Đề xuất câu mở rộng, đây chỉ mới là dự đoán thôi, vì em không vẽ được hình phụ thuộc theo một điểm cụ thể nên có thể chưa chính xác, nếu sai em sẽ gỡ ạ.
c) Chứng minh tứ giác $BHOC$ nội tiếp.
Từ câu b, $\frac{MB}{MC} = \frac{AB^2}{AC^2}$, ta có $AM$ là đường đối trung của tam giác $ABC$.
Do đó $AM$ đi qua $X$, với $X$ là giao điểm của hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$.
Nên $\angle OHX = 90^o = \angle OBX = \angle OXC$, tức là $O,H,B,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OX$.
Bài 10. (Năm 2018) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AK, BD, CI$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$, $M$ khác $B$ và $C$. Gọi $N, P$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB$ và $AC$.
a) Chứng minh $AO$ vuông góc $ID$.
b) Chứng minh các tứ giác $AHCP$ và $AHBN$ là các tứ giác nội tiếp
c)Chứng minh ba điểm $N, H, P$ thẳng hàng
d)Tìm vị trí của điểm $M$ để đoạn thẳng $NP$ có độ dài lớn nhất.
Ý mở rộng sau thực chất cũng là một bài toán cơ bản liên quan tới hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn. Tuy nhiên phát biểu bài toán đó dưới ngôn ngữ của quỹ tích điểm cũng thấy khá thú vị nên mình đề xuất thêm.
Bài 4 (Năm 2012)
c) (Mở rộng) Gọi $G$ là giao điểm của $OM$ và $NP$. Tìm quỹ tích của $G$ khi $M$ chuyển động trên $d$ (và nằm ngoài đường tròn $(O))$.
Mở rộng này là hiển nhiên dưới phép nghịch đảo tâm $O$ phương tích $R^2$. Tuy nhiên, với ngôn ngữ hình học cấp 2 thì nó sẽ là một đường tròn đi qua $O$ (trừ đi cung chắn bởi $OA$ và $OB$).
Chà, giờ mới biết có topic này Đã nghe nói từ lâu mà không biết là xuất hiện trên diễn đàn mình
"Mạng nhện đại pháp" (mạn phép gọi vậy ) mình thấy thực ra cũng có những gốc rễ xây dựng, cũng có những tư duy, nguyên lý nhất định để suy nghĩ tại sao vẽ đường này mà không vẽ đường kia. Cơ mà thật đáng buồn khi ngày ấy các bạn bị NĐTS khinh mạt đến nông nỗi vầy
Em thấy nói chung là anh Nxb đang biện luận theo tính ứng dụng thực tiễn, và Bằng thì gắt với Olympic nói chung quá.
Vai trò của Olympic nói riêng và thi thố nói chung là kích thích sự tò mò và lòng ham thích ở các bạn trẻ, dù không tránh khỏi những hệ lụy xấu xí như việc luyện gà. Cái hệ quả này phần đa là do tư duy văn hóa hơn.
Còn vẻ đẹp của toán, đặc biệt là toán sơ cấp, thì mỗi người cảm nhận mỗi kiểu. Việc học Olympic, dù chỉ là để thi, cũng cung cấp cho học sinh những kỹ năng và khả năng để cảm thụ vẻ đẹp đó.
Em có coi một số bài thuyết trình dưới đây và thấy họ nói rất hay.
Bản thân em hồi cấp 3 cũng từng đi luyện thi các cấp rồi đi thi VMO. Bây giờ thì em có một may mắn là đang làm luận án tiến sĩ trong mảng Combinatorial Operational Research, gần với Computer Science hơn là toán căn bản.
Khi nhìn lại thì em thấy quả thật hồi cấp 3 không luyện về mảng toán tổ hợp rời rạc nhiều hơn, bởi vì phần lớn những gì em làm, ngoài các công việc của tin học, là tìm những tính chất đặc biệt của những đại lượng hay phần tử rời rạc.
Ví dụ đơn giản như sau:
Một nhà máy nhận $n$ đơn hàng, mỗi đơn hàng $i$ có một khối lượng công việc cho trước $p_i$ và một hạn chót hoàn thành (deadline) là $d_i$. Vậy phải thực hiện các công việc theo thứ tự nào để đảm bảo có ít công việc trễ hẹn nhất?
Ai loay hoay một hồi sẽ thấy cách giải tối ưu chính là thực hiện công việc theo thứ tự tăng dần của hạn chót. Tương tự với việc khi học thi, chúng ta chọn ôn bài cho những bài thi nào trước mắt hơn là những bài sau đó. Từ một trực giác (intuition), ta cần tìm một chứng minh chặt chẽ nữa là xong
Qua ví dụ này, có thể thấy kỹ năng đúc kết tính chất và chuyển đổi tương đương là cực kỳ quan trọng, không chỉ trong mảng COR này mà còn các mảng khác, như Bằng đã nói bên trên.
Nhìn chung, theo kinh nghiệm em và những người bạn và đàn em của em, toán Olympic VN hiện tại còn sa đà trong kỹ thuật và bỏ qua chuyện luyện cho học sinh khả năng nhìn đa chiều và suy luận. Khắc phục cái này thì cần công sức dài hơi không chỉ ở các giáo viên mà còn ở các bậc lãnh đạo.
Vai trò của VMF theo em thì tuy chỉ dừng lại ở mức truyền lửa và tạo môi trường thảo luận nhưng chúng ta có nhiều người đi trước từ nhiều lãnh vực. Nếu tạo được sự kết nối và giao lưu giữa thành phần tiên phong này và các bạn mới chập chững vào thì sẽ là một sự thúc đẩy rất đáng kể
Nếu chúng ta làm những chủ đề thảo luận và tổng hợp chung, thì thay vì chỉ ra mỗi cái đề và mục tiêu chứng minh, chúng ta nên chuyển sang hướng mày mò và khai thác? Như thế sẽ dễ tạo các liên hệ và mở rông hơn.
Ví dụ, một bài toán chúng ta đặt ra một mục tiêu cần chứng minh, sau đó lập một dãy các bước nhỏ cần có để đạt chứng minh đó, nhưng không dừng lại ở đấy.
Chúng ta sẽ gợi ý thêm rằng kết quả này có thể dẫn tới kết quả nào khác? Hoặc những kết quả kinh điển nào khác có thể cũng dẫn tới cùng chứng minh trên?
Thú thật thì em thấy phương án này cần người dẫn dắt phải có kỹ năng sư phạm nhất định và tầm hiểu biết rộng Nhưng với lợi thế số đông và sự hăng hái thì biết đâu chúng ta có thể cùng đạt được mục đích?
Em xin đơn cử bài toán quen thuộc :
Có bao nhiêu cách xếp 6 chàng trai và 8 cô gái thành 1 hàng sao cho không có 2 chàng trai liên tiếp.
Bài này giải rất nhẹ nhàng nhưng nếu dùng hàm sinh để giải là cả một vấn đề...
"Hàng" này là hàng dọc hay hàng ngang nhỉ? Nếu mình nhớ thì hàng ngang phải loại trừ trường hợp đối xứng trục chính giữa, còn hàng dọc thì không.
Mình viết nhầm mất, phải là $z_i = \min \{ b_i - a_i, m - \sum a_i \}$ chứ nhỉ? Mà có vẻ cách này không ổn, hai cái biên chỉ là đổi chỗ cho nhau
Thế thì thử hướng khác: quy về $y_i \in [0; b_i - a_i]$ như trên, xong ta sử dụng phương pháp loại trừ. Gọi $A_i$ là tập các nghiệm nguyên thỏa $\sum y_i = M (1)$ mà $y_i > b_i - a_i$ và $A$ là tập tất cả nghiệm nguyên của (1).
Để tính $\left| {{A_{{i_1}}} \cap {A_{{i_2}}} \cap ... \cap {A_{{i_k}}}} \right|$ thì ta thay $z_{i_j} = y_{i_j} - (b_{i_j} - a_{i_j})$ rồi sử dụng bài toán gốc
Đúng là nếu cho trước một điểm $P$ và một đoạn thẳng $AB$ thì ta được phép dựng đường tròn tâm $P$ bán kính $AB$. Có điều là dựng ra cái đoạn $AB$ đó thế nào vì ngoài một đoạn thẳng độ dài đơn vị ta không được cho trước thứ gì cả.
Bạn nói trúng vấn đề tiếp theo mà mình muốn nói đấy
Do dính tới kiến thức toán cao cấp nên mình không chắc có thể diễn đạt chặt chẽ, nhưng ý mình như sau:
Tập hợp các số dựng được là một tập vô hạn đếm được, nên trên trục số thực, độ đo Lebesgue bằng 0. Nói cách khác, khi chọn ngẫu nhiên một điểm trên trục số thực, xác suất số đó là số dựng được là bằng 0.
Vậy nên, nếu chọn hai điểm $A,B$ ngẫu nhiên thì gần như chắc chắn hai điểm đó không phải số dựng được.
Tuy nhiên, ta vẫn "chọn" được hai điểm đó đấy thôi Chỉ có điều, nếu xóa hết mặt phẳng rồi bảo dựng lại hai điểm đó thì không thể
@perfectstrong @ngtien1255 "Em đi xa quá, em đi hơi xa quá... ♫♫" Việc đề bài đã cho như vậy thì miễn đúng về mặt Toán học là được, không cần phải đào sâu thêm là trên thực tế có dựng được hay không. Ngay việc cái compa và cái thước có hộ khẩu và độ dài tuỳ ý đã là phi thực tế rồi.
Có vẻ như việc mọi người hiểu một cách rối rắm thế này xuất phát từ phát biểu dài dòng của cái bổ đề trong bài:
Đúng ra thì phát biểu như sau sẽ tốt hơn:
Bổ đề
Nếu $a$ và $b$ dựng được thì những số sau cũng dựng được: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Lúc đọc bổ đề thì Nesbit cũng đã hiểu ngay như vậy, bởi vậy mới có góp ý là cần thêm giả thiết $a,b$ dựng được vào. Nếu không có giả thiết $a,b$ dựng được thì có thể phát biểu như sau (nhưng không tốt bằng phát biểu ngắn gọn ở trên):
Bổ đề
Cho trước hai điểm $A$ có tọa độ $(a, 0)$ và $B$ có tọa độ $(b, 0)$, khi đó ta có thể dựng được điểm $C$ với toạ độ $(c, 0)$ trong đó $c$ có thể lấy giá trị tuỳ ý trong các số sau: $a + b, a - b, ab, a/b$ (với $b\ne 0$) và $\sqrt{ab}$ (với $ab\ge 0$).
Hai điểm $A$ và $B$ là giả thiết cho, không cần biết làm sao dựng được chúng.
Em cũng hiểu như anh, chỉ là suy nghĩ thêm chút Em thấy bỏ đi giả thiết $a,b$ dựng được thì mệnh đề càng mạnh hơn chứ nhỉ?
Một chủ đề tác giả đã biên soạn khá công phu mà xem ra các “sếp” tỏ ra khắt khe thế này thì còn ai “dám” đóng góp gì cho diễn đàn đây?
Những bài viết như thế này chất lượng hơn rất rất nhiều so với những “nghiên cứu” kiểu: “Chứng minh sơ cấp cho định lý…” rất chi là ảo tưởng!
——
P/s Ngoài một thành viên chữ đen tham gia bình luận thì toàn các “sếp” chữ màu vào chém cho tơi bời hoa lá, mình mà là tác giả thì chắc chắn sẽ buông phím quy hàng!
Thầy Thanh cứ quá lo Em cũng thấy ai cũng xúm vào góp ý xây dựng chứ đâu có chê bai dè biểu
Đoạn này thì tác giả ghi thiếu giả thiết $b$ dựng được (và khác $0$) thôi Hân ạ.
Nếu lấy com-pa để "đo" độ dài giữa hai điểm rồi dựng một đoạn mới có cùng độ dài, thì "phép dựng hình" này không hề phụ thuộc vào việc $b$ có "dựng được" hay không. Hay chúng ta phải hiểu "dựng được" theo nghĩa vật lý/thực tế?
Theo mình thì bạn đã có một bài viết tốt, có được ý tưởng chính. Chúc mừng bạn Diễn đàn cần những người như bạn.
Mặt khác, mình cũng đồng ý phần nào với anh Nxb. Chặt chẽ là thứ làm nên toán học. Tuy nhiên, mình nghĩ VMF cũng không cấm việc viết bài theo hướng blog cá nhân, xen lẫn cảm xúc cá nhân (miễn là đừng thái quá )
Mình thấy bài này bạn viết theo hướng "tản văn". Thế thì bạn nên đưa thêm lời bình hay ví dụ minh họa để giảm bớt sự hàn lâm trong chứng minh. Bạn cứ tưởng tượng như bản thân bạn là một gia sư đang hướng dẫn một học trò cách tiếp cận bài toán, những bước thử, những thất bại rồi mới đến những thành công. Chẳng hạn chỗ quy nạp, tại sao 2 số, 3 số thì không đủ? Bạn đã thử thế nào?
Phần mở đầu, mình khuyên bạn nên viết lại chút cho đàng hoàng tiếng việt hơn, thay vì chêm những chữ tiếng anh không phải thuật ngữ toán vào.
Cuối cùng, đây là chứng minh của bạn hay của Landau? Nếu là của bạn, để bạn diễn tả cảm xúc, thì mình nghĩ nên đổi tiêu đề thành "Một chứng minh sơ cấp cho bài toán gấp đôi thể tích khối lập phương" và bạn nói rõ là bạn lấy cảm hứng từ chứng minh Landau, sau đó trích dẫn tới bài của Landau
Một lần nữa, cảm ơn bài viết của bạn, và chúc bạn sẽ thành công trong những lần tiếp theo
Đã gửi bởi
on 09-07-2022 - 14:14
trong
Góc giao lưu
857061_350666278384170_2080496512_o.jpg
Dang-DDTH-15baihinhhsg-Bai10 (jpeg).jpg
Đã nghe nói từ lâu mà không biết là xuất hiện trên diễn đàn mình 
