y}$. Chia cả tử và mẫu của A cho $y^{2}$ ta được:

A = $\frac{\frac{2x}{y}+1}{\frac{2x}{y}+3+\frac{x^{2}}{y^{2}}}=\frac{2t+1}{t^{2}+2t+3}$

$\Rightarrow A(t^{2}+2t+3)-2t-1=0\Leftrightarrow At^{2}-2t(1-A)+(3A-1)=0$

Ta có: $\Delta '=(1-A)^{2}-A(3A-1)=-2A^{2}-A+1=-(A+1)(2A-1)\geq 0\Leftrightarrow -1\leq A\leq \frac{1}{2}$

thay $a=-(b+c)$ ta có: $a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc$

$\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{2}}=\frac{a^{2}}{2bc}$. CM tương tự

A = $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}$ ( vì a + b + c = 0)

=> A = $\frac{3}{2}$

Cho a, b, c > 0 và $ab+bc+ca=1$

Chứng minh rằng: $14a^{2}+27b^{2}+40c^{2}\geq 24$

2 tam giác HBA và HAC đồng dạng

=>$\frac{BA}{CA}=\frac{HB}{HC}=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{HB}{5}=\frac{HC}{4}=\frac{BC}{9}=\frac{82}{9}$

=>$HB=\frac{410}{9}$

Cho $x,y>0,x+y=(x-y)\sqrt{xy}$. Tìm $min:Q=x+y$

nếu x < y thì Q có thể âm à ?