Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ ab+bc+ca> 0 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Có 218 mục bởi olympiachapcanhuocmo (Tìm giới hạn từ 02-06-2020)
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 31-03-2016 - 20:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ ab+bc+ca> 0 & & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 01-10-2015 - 21:33 trong Chuyên đề toán THCS
Bài 159 : Giải phương trình:
a)$\sqrt{4x+3}=2x^{2}+2x$
b)$\sqrt{3x+2}=9x^{2}+6x $
c)$2\sqrt{x+2}=27x^{2}-27x-5$
d)$\sqrt{2x-5}=x^{2}-9x+17 $
e)$\sqrt[3]{3x+1}=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+1$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 05-10-2015 - 19:42 trong Chuyên đề toán THCS
Mong rằng mọi người giải hết mấy bài ở trên còn sót , rồi mới đăng bài mới !
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 05-10-2015 - 21:30 trong Chuyên đề toán THCS
Đặt ẩn đưa về hê phương trình , đi thi có mà lên cộc cộc
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 28-09-2015 - 21:13 trong Chuyên đề toán THCS
Topic mình bị bỏ quên nên đăng vào đây luôn
Bài : Tìm Min, Max củaa) A = 3x + $x\sqrt{5 - x^{2}}$
b) B = $\sqrt{5x - x^{2}} + \sqrt{18 + 3x - x^{2}}$
-Tớ sẽ nêu ra hướng giải như sau :
-Mục đích : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ( rất quen thuộc với thcs )
- Do đó cần có đk là $x\geq 0$
Bài giải :
- ĐKXĐ : $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$
- Xét 2 trường hợp :
+ Trường hợp 1 : $x<0$ $\Rightarrow A< 0$
+ Trường hợp 2 : $0 \leq x\leq \sqrt{5}$
Ta có : $A.\alpha =3x.\alpha + \alpha x \sqrt{5-x^{2}} \leq 3x.\alpha +\frac{\left ( \alpha ^{2}-1 \right )x^{2}+5}{2}$
$= \frac{\alpha^{2}-1}{2}.x^{2}+3x.\alpha +\frac{5}{2} \doteq \left ( \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}x}+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\alpha^{2}-1}} \right )^{2}+ \frac{5}{2}-\frac{9\alpha ^{2}}{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}$
Từ giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}(\alpha x)^{2}=5-x^{2} & & \\ \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}}x+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}}=0 & & \end{matrix}\right.$
Do đó : ta tìm được $\alpha $
Điều còn lại chỉ là việc viết bài mà thội !
Nhưng nếu thay đầu bài lại thành A = 3x + $x\sqrt{5 +x^{2}}$ thì sẽ khó hơn !
Do đó : chúng ta cần phải có cách khác tốt hơn !
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 05-10-2015 - 19:43 trong Chuyên đề toán THCS
Bài 159 : Giải phương trình:
a)$\sqrt{4x+3}=2x^{2}+2x$
b)$\sqrt{3x+2}=9x^{2}+6x $
c)$2\sqrt{x+2}=27x^{2}-27x-5$
d)$\sqrt{2x-5}=x^{2}-9x+17 $
e)$\sqrt[3]{3x+1}=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+1$
Ai giải hộ câu c cái !
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 29-08-2015 - 21:25 trong Chuyên đề toán THCS
Bài 55 : Giải phương trình : a) $5\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{5x-2}}\doteq \frac{2x^{2}+13}{4x-1}$
b)$\sqrt{x+\frac{5}{x}}\doteq \frac{x^{2}+9}{x+4}$
c)$x^{3}-x^{2}-x\doteq \frac{1}{3}$
Bài 56 : Cho a,b,c là các số thực dương
Chứng minh rằng :
$\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$
Bài 57 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
$x(x+7)\doteq y^{3}-1$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 19-06-2015 - 21:49 trong Số học
Tìm số nguyên tố $p= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c$\in \mathbb{Z}$ sao cho $a^{4} +b^{4} +c^{4} \vdots p$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 21-06-2015 - 20:00 trong Số học
Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 21-06-2015 - 21:49 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Tớ làm cách này không biết có đúng không : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{\left ( 2b^{2} +c^{2}\right )\left ( 2c^{2}+b^{2} \right )}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}.\frac{2}{3}\geq \frac{3}{2}.\frac{2}{3}=1$ ?
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 22-06-2015 - 23:16 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Tớ có cách khác :$\sum \frac{c^{2}}{a^{2}c^{2}+abc^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \sum \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\sum a^{2}c^{2}+abc\left ( a+b+c \right )}\geq (\frac{a+b+c}{ab+bc+ca})^{2}\geq \left ( \frac{3}{a+b+c} \right )^{2}=\frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 21-06-2015 - 21:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bạn có thể giải thích chi tiết được không ?
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 25-10-2015 - 10:13 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 21-09-2015 - 18:50 trong Thông báo chung
Họ tên : Lưu Thanh Tùng
Nick trong diễn đàn : olympiachapcanhuocmo
Năm sinh : 2001
Hòm thư : [email protected]
Dự thi cấp : THCS
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 01-08-2015 - 17:36 trong Số học
BÀI 5: Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện: $(1994!)^1995$ chia hết cho $1995^k$
Chắc đề bài của cậu là : $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$
Ta có : 1995=3.5.7.19
Mục đích để sử dụng LTE !
Để $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$
$\Rightarrow v_{19}\left [ \left ( 1994! \right )^{1995} \right ]\geq v_{19}\left ( 1995^{k} \right )$
$\Leftrightarrow 1995 .v_{19} \left ( 1994! \right )=5985\geq k$
Do đó : mình đoán là $Max_{k}=5985$
P/s: Không biết có đúng không ?
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 01-08-2015 - 17:48 trong Số học
BÀI 3: Chứng minh $\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$ là một số nguyên với mọi a nguyên.
Mục đích ta đưa về dạng PT bậc 3 , bằng cách nhân phá ngoặc !
Đặt A=$\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$
Ta có : A=$\frac{a^{3}}{6}-a^{2}+\frac{11}{6}a-1$
Do đó : ta cần chứng minh $(a^{3}+11.a) \vdots 6$
$ \Leftrightarrow (a^{3}-a+12a)\vdots 6$
$\Leftrightarrow a\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )\vdots 6$
$ \Rightarrow$ Q.E.D
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 01-08-2015 - 19:39 trong Số học
Mình cũng đóng góp 1 bài :
Cho $(a^{m}-1)\vdots \left ( a^{n}-1 \right )$ với a,m,n là các số nguyên dương và $a\neq 1$
Chứng minh rằng : $m\vdots n$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 18-03-2016 - 19:53 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 101:Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 19-03-2016 - 20:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Nếu $a+b+c\geqslant 2$ thì $VT=a+b+c+\sum \dfrac{bc}{b+c}\geqslant a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\geqslant \dfrac{5}{2}$
Nếu $a+b+c\leqslant 2$ thì giả sử $a\geqslant b,c$, khi đó:
$$VT=b+c+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}\geqslant 2+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}$$
Mà $2a(1+bc)=2a+2abc\geqslant a(a+b+c)+bc+(2a-1)bc=a(a+b+c)+bc+(a(2-a-b-c)+a^2-bc)bc\geqslant a(a+b+c)+bc$
Do đó $VT\geqslant 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$
Chỗ này là như thế nào vậy anh ?
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 18-03-2016 - 22:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
-Bạn có thể giải bằng kiến thức THCS được không ?
-Hãy tìm ra đúng bản chất của nó , một cách thật đơn giản , dễ hiểu , đừng quá máy móc được không ?
- Và đây là lời giải của tôi , các bạn tham khảo và cho ý kiến nhé :
$\sum \frac{1}{a+b}$
=$\frac{\sum a^{2}+3\sum ab}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )(c+a)}$
$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{\left ( a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\right) }$
$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{a+b+c-abc}$
- Đến đây ta có bổ đề sau : $a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2$ với giả thiết như đề bài ( Chứng minh bằng phép thế--các bạn tự cm nhé )
- Do đó : bđt cần chứng minh tương đương với :
$\frac{x^{2}+1}{x-\frac{1}{5}(6-3x)}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}\geq 0$ luôn đúng
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 22-03-2016 - 19:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 103 : Cho a,b,c dương , thoả mãn :a+b+c=3.
Tìm GTNN (nếu có ) của
: $\frac{1}{\sqrt{4a^{2}+bc}}+\frac{1}{\sqrt{4b^{2}+ca}}+\frac{1}{\sqrt{4c^{2}+ab}}$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 26-07-2015 - 11:02 trong Số học
Bài này thực ra là bài CZECH SLOVAKLIA 1996 mình xin trình bày lại cách giải :
TH1: p chẵn , dễ dàng thu được nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)
TH2: p lẻ
Theo ĐL Fermat nhỏ ,ta có : $p^{x}=y^{p}+1\equiv y+1\left ( mod p \right )$
$\Rightarrow y+1\vdots p$
Hiển nhiên y và 1 không chia hết cho p
Theo ĐL LTE , ta có : $v_{p}\left ( y^{p} +1\right )=v_{p}\left ( y+1 \right )+v_{p}\left ( p \right )=v_{p}\left ( y+1 \right ) +1$
$ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right ) $
Do đó : Từ $\left ( y+1 \right )\left ( y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 \right )= p^{x}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+1= p^{x-1} & & \\ & & y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 =p \end{matrix}\right.$
+ Với y=1 thì $x-1=v_{p}\left ( 2 \right ) $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=2 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$ (Loại)
+ Với y=2 thì $x-1=v_{p}\left ( 3 \right ) $
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=3 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$ (Thỏa mãn )
+Với y>2 thì $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1$
$= y^{p-2}\left ( y-1 \right )+y^{p-1}\left ( y-1 \right )+...+y\left ( y-1 \right )+1> y^{p-2}+y^{p-1}+...+y+1> y+1$
$\Rightarrow p> p^{x-1}$
$ \Rightarrow x=1 $
$ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right )=0$ (Mâu thuẫn $ y+1\vdots p $)
Vây (x;y;p)=(1;1;2),(2;2;3)
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 26-07-2015 - 20:33 trong Số học
À , ta có : $v_{p}\left ( p^{x} \right )=x=v_{p}\left ( y^{p}+1 \right )= v_{p}\left ( y+1 \right )+1 \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right )$
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 26-07-2015 - 11:12 trong Số học
Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của 2014!-1 đều lớn hơn 2014
Đã gửi bởi olympiachapcanhuocmo on 26-07-2015 - 20:20 trong Số học
Phần này là sao mình không hiểu mong bạn giải thích từng bước giúp
Chị không hiểu chỗ nào vậy ?
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học