1+1=? thực chất phép cộng cũng chỉ là một ánh xạ nên muốn bằng mấy cũng được.

Exercise 4: Find all integrable function $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ such that
$f(x)\leq \int_0^x t^{2012}f(t)dt , \forall x \in [0,1]$.

Problem 5. Assign $g(x)=e^x[f(x)-1]+1$. We have $g'(x)=e^x[f(x)-1+f'(x)]<0$. So,
$e[f(1)-1]+1=g(1)<g(0)=0$
If $f(x)+f'(x)<1$ then there don't exist $f(x)$.

Consider $F(x)=\dfrac{1}{x} \int_0^{x}f(t)dt$. We have $f(x)=(xF(x))'$ and
$\int_0^{1}f(x)dx=(xF(x))|_0^{1}=F(1)$
$2\int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{4}}f(x)dx=\dfrac{3}{2}F(\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}F(\dfrac{1}{4}) $.
Implies
$3F(\dfrac{3}{4} )-F(\dfrac{1}{4} )=2F(1)$
$\Leftrightarrow F(\dfrac{3}{4})-F(\dfrac{1}{4})=2(F(1)-F(\dfrac{3}{4}))$
So, there exist $\theta_{1}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4})$ and $\theta_{2}\in (\dfrac{3}{4},1)$ such that
$F'(\theta_1)\dfrac{1}{2}=2.F'(\theta_2)\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow F'(\theta_1)= F'(\theta_2)$
we have $\theta\in (\theta_1,\theta_2)$ such that $F''(\theta)=0$ or
$\dfrac{2}{\theta^3} \int_0^{\theta}f(t)dt-\dfrac{2}{\theta^2}f(\theta)+\dfrac{1}{\theta}f'(\theta)=0 $
Next, assignment $H(x)=2\int_0^{x}f(t)dt-2xf(x)+x^2f'(x)$
$\Rightarrow H(0)=0, H(\theta)=0$
$\exists x_0\in (0,\theta):H'(x_0)=0$
But $H'(x)=x^2f''(x)$
Final $f''(x_0)=0$

Exercise 1. We have $0\leq |2-x_{n+1}|=|2-\sqrt[3]{6+x_n}|=|\dfrac{2-x_n}{4+2\sqrt[3]{6+x_n}+\sqrt[3]{(6+x_n)^2}} |<\dfrac{|2-x_n|}{7} $.
So, $0\leq 6^{n+1}|2-x_{n+1}|<\dfrac{6}{7}|2-x_n|<...<(\dfrac{6}{7} )^n|2-\sqrt[3]{6}|\rightarrow 0 $

Exercise 5. We have $f(t)=\int_0^1f(x)dx+\int_0^txf'(x)dx+\int_t^1(x-1)f'(x)dx$, forall $t\in [0,1]$.
Therefore $|f(t)|\leq \int_0^1|f(x)|dx+t\int_0^t|f'(x)|dx+(1-t)\int_t^1|f'(x)|dx$.
Final, we choose $t=\dfrac{1}{2} $.

$a \geq b \geq c \Rightarrow bc\geq ac$?

bài 2:
$P+12=3(\dfrac{\displaystyle a}{\displaystyle b+c}+1)+4(\dfrac{\displaystyle b}{\displaystyle c+a}+1)+5(\dfrac{\displaystyle c}{\displaystyle a+b}+1)$
$\Leftrightarrow P+12=(a+b+c)(\dfrac{\displaystyle 3}{\displaystyle b+c}+\dfrac{\displaystyle 4}{\displaystyle a+c}+\dfrac{\displaystyle 5}{\displaystyle b+a})$
$\Leftrightarrow P+12=\dfrac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}[(b+c)+(a+c)+(b+a)](\dfrac{\displaystyle 3}{\displaystyle b+c}+\dfrac{\displaystyle 4}{\displaystyle a+c}+\dfrac{\displaystyle 5}{\displaystyle b+a})$
$\geq \dfrac{\displaystyle (\sqrt{3}+2+\sqrt{5})^2}{\displaystyle 2}$

Problem 2. We have $g(0)=0$ and $g(x)$ be a continuous. Integral both sides, we get
$\int_0^xg(y)dy=(\int_0^yf(t)dt)^{2012}\geq 0$.
Assign $h(x)=\int_0^xg(t)dt$. So, we have $h'(x)=g(x)$.
Because $g(x)$ be a nonincreasing, so $g(x)\leq g(0),\forall x\in[0,+\infty)$. Therefore
$h'(x)\leq 0,\forall x\in[0,+\infty)$ or $h(x)\leq h(0)=0,\forall x\in[0,+\infty)$
Implies
$h(x)=0,\forall x\in[0,+\infty)$.
Similarly for $x\in(-\infty,0]$. We have $h(x)=0$ or $g(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
When $\int_0^xf(t)dt=0,\forall x\in\mathbb{R}$. Easily, we prove that $f(x)=0$

Assumming $g(x)=ax+b$ such that $\int_0^1g(x)dx=\int_0^1xg(x)=1$. Hence, $g(x)=6x-2$.
We have $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx\geq 0$, but $\int_0^1(f(x)-6x+2)^2dx=\int_0^1(f(x))^2dx-4$

nếu hệ là nhừ thế này $\left\{\begin{array}{l}x^3+y=2\\y^3+x=2\end{array}\right. $ thì có thể giải như sau;
trừ hai vế pt ta có pt $(x-y)(x^2+y^2+xy-1)=0\Leftrightarrow$ $x=y$ hoặc $x^2+y^2+xy-1=0$
với x=y thì $x^3+x-2=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+2)=0$
với $X^2+y^2+xy-1=0$ thì bó tay

tuy khong ve dau nhung t xin dc trinh bay mot cach sau:
đặt $M=VT$
do $abcd=1$ nên tồn tại các số thực dương $x,y,z,t$ sao cho $a=\dfrac{\displaystyle x}{\displaystyle y},b=\dfrac{\displaystyle y}{\displaystyle x},c=\dfrac{\displaystyle z}{\displaystyle t},d=\dfrac{\displaystyle t}{\displaystyle z}$.
khi đó
$M=\dfrac{\displaystyle y^3}{\displaystyle (x+y)(x^2+y^2)}+\dfrac{\displaystyle z^3}{\displaystyle (y+z)(y^2+z^2)}+\dfrac{\displaystyle t^3}{\displaystyle (z+t)(z^2+t^2)}+\dfrac{\displaystyle x^3}{\displaystyle (t+x)(t^2+x^2)}$
nhưng ta có $(x+y)(x^2+y^2)\leq 2(x^3+y^3)\hspace*{1 cm} \forall x,y>0$
$ \Rightarrow \dfrac{\displaystyle y^3}{\displaystyle (x+y)(x^2+y^2)}\geq\dfrac{\displaystyle y^3}{\displaystyle 2(x^3+y^3)}$
khi đó $M\geq\dfrac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}[\dfrac{\displaystyle y^3}{\displaystyle x^3+y^3}+\dfrac{\displaystyle z^3}{\displaystyle y^3+z^3}+\dfrac{\displaystyle t^3}{\displaystyle z^3+t^3}+\dfrac{\displaystyle x^3}{\displaystyle t^3+x^3}]$
đến đây chỉ việc áp dụng bất đẳng thức Nesbitt cho 4 biến $x^3,y^3,z^3,t^3$ ta co ngay $M\geq1$

cách giải của bạn ông trời khi xét $max\displaystyle\dfrac{t^{2}-1}{\sqrt{t^{2}+1}}$ hơi khó cho một học sinh lớp 10. tôi xin được phép trình bày một cách khác : đặt $t=\sqrt{x^{2}+4x+5}, t\in[1;2]$ khi đó bất phương trình tương đương $\displaystyle\dfrac{t^{2}-2}{t} \leq m$.ta dễ dàng tìm max hơn một chút xíu.có thể đặt $N=\displaystyle\dfrac{t^{2}-2}{t}$ sau khi qui đồng ta được pt bậc hai theo t, tìm N để pt có nghiệm thuộc [1;2].toàn bộ sử dụng kiến thức lớp 10.

câu 3: * $m=-2: f(x)=4x+4$ khi đó $f(x) \geq 0$ với mọi $x>0$.
*$m \neq -2$ xét $\Delta=2m^{2}-2 \leq 0 $ hay $ -1 \leq m \leq 1$ khi đó yêu cầu bài toán tương đương $m+2>0$ hay $m>-2$. vậy $ -1<m<1$.
xét $\Delta=2m^{2}-2>0 $ hay $m<-1 \cup m>1$ giả sử phương trình có hai nghiệm $x_{1}<x_{2}$ khi đó yê cầu bài toán tương đương $x_{1}<x_{2} \leq 0$ tới đây có thể tự giải được rồi.

hiện nay bảng lồi lõm đã được miễn, cho nên bạn không nên ghi vào. nhưng nếu bạn muốn tìm iểu kĩ thì cũng tốt.

Problem 2. Every $x\in[0,2]$, we have
$f(x)=f(x)-f(0)=f'(\theta_1)x,\theta_1\in(0,x)\geq-2x$
$f(x)-f(1)=f'(\theta_2)(x-1),\theta_2\in(x,1)\Rightarrow f(x)\geq 2x-1$.
So,
$\int_0^1f(x)dx=\int_0^\frac{1}{4}f(x)dx+\int_\frac{1}{4}^1f(x)dx
\geq \int_0^\frac{1}{4}-2xdx+\int_\frac{1}{4}^1 (2x-1)dx=\dfrac{1}{8}$
But $f(x)=\left\{\begin{matrix}
-2x &x\in[0,\frac{1}{4}] \\
2x-1&x\in[\frac{1}{4},1]
\end{matrix}\right.$
isn't continuous at $x=\dfrac{1}{4} $.

problem 3. For all $\epsilon>0,\exists n_0$ such that $|2a_{n+1}-a_n-2012|<\epsilon,\forall n\geq n_0$. Hence,
$|2(a_{n+1}-2012)-(a_n-2012)|<\epsilon$
Implies
$|a_{n+1}-2012|<\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{1}{2}|a_n-2012| <\dots<\epsilon(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dots+\dfrac{1}{2^{n-n_0}})=\epsilon(1-(\dfrac{1}{2} )^{n-n_0})<\epsilon$
We have $\lim a_n=2012$

đề đúng rồi

ban trên giäi sai r°i. ta co $32x^{2}(x^{2}-1)(2x^{2}-1)=x-1 \Leftrightarrow (x-1)[32x^{2}(x+1)(2x^{2}-1)-1]=0$.toi chi co the giup toi day thoi.

định gnhỉa sup và inf như thế là sai. sup va inf phải đươc dn bằng ngôn ngữ $ \varepsilon,\delta $.vì không phải lúc nào sup=max.

xét hàm số $f(x)=3^{\displaystyle\dfrac{ x}{ 3}}-x$
$ \Rightarrow f'(x)=-\displaystyle\dfrac{1}{ 3}ln3.3^{\displaystyle\dfrac{ x}{ 3}}-1<0$
vay nếu pt co nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất. ta thay x=3

MATHEMATICAL OLYMPIAD STUDENT

(third-2012)

Exercise 1. For $f(x)=2(x-1)-\arctan x,x\in\mathbb{R}$.
a) Prove that $f(x)=0$ have only a root $a\in(1,\sqrt{3})$.
b) Let $\{u_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ be a sequence defined by$\left\{\begin{matrix} u_1=\dfrac{3}{2}& \\ u_n=1+\dfrac{1}{2}\arctan x,&n\geq1 \end{matrix}\right.$.
Prove that $\{u_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ converges to $a$.
Exercise 2. Let $f:[0,+\infty)\longrightarrow \mathbb{R}$ be a differentiable function such that $f(0)=1$. Prove that if $f'(x)\geq f(x)$ for all $x\in[0,+\infty)$, then the function $g(x)=f(x)-e^x$ is a increasing function.
Exercise 3. Let $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ be a integrable function such that $\int_0^1xf(x)dx=0$. Prove that
$\int_0^1f^2(x)dx\geq 4(\int_0^1f(x)dx)^2$.
Exercise 4. Let $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ be a twice differentiable, $g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+$ be a function such that $f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$ for all $x\in\mathbb{R}$. Prove that $f(x)$ is bounded.
Exercise 5. Let $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ with $a_n>0$ be a $n$ degrees polynomial and have distinct $n$ roots. Prove that the polynomial $Q(x)=(P(x))^2-P'(x)$ only have
a) distinct $n+1$ roots if $n$ is odd.
b) distinct $n$ roots if $n$ is even.
Exercise 6. Find al function $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ satisfies
$f(x+y)\geq f(x).f(y)\geq e^{x+y}$ for all $x,y\in \mathbb{R}$.

Exercise 3. We have $\int_0^1f^2(x)dx\int_0^2(3x-2)^2dx\geq (\int_0^1f(x)(3x-2)dx)^2$.

1. xét hàm số $f(x)=\cos ^2x-\sqrt{x},x\geq 0$, ta có $f(x)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(0).f(1)=\cos ^2 1-1<0$ nên tồn tại một $x_{0}\in (0,1)$ sao cho $f(x_{0})=0$.
2. Tương tự ta cũng xét $f(x)=(9-5m)x^5+(m^2-1)x^4-1$. Nếu $m=\dfrac{9}{5}$ thì pt trở thành $x^4=\dfrac{25}{56}$
nếu $m\neq \dfrac{9}{5}$ thì không mất tính tổng quát ta có thể xét th $m<\dfrac{9}{5}$ khi đó với $x$ đủ lớn $(x\rightarrow + \infty )$ thì $f(x)\rightarrow +\infty$, ngược lại khi $x$ đủ bé $(x\rightarrow -\infty)$ thì $f(x)\rightarrow -\infty$. Vì $f(x)$ liên tục nên tồn tại $x_{0}:f(x_{0})=0$. Th $m>\dfrac{9}{5}$ thì tương tự.
3. Tương tự (sử dụng định lý Rolle).
4. Tham khảo bài giải Olympic giải tích 2011.

Bạn phải hiểu đây là sân chơi để khẳng định mình, khẳng định trường mình. Còn được gì, thì ngoài vật chất ''những tấm bằng khen" (rất khó để có) và tiền, thì cái bạn có nữa là cơ hội giao lưu bạn bè về toán học. Đề đại số những năm gần không "khó" lắm. Với theo tôi cái khó của người này đôi khi là cái dễ của bản thân nữa. Thân chào bạn.