Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta luôn có:

$(a+b+c)^5\geq 25\sqrt{5}(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)$

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c luôn có:

$\sqrt[3]{\frac{a^5(b+c)}{(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^5(c+a)}{(c^2+a^2)(b^2+ca)^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^5(a+b)}{(a^2+b^2)(c^2+ab)^2}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Cho $a,b,c\geq 0; a+b+c=3.CMR: $$\sqrt[3]{\frac{a^3+4}{a^2+4}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+4}{b^2+4}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+4}{c^2+4}}$

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=12$

CMR: $\frac{a+b}{4+bc}+\frac{b+c}{4+ca}+\frac{c+a}{4+ab}\geq \frac{3}{2}$

Mặc dù đề ra đã lâu nhưng em (mình) chưa thấy đăng trên diễn đàn để mọi người cùng thảo luận!

Hình gửi kèm

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

[TOPIC] Tổng hợp đề năm nay

Cho 2 phương trình: $x^2+\sqrt{2}(a+\frac{1}{b})x+\frac{25}{8}=0(1)$

                         và $x^2+\sqrt{3}(b+\frac{1}{a})x+\frac{75}{16}=0(2)$

Trong đó $a,b>0, a+b=1$

CMR một trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Cùng giải nha mọi người...

Giải pt: $\frac{23}{\sqrt{(x-1)(2x+9)}}=x+1$

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Hình gửi kèm

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

[TOPIC] Tổng hợp đề năm nay

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Theo AM-GM

$\frac{x^3}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3x}{2}$

Thiết lập tương tự ta sẽ có: $\sum \frac{x^3}{y(x+z)}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{\sum \sqrt{xy}}{2}=\frac{1}{2}$

Cho x,y là các số nguyên không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\left | 5x^2+11xy-5y^2 \right |$

Giải phương trình sau:


 

$x\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{x^2+1}$

Áp dụng BĐT bunhia cho 2 dãy: $x,1$ và $\sqrt{x+1}, \sqrt{3-x}$ ta có:
             $[(\sqrt{x+1})^2+(\sqrt{3-x})^2][x^2+1] \geq (x \sqrt{x+1} + \sqrt{3-x})^2$

             $\Leftrightarrow 2(x^2+1)\geq x\sqrt{x+1} + \sqrt{3-x}$

Sau đó dùng điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm nghiệm.
Do mk on bằng điện thoại nên ko trình bày chi tiết đc mọi người thông cảm !

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. CMR

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ba}{\sqrt{a+ba}}\leq \frac{1}{2}$

$\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

p/s: ))

em ơi, có tại đây: https://diendantoanh...b2c2fracc2c2a2/

Cho 6 điểm nằm trong một hình chữ nhật 3x4. Chứng minh rằng có 2 điểm có khoảng cách $\leq \sqrt{5}$

Ta chia hình chữ nhật thành 5 đa giác như hình vẽ:

Có 6 điểm mà chỉ có 5 hình nên theo nguyên lí Drichle sẽ tồn tại ít nhất 2 điểm thuộc cùng một hình

Và khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng đường chéo $ \leq \sqrt{1^2+2^2}\leq \sqrt{5}$

Cho $a\geq \frac{1}{2}, \frac{a}{b}> 1$. Tìm min của:  $\frac{3a^3+1}{6b(a-b)}$

Mk nghĩ bài này khá quen thuộc     

$\frac{1}{2016x+1}-\frac{1}{2017x+2}=\frac{1}{2018x+4}-\frac{1}{2019x+5}$

Ta có: $\frac{1}{2016x+1}-\frac{1}{2017x+2}=\frac{1}{2018x+4}-\frac{1}{2019x+5} \Rightarrow \frac{x+1}{(2016x+1)(2017x+2)}=\frac{x+1}{(2016x+1)(2017x+2)} \Rightarrow$ $x=-1$ hoặc $(2016x+1)(2017x+2)=(2018x+4)(2019x+5)$

Trường hợp thứ 2, phân tích ra được phương trình bậc 2. Giải nghiệm là OK!

Bạn tự vẽ hình nha.

Trên nửa mp bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = BAD. Bx cắt AD tại M.

Ta có: $\Delta ADC \sim \Delta BDM (g.g) \Rightarrow AD . DM=BD.DC$

 $\Delta ADC \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AB.AC=AD.DM$

$\Rightarrow AD.AM - AD.DM = AB.AC-BD.DC \Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.DC < AB.AC (đpcm)$

Cho $a,b,c >0$ thỏa $ab+bc+ca=1$. Tìm GTNN của: $\sum \frac{\sqrt{a^2+1} \sqrt{b^2+1}}{ \sqrt{c^2+1}} $

Ta có: $\frac{\sqrt{a^2+1}\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=\frac{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}\sqrt{b^2+ab+ac+bc}}{\sqrt{c^2+ab+ac+bc}}=\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}\sqrt{(b+a)(b+c)}}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}=a+b$

Tương tự cộng lại ta có: $P=2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi : $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Tìm các số nguyên $a,b,c$ khác nhau để $P(x)=x(x+a)(x+b)(x+c)+1$ là bình phương của một số.

p/s: Chúc ae 2k3 thi tốt

giải hệ phương trình sau:

$ 2x^{2}y+y^{3}=2x^{4}+y^{6} $

$ (x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^{2} $

$\boxed{\text{Bạn nhầm đề không}}$

Phải là x^6

$2x^2y+y^3=2x^4+x^6 \Leftrightarrow (x^2-y)(x^4+2x^2+x^2y+y^2)=0 \Leftrightarrow y=x^2$

Thế vào giải tiếp

Cho 1 bảng gồm $4x4$ ô vuông nhỏ, trên mỗi ô điền cách số tự nhiên $1,2,...,16$. Chứng minh rằng tồn tại $2$ ô kề nhau sao cho hiệu các số nằm trên $2$ ô này không nhỏ hơn $3$

Chuyển từ một ô bất kì sang ô kề nó gọi là một bước. Xét 2 ô ghi số 1 và số 16. Chuyển từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 16 chỉ cần không quá 6 bước chuyển (nhiều nhất là 3 bước theo hàng ngang, 3 bước theo hàng dọc). Tồn tại một bước chuyển có hiệu lớn hơn hoặc bằng 3.

Thật vậy, giả sử tất cả các bước chuyển đều có hiệu nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì từ số 1, qua không quá 6 bước chuyển tăng thêm không quá 12, không đạt đến số 16.

Suy ra đpcm