Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$

Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)

$\Rightarrow$ Dãy số giảm

Thêm hai bài nữa

3,

Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?

Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?

Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:

Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$

Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$

Bài 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z)^3$

Một cách gải khác cho bài toán 2.

Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x(a,b,c>0)$

Từ gt$\Rightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca$

Ta có: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca\geq 2ca-ca=ca$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca=(c+a)^{2}-3ca\geq (c+a)^{2}-\frac{3}{4}(c+a)^{2}=\frac{1}{4}(c+a)^{2}\Leftrightarrow c+a\leq 2b$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$

$\Leftrightarrow b(c+a-2b)+3(ca-b^{2})\leq 0$(luôn đúng)

Ta có đpcm.

Tiếp theo: 

Bài 30*: Giả sử $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P=x^4+8y^4+64z^4$

Giả định $x=a, y=b, z=c$

Áp dụng AM-GM ta có:

$x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4}\geq 4xa^{3}$

$8(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 32yb^{3}$

$64(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 256zc^{3}$

Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:

$P\geq 4xa^{3}+32yb^{3}+256zc^{3}-3a^{4}-24b^{4}-192c^{4}$

Ta tìm $a,b,c$ thoả mãn hệ sau:

$\left\{\begin{matrix} &a+b+c=3 \\ &4a^{3}=32b^{3}=256z^{3} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=\frac{12}{7} & \\ &b=\frac{6}{7} & \\ &c=\frac{3}{7} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P\geq \frac{5184}{343}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{12}{7}, y=\frac{6}{7}, z=\frac{3}{7}$

Bài 18: Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn: $2x+3y+z=40$. Tìm GTNN của biểu thức:

$S=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$ 

Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:

$S=\sqrt{4x^{2}+4}+\sqrt{9y^{2}+144}+\sqrt{z^{2}+36}\geq \sqrt{(2x+3y+z)^{2}+(2+12+6)^{2}}=20\sqrt{5}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=8, z=12$

Bài 6: Xét các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của: 

$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.

Ta có: $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1), (z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}=\frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{4}{2(z^{2}+3)}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}+\frac{4}{(y+2)^{2}}$

Ta chứng minh: $\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}\geq 1$

$\Leftrightarrow (y-2)^{2}(2y^{2}+9y+10)\geq 0$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=z=1, y=2$

Và tiếp theo là hai bài sau:

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.

Theo nguyên tắc Đi-rích-lê thì tồn tại 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow abc\geq c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$

Do đó ta có:

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 534: $\left\{\begin{matrix} &12x+\dfrac{108}{y}-6=\sqrt{4xy+33}-\sqrt{2y-3} \\ &8\sqrt{xy-2y}-8y+4=(x-y)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 341: $x^{4}+x^{2}+(x^{2}+2x-1)^{3}=2-4x+2\sqrt[3]{x^{2}-x^{4}}$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 301: $\left\{\begin{matrix} 2x+4y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=8 & & \\4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6 & & \end{matrix}\right.$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &2x^{2}y+4xy^{2}+x^{2}+y^{2}-8xy=0 \\ &4x^{2}y+x+y-6xy=0 \end{matrix}\right.$

$(2x-1).pt(1)-3x.pt(2)\Leftrightarrow (x-y)(8x^{2}y-2x^{2}-2xy+4x-y)=0$

+) $x=y\Rightarrow$ ...

+) $8x^{2}y-2x^{2}-2xy+4x-y=0$ Rút y từ pt này rồi thế vào pt(2) là dc

Bài 263: $\left\{\begin{matrix} y^2+(4x-1)^2=\sqrt[3]{4x(8x+1)}  \\40x^2+x=y\sqrt{14x-1} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq \frac{1}{14}$

Từ pt(2)$\Rightarrow y> 0$

Áp dụng AM-GM ta có:

$40x^{2}+x=y\sqrt{14x-1}\leq \frac{y^{2}+14x-1}{2}$

$\Leftrightarrow y^{2}\geq 80x^{2}-12x+1$

Ta có:

$\sqrt[3]{4x(8x+1)}=y^{2}+(4x-1)^{2}\geq 80x^{2}-12x+1+(4x-1)^{2}=96x^{2}-20x+2$

$\Rightarrow 96x^{2}-20x+2\leq \sqrt[3]{4x(8x+1)}=\sqrt[3]{(32x^{2}+4x).1.1}\leq \frac{32x^{2}+4x+1+1}{3}$

$\Leftrightarrow 2(8x-1)^{2}\leq 0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$(TM)

Đến đây thay vào tìm y

Bài 229: $\begin{cases} & \sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^{2}+\sqrt{3(x+y)} \\ & 12x(2x^{2}+3y+7xy)+1+12y^{2}(3+5x)= 0 \end{cases}$

ĐK: $x+y\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (\sqrt{3(x+y)}-\sqrt{x+y+1})+(4(x+y)^{2}-1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x+2y-1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}+(2x+2y-1)(2x+2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (2x+2y-1)(\frac{1}{\sqrt{3(x+y)}+\sqrt{x+y+1}}+2x+2y+1)=0$

Vì $x+y\geq 0$ nên phần trong ngoặc luôn dương$\Rightarrow 2x+2y=1$

Đến đây dễ rồi

Bài 269: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2=\sqrt{y^3+3y^2} \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x\geq 2, y\geq 0$

Pt(1)$\Leftrightarrow (x^{3}-3x^{2}+3x-1)-3(x-1)=(y+3-3)\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)=\sqrt{(y+3)^{3}}-3\sqrt{y+3}$

Đến đây dễ rồi

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Bài 421 (thi thử chuyên Lê Hồng Phong Nam Định):

$$\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} \ge \dfrac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}$$

Khúc sau khi nhóm nhân tử mình xử lí hơi bê đê, mong có cách đẹp hơn :3

ĐK: $-2\leq x\leq 2$

Pt$\Leftrightarrow \frac{6x-4}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}\geq \frac{12x-8}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \frac{1}{\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}}+\frac{2}{\sqrt{9x^{2}+16}} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow (3x-2)\left ( \sqrt{9x^{2}+16}-2\sqrt{2x+4}-4\sqrt{2-x} \right )\geq 0$

Đến đây xét 2 TH...Mình sẽ không giải bpt nữa mà sẽ giải pt, các bạn tự thay dấu vào nhé

$\sqrt{9x^{2}+16}=2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}$

$\Rightarrow 9x^{2}+16=4(2x-4)+16(2-x)+16\sqrt{2(4-x^{2})}$

$\Leftrightarrow x^{2}+8x+16=8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16$

$\Leftrightarrow (x+4)^{2}=\left ( 2\sqrt{2(4-x^{2})}+4 \right )^{2}$

Đến đây dễ rồi...

Up lại 1 số bài chưa có lời giải trong box PT, HPT:

Bài 34: $\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}$ (Nidalee Teemo)

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486**: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 493: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ. Mọi người đừng quên các bài ** nhé...

Bài 131: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}(1+\dfrac{1}{x+y})=2 & & \\ \sqrt{7y}(1-\dfrac{1}{x+y})=4\sqrt{2} & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y\geq 0$

+) $x=y=0$ ko là nghiệm của hệ

+) $x,y> 0$

Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} \\ &1-\frac{1}{x+y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \\ &\frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1}{x+y}=(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}})=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}$

$\Leftrightarrow (4x+7y)(6x-y)=0$

Mà $4x+7y> 0$(vì $x,y> 0$)$\Rightarrow 6x-y=0$

Đến đây dễ rồi

Đăng một bài nữa rồi ăn cơm

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

Điều kiện: $-1< x< 1, -1< y< 1$

Cộng 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1-y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2}(*)$

Trừ 2 phương trình vế theo vế ta được:

$\frac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1+y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\frac{7}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3}(**)$

Kết hợp (*) và (**) ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{7}{2} \\ &\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=a, \sqrt{\frac{1-y}{1+y}}=b(a,b>0)$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &a+b=\frac{7}{2} \\ &\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

Đây là một hệ cơ bản. Giải hệ này ta tìm được $a,b$. Từ đó tìm được $x,y$

Bài 135: $x^{2}+6x-14=\sqrt{98-35x-6x^{2}}$

Bài 136: $\left\{\begin{matrix} &x(y-1)+2y=x(x+1) \\ &4x^{2}+3x+3=4y\sqrt{y+3}+2\sqrt{2x-1} \end{matrix}\right.$

Bài 137: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y \\ &x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0\end{matrix}\right.$

Thảo luận hướng đi bài 534: 

Điều kiện: $y\geq \frac{3}{2};x\geq 2$.

Hệ phương trình viết lại: $\left\{\begin{matrix}(\sqrt{4xy+33}-\sqrt{2y-3})(\frac{3(\sqrt{4xy+33}+\sqrt{2y-3})}{y}-1)=0 \\ (x-y-2)(\frac{8y}{\sqrt{xy-2y}+y}+y-x-2)=0 \end{matrix}\right.$

 

 

P/S: Cho hỏi NTA1907. Bài này có nghiệm ko ? Để mình biết hướng đi của bài. 

Vì nếu hai cái loằng ngoằng kia vô nghiệm thì ta được hệ: $\left\{\begin{matrix}4xy+33=2y-3 \\ x-y-2=0 \end{matrix}\right.(VN)$

Hệ này cũng vô nghiệm. 

Bài này vô nghiệm   

P/s: Hình như mọi người đánh sai STT bài rồi 

Bài 538: $\left\{\begin{matrix} &y^{7}+1=(x+1)(x^{2}+1)(x^{4}+1) \\ &x^{7}+1=(y+1)(y^{2}+1)(y^{4}+1) \end{matrix}\right.$

Bài 442: $\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Đặt $a=\frac{2x}{1+x^{2}}, b=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$

$\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=\sqrt{2}(3a-b+1)$ và $a^{2}+b^{2}=1$

Khi đó phương trình ban đầu trở thành:

$4ab-\sqrt{2}(3a-b+1)=5-\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 4ab-\sqrt{2}(3a-b)=3+2(a^{2}+b^{2})$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}+3+\sqrt{2}(3a-b)=0$

$\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}+\sqrt{2}\left [ (a+b)+2(a-b) \right ]+3=0$

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{2}(a-b) \right ]^{2}+2\sqrt{2}(a-b)+1+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow \left [ \sqrt{2}(a-b)+1 \right ]^{2}+\sqrt{2}(a+b+\sqrt{2})=0$

Ta có: $\left | a+b \right |\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}=\sqrt{2} \Rightarrow a+b\geq -\sqrt{2}$

$\Rightarrow VT\geq 0=VP$

Dấu = không xảy ra$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm.

Bài 465: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}-8y^{3}=1+3xy-3x^{2}y^{2} \\ &8y^{3}-3x^{3}=1-3xy+9x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$