Xác định đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(f(-1))^2 + (f(1))^2 \ne 0$ và với mọi $n$ nguyên dương đủ lớn thì $f(n!) \vdots 2n+1$ 

+)Ta sẽ chứng minh tồn tại số nguyên $a$ sao cho $a^2+1$ chia hết cho $p$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+1$

Thật vậy ta có $p-1\equiv -1(modp);p-2\equiv -2 (mod p);...;\frac{p+1}{2}\equiv \frac{1-p}{2}(modp);\frac{p-1}{2}\equiv \frac{p-1}{2}(modp);...;1\equiv 1(modp)$

Nhân các vế trên ta có $(p-1)!\equiv ((\frac{p-1}{2})!)^2.(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv ((\frac{p-1}{2})!)^2 (modp)$

Lại có $(p-1)!\equiv -1(modp)$ theo định lý Wilson nên từ đây ta có đpcm

+)Ta gọi $q$ là số nguyên tô sao cho $q=4k+1$ và $\alpha>\frac{1}{q}$

Đặt $m=(\frac{q-1}{2})!$ thì tập hợp sau là vô hạn: 

$A=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q)\right\}$

Vì theo chứng minh trên thì mọi phần tử của $A$ đều chia hết cho $q$ nên với $k^2+1\in A$ thì $p(k^2+1)\ge q$

Ta phân hoạch $A$ thành 2 tập hợp 

$B=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q);p(k^2+1)>q\right\}$ và $C=\left\{r^2+1| r\equiv m(mod q);p(k^2+1)=q\right\}$

Do tập $A$ là vô hạn nên trong hai tập $B;C$ có ít nhất một tập có vô hạn phần tử

+)Nếu $C$ có vô hạn phần tử; ta thấy tồn tại $N$ sao cho với mọi $n\ge N$ và $n^2+1\in C$ thì $\frac{p(n^2+1)}{n^2+1}=\frac{q}{n^2+1}<\alpha$ 

Hiển nhiên là tồn tại vô hạn phần tử $n\ge N$  và $n^2+1\in C$ nên khẳng định đề bài đúng

+)Nếu $B$ có vô hạn phần tử thì vì với $n^2+1\in B;p(n^2+1)>q$ và $n^2+1$ chia hết cho $q$ nên $\frac{n^2+1}{p(n^2+1)}=lq(l\in \mathbb{N}^*)$

Do đó $\frac{p(n^2+1)}{n^2+1}=\frac{1}{lq}\le\frac{1}{q}<\alpha$ 

Có lẽ đề bài này sai. Chọn $\alpha=1$ thì. Với số tự nhiên $n$ bất kì thì tồn tại một ước $p$ của $n^2+1$ mà $p> \sqrt{n^2+1} >n$. Khi đó $\frac{p(n)}{n}>1$

đề bài cho là "ước nguyên tố" cơ mà

Một ông toán lý thuyết một ông ứng dụng khác nhau mà

em đang bảo về độ đập zai cơ mà

Có lẽ anh hoangtrong2305 sẽ là một đối thủ nặng kí với Nxb

có lẽ sau này sẽ xuất hiện thêm bài viết về phó quản trị bangbang1412 chăng

0!=1 là qui ước bạn ạ,mà bằng cách qui ước đó (  hay những qui ước nói chung ) giúp ta có lợi trong một số tính toán .công thức n! bạn viết là hệ quả của cách định nghĩa n! cho các số tự nhiên >=1,khi bạn qui ước 0! =1 thì bạn thấy rằng: công thức trên không chỉ đúng với những n>=1 mà tại  n =0 (với qui ước 0!=1)  làm cho công thức n! như bạn viết ở trên đúng cho cả trường hợp n=0....cái ''đúng'' này là nhờ bạn quy ước mà có,nên bạn lại ko thể lấy cái đúng này để chứng minh cho cái sinh ra tính đúng của nó.

Mình nghĩ là không nên định nghĩa $n!$ là "tích n số tự nhiên đầu tiên" vì nếu $n=0$ thì làm sao mà tính được kiểu "tích 0 số tự nhiên đầu tiên".Theo mình; $n!$ nên được định nghĩa là các cách sắp xếp $n$ phần tử trong tập hợp có $n$ phần tử. Như thế thì với $n\geq 1$; số $n!$ vẫn thỏa mãn công thức $n!=n(n-1)...2.1$; còn với $n=0$ thì số cách sắp xếp các phần tử trong tập hợp rỗng là 1 cách (để nguyên nó) nên $0!=1$

Nhưng mà khổ nỗi là nếu định nghĩa $n!$ là "tích n số tự nhiên đầu tiên" thì ta mới không biết tính $0!$ kiểu gì và mới sinh ra cái gọi là "quy ước" chứ .

Bài 1: Cho $n\ge 2$ là một số nguyên dương và kí hiệu $\sigma (n)$ là tổng các ước của $n$. Chứng minh rằng số nguyên dương nhỏ thứ $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$ luôn không nhỏ hơn $\sigma (n)$, đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Tìm hàm $f: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \left[0,1\right]$ sao cho với mọi số nguyên $x;y$:

$f(x,y)=\frac{f(x-1;y)+f(x;y-1)}{2}$

Bài 3: Tại một buổi ăn tối của 1 trường đại học; có 2017 nhà toán học mà mỗi người được ăn 2 món ăn sao cho không có 2 người nào ăn cả 2 món giống nhau. Giá của một món ăn bằng số nhà toán học ăn nó, và trường đại học này sẽ trả tiền cho mỗi người món ăn ít tiền hơn trong 2 món mà họ ăn. Hỏi tổng số tiền mà trường đại học này phải trả lớn nhất là bao nhiêu?

P/s: Có thể mình dịch không chuẩn lắm; dịch sai chỗ nào các bạn ib góp ý; không up lên ở đây

Một tập A được gọi là sum - free nếu không tồn ại $x;y;z$ thuộc A mà $x+y=z$. Chứng minh với mọi tập A gồm một số số nguyên dương; tồn tại B là con của A mà B là sum - free và $|B|>|A|/3$

Năm 2017-2018

$\mathbf{\boxed{I.}}$Chọn đội tuyển thi VMO 

$\mathbf{\boxed{1}}$ THPT Chuyên KHTN Vòng 1 (Ngày 1+2)

$\mathbf{\boxed{2}}$ THPT Chuyên KHTN Vòng 2 (Ngày 3+4)

$\mathbf{\boxed{3}}$ Thành Phố Đà Nẵng

$\mathbf{\boxed{4}}$ Tỉnh Đắc Lắc

$\mathbf{\boxed{5}}$ Tỉnh Cà Mau

$\mathbf{\boxed{6}}$ Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 

$\mathbf{\boxed{7}}$ Quốc Học Huế

$\mathbf{\boxed{8}}$ Tỉnh Quảng Ninh

$\mathbf{\boxed{9}}$ Tỉnh Hải Dương

$\mathbf{\boxed{10}}$ Thành phố Hà Nội Vòng 2

$\mathbf{\boxed{11}}$ Tỉnh Thái Nguyên

$\mathbf{\boxed{12}}$ Tỉnh Phú Yên

$\mathbf{\boxed{13}}$ THPT Chuyên Phan Bội Châu 

$\mathbf{\boxed{14}}$ Tỉnh Hòa Bình

$\mathbf{\boxed{15}}$ PTNK TP Hồ Chí Minh

          $\mathbf{\boxed{16}}$ Tỉnh Nam Định

          $\mathbf{\boxed{17}}$ Tỉnh Đồng Nai

          $\mathbf{\boxed{18}}$ Tỉnh Cà Mau

          $\mathbf{\boxed{19}}$ Tỉnh Quảng Ninh

          $\mathbf{\boxed{20}}$ Tỉnh Bà Rịa-Vũng Tàu

          $\mathbf{\boxed{21}}$ Tỉnh Thanh Hóa

II. Olympic 30/4, GGTH

1. Olympic 30/4 năm 2017 khối 11

Olympic 30/4 năm 2017 khối 10

2. Trại hè Hùng Vương

Trại hè Hùng Vương khối 11

3. Gặp gỡ Toán học khối 10

Gặp gỡ Toán học khối 11

Gặp gỡ Toán học khối 12

4. Olympic chuyên KHTN

To be continued...

P/s: Anh em ĐHV OLP nào muốn tổng hợp thêm thì cứ việc nhé

@vietnaminmyheart: ĐHV OLP tổng hợp theo form trên nhé

Từ Zaraki: Đặt chú ý topic của đề thi (không phải topic này) sẽ đưa đề lên trang chủ, giúp tăng sự chú ý. Chú ý là topic ở trang chủ được sắp thứ tự theo thời gian được lập từ mới nhất đến cũ nhất. Do đó topic đề thi nào mà được tạo lâu rồi sẽ không thấy ở trang đầu của trang chủ. Cho nên chỉ đưa chú ý topic đề thi nào mà mới lập + đồng thời bỏ chú ý topic đề thi cũ. Nếu cái này không hoạt động thì PM BQT. ĐHV Olympic lúc nào rảnh thì update đề nhé. 

Cho hình chữ nhật $m\times n$ ($m\ge 2;n\ge 2$).Trên hình chữ nhật có một số các số nguyên cho trước; ta thực hiện các thao tác lấy một hình chữ nhật $1\times x$ hoặc $x\times 1$ ($x\ge 2$) và tiếp tục cộng thêm $k$ vào hai ô vuông ở hai đầu của hình chữ nhật đó rồi cộng thêm $k+1$ vào các ô vuông nằm giữa 2 ô vuông trên (nếu có) với $k\in \mathbb{Z}\setminus \left\{0\right\}$. Hãy tìm tất cả các bộ $(m;n)$ thỏa mãn với bất kì các số nguyên cho trước; tồn tại dãy hữu hạn các thao tác như trên sao cho đến thao tác cuối cùng; ta nhận được các số nguyên bằng nhau trên mọi ô vuông.

Các bạn học sinh xếp hàng dọc sao cho đếm từ trái sang, hàng thứ nhất có n bạn, hàng thứ 2 có n-1 bạn,... cho đến hàng thứ n có 1 bạn. Các bạn đều quay mặt về phía hàng thứ nhất. Ví dụ với $n=5$ (mỗi dấu * đại diện cho một bạn):

*

* *

* * *

* * * *

* * * * * (hàng thứ nhất)

Mỗi bạn được phép chọn duy nhất một mệnh đề trong 2 mệnh đề dưới đây để phát biểu ( trừ bạn đứng đầu hàng):

 

Mệnh đề 1: "Bạn trước mặt mình là người nói thật, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói dối."

 

Mệnh đề 2: "Bạn trước mặt mình là người nói dối, bạn bên trái của bạn trước mặt mình là người nói thật."

 

Với n=2015. Hãy tìm số người nói thật nhiều nhất có thể

 

P/s: Mọi người giải thích kĩ giúp mình một chút , nói thật nói dối nó cứ loạn xì ngầu ra ấy

Xin phép đào mộ tí ; bài này anh chôm từ VMEO mà. Đề có ở đây

https://diendantoanh...-toán-xếp-hàng/

Ý là mỗi học sinh được chọn một trong hai mệnh đề trên [trừ bạn đầu hàng ra]; và các bạn đầu hàng là nói dối hoặc nói thật tùy ý. Khi đó các bạn đứng liền trước với các bạn đầu hàng kiểm tra xem mệnh đề mình chọn có đúng hay ko [Nếu đúng thì là nói thật; sai thì ngược lại]; Quá trình tiếp tục cho đến bạn cuối cùng. Khi đó đếm số bạn nói thật ra. Mục đích là các bạn ko đứng đầu hàng sẽ chọn mệnh đề và các bạn đứng đầu hàng sẽ nói dối hoặc thật sao cho ng nói thật nhiều nhất

Tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi hình lồi $A$; tồn tại $k$ điểm nằm trên biên của $A$ tạo thành một $k-$ giác lồi có chu vi lớn hơn $80$% chu vi của $A$

Bài toán : Trên mặt phẳng lưới ô vuông đơn vị; ta định nghĩa hình chữ nhật A chia được trong hình chữ nhật B nghĩa là khi ta dùng các đường thẳng song song với các cạnh của ô vuông đơn vị thì chia được hình chữ nhật B thành các hình chữ nhật có cùng kích thước với A. Cho họ các hình chữ nhật $M$ thỏa mãn : nếu cho 2 hình chữ nhật A ;B thuộc họ trên thì nếu hình chữ nhật C chia được trong A và B thì tồn tại một hình chữ nhật khác có diện tích $\frac{s_{A}^n+s_{B}^n}{s_{C}}$ cũng thuộc $M$ với mọi $n\leq 2017$. Biết rằng số các kích thước khác nhau của các hình chữ nhật thuộc $M$ là hữu hạn. Tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất sao cho hình chữ nhật này chứa ít nhất $2018^{2019}$ hình chữ nhật thuộc $M$.

Chú ý: -Các hình chữ nhật ở trên đều có đường thẳng chứa cạnh trùng với các đường thẳng chứa cạnh của các ô vuông đơn vị

           -Một hình chữ nhật nào đó có kích thước $m\times n$ mà thuộc $M$ thì tất cả các hình chữ nhật có kích thước $m\times n$ cũng thuộc $M$ (kích thước $m\times n$ và $n\times m$ được coi là như nhau)

           -Hai hình chữ nhật có cùng diện tích nhưng không cùng kích thước mà một hình thuộc họ $M$ chưa chắc hình kia đã thuộc $M$

           -Kí hiệu $s_{A}$ là diện tích của hình A

P/s: Làm con siêu phẩm đầu năm học năm ngoái chế ra nhưng hnay mới up :V

Tìm các tập hợp $\bigcup _{n \in N^*}A_n, \bigcap _{n \in N^*}A_n$ trong các trường hợp

$a)$ $A_n=\left \{ x\in R|-n\leqslant x \leqslant n \right \}$

$b)$ $A_n=\left \{ x\in R|\frac{-1}{n}\leqslant x\leqslant \frac{1}{n} \right \}$

a)$\bigcap_{n \in \mathbb{N^*}}A_n =[-1;1]$

   $\bigcup_{n \in \mathbb{N^*}}A_n=(-\infty;+\infty)$

b)  

+)$\bigcup_{n \in \mathbb{N^*}}A_n=[-1;1]$

+)Vì $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{-1}{n}=0$ nên $\lim_{n\to \infty}\sup A_n=\lim_{n\to \infty} \inf A_n=0$

Do đó $\bigcap_{n\in \mathbb{N^*}}A_n=\left\{0 \right\}$

Cả $2$ câu đều lộn dấu hợp với giao rồi em nhé=)) Giao bằng $0$ chứ hợp đâu bằng $0$ được, câu trên cũng tương tự nha. 

À em viết lộn (tại ít khi dùng hai dấu này trên diễn đàn ạ =)) )

Cho một tập hữu hạn n điểm trong hệ tọa độ Oxy. Tập điểm này được gọi là "thích hợp" nếu mỗi điểm thuộc nó được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ; mỗi điểm được tô bởi một màu. Tìm k nhỏ nhất sao cho với mọi tập điểm thích hợp gồm n điểm đều tồn tại đa thức mà đồ thị của nó mặt phẳng thành hai miền sao cho hai điểm bất kì nằm trên cùng một miền thì cùng màu. 

P/s: Hình như bài này của bên Nga; mình thấy hay nên post.

Mình thấy bộ cần bỏ thi trắc nghiệm toán đi; hoặc nếu có trắc nghiệm thì sẽ chỉ chiếm một số điểm nhất định (từ 3-4 điểm) và phải có tính phân loại học sinh cao; nếu không thì như chúng ta thấy; năm nay có những học sinh 29,5 đ vẫn còn lo trượt hay những trường đại học lấy trên 30 điểm mà mỗi môn chỉ tính hệ số 1 (có nghĩa là cả 3 môn đạt điểm tuyệt đối mà không có điểm cộng thì cũng không đỗ). Trước kia thi đại học điểm 9; điểm 10 không nhiều nhưng từ khi bộ cải cách thì có rất nhiều điểm 9; 10 cộng thêm số học sinh điểm từ 29 trở lên gia tăng "đột biến" nên khi nhìn vào điểm số; ta không thể thấy rõ được chính xác học lực của học sinh. Vì còn hai năm nữa là mấy thằng 2k2 như mình lên thớt rồi nên mong rằng bộ xem lại việc thi trắc nghiệm toán và điều chỉnh cho hợp lý.

ây dà     

Mk không gửi được tin nhắn với họ được.

Bạn hãy làm một topic ở Xử lí vi phạm - tranh chấp - khiếu nại yêu cầu các quản trị khôi phục nick.

tiếp tục tăng hạng

có lẽ do nghỉ hè xả hơi nhiều nên diễn đàn ta lại tụt hạng rồi

http://www.alexa.com...ndantoanhoc.net

ÂU MÀI GÓTTTTTTTTT !!!!!!!!!!
 
DIẾN ĐÀN TA ĐÃ VÀO TOP 1000

1223!!!!!!!!!!!!!!

Tôi là thành viên mới tham gia diễn đàn tuy nhiên tôi không tìm thấy phần nội quy của diễn đàn do đó tôi xin phép BQT giải đáp một số thắc mắc để đảm bảo tôi thực hiện đúng quy định của BQT cụ thể như sau:

1. Tôi có thể đăng bài nhờ giải các bài toán cấp THCS được không? Nếu có thì đăng ở mục nào?

2. Tôi có thể đăng cái bài toán bằng tiếng Anh được không hay bắt buộc phải dịch qua tiếng Việt?

3. Đối với một số bài toán đối với tôi là khó nhưng đối với các bạn là dễ (vì tôi giải toán để giúp con tôi học) thì có được phép hỏi hay không?

4. Với mỗi bài toán tôi có thể đăng 01 post hay tất cả các bài toán của tôi hỏi phải đăng vào 01 post.

Xin cảm ơn BQT.

Khi mới là thành viên; ai cũng nhận được tin nhắn có tiêu đề "bạn cần đọc kĩ tin nhắn này"; nội quy diễn đàn; cách gõ công thưc toán và cách đặt tiêu đề đúng quy định đều có trong đó. 

Chúng ta nên mở nhiều các cuộc thi Toán nhiều hơn để chọn được các nhân tài . Có thể 1 tuần 1 đề và từ đó ai được điểm cao nhất sẽ có thưởng hoặc giấy khen ( vậy cũng vinh dự mà ) . Và mỗi 1 lĩnh vực  mình nghĩ cần nhiều Điều Hành Viên hơn khoảng 7 đến 10 người gì đấy để có thể giải cac bài toán khó mà các thành viên chưa biết làm ( Và chúng ta có thể làm những bài kiểm tra năng lực về từng chuyen đề 1 và chọn ra khoảng top 10 người để lm ĐHV)

Trước kia diễn đàn ta cũng có nhiều cuộc thi như vậy và cũng có đông các toán thủ tham gia (chẳng hạn như VMEO) ;nhưng gần đây có lẽ là do không đủ nhân lực nên không tổ chức các cuộc thi như vậy nữa. Với lại; theo cá nhân mình; diễn đàn hiện tại không có nhiều bạn hứng thú hoặc là các bạn không có nhiều thời gian để tham gia các kì thi trên diễn đàn. Tuy nhiên biết đâu trong tương lai xa xa; diễn đàn lại có thể tổ chức các cuộc thi ấy nên cứ mong đợi đi