với $0\leq x, y, z\leq 1$. tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 

$\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}=\frac{3}{x +y+z}$

cho $B=x^{5}-6x^{4}+12x^{3}-4x^{2}-13x+2014$

không dùng máy tính, hãy tính giá trị của B khi $x=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$

$P(1)=6027 ,P(-1)=2009 ,P(-2)=6030 =>a+b+c=6027 , a-b+c=2009, 4a-2b+c=6030 => gọi đa thức cần tìm là ax^2+bx+c thì P(X)=2010x^2+2009x+2008$

cảm ơn bạn, cách làm rất hay

tìm đa thức bậc hai P(x) biết rằng P(x) chia cho các đa thức (x-1) ; (x+1) ; (x+2) có số dư lần lượt là 6027, 2009, 6030

tìm x, y thỏa mãn $2(x\sqrt{y-4}+y\sqrt{x-4})=xy$

tìm min và max của N=2x+3y-4z biết rằng x, y, z lớn hơn 0 , 2x+y+3z=6 và 3x+4y-3z=4

Bài này mình nghĩ đơn giản chỉ cần quy về một biến x và giải thôi.

nhưng mình thấy nếu làm thế thì sẽ tính ra kết quả của N, không tìm được cực trị

tìm min và max của biểu thức B=x+y+z , biết rằng x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện $y^{2}+yz+z^{2}=1-\frac{3x^{2}}{2}$

Tìm min của biểu thức sau: $T=x^{4}-8xy-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4}+2001$

tìm min của biểu thức sau: $I=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-2xy+2xz-2x-2y-8z+2000$

 

Lời giải.

Đặt $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x+ay+5 \right )^{2}$.

Xét hệ: $$\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ 2x+ay=-5 \end{matrix}\right.$$

Nếu $a\neq -4$ thì hệ luôn có nghiệm $\left ( x;y \right )$ và $\min A=0$.

Nếu $a=-4$ thì $A=\left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left [ \left ( x-2y+1 \right )^{2}+\left ( 2x-4y+5 \right )^{2} \right ]\left [ 2^{2}+\left ( -1 \right )^{2} \right ]\geq \left ( 2x-4y+2-2x-4y-5 \right )^{2}=9$$

$$\Rightarrow A\geq \dfrac{9}{5}$$

Vậy $\min A=\dfrac{9}{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $x-2y+1=-4x+8y-10\Leftrightarrow 5x-10y+11=0$.

Ở đây dấu bằng xảy ra tại vô số cặp $\left ( x;y \right )$ thỏa mãn $5x-10y+11=0$ ví dụ $\left ( x;y \right )=\left ( -\dfrac{1}{5};1 \right )$.

 

CẢM ƠN RẤT NHIỀU!

Tìm min của biểu thức sau: $(x-2y+1)^{2}+(2x+ay+5)^{2}$ với a là hằng số

cho x, y, z lớn hơn 0 thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3$

Tìm Min của $P=\frac{x\sqrt{x}}{x+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+x}$

cho $x^{3}+y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4=0$ và $xy> 0$ . tìm min của $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. tìm min của $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$

Tìm max của biểu thức sau: $D=\frac{6-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x+3}}$

cho a+b=c+d=1000. tìm max $\frac{a}{c}+\frac{b}{d}$

cho hệ phương trình sau:

                               $\left\{\begin{matrix} mx+4y=9\\ x+my=8 \end{matrix}\right.$

tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn:

                               $2x+y+\frac{38}{m^{2}-24}=3$

tìm m nguyên để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất thuộc Z:

$\left\{\begin{matrix} mx+2y=m+1\\ 2x+my=2m-1 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

                                                   $x^{3}-k(x+1)+1=0$

Tìm $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm thuộc $(\frac{-\pi }{2}; 0)$ :

$sin^3x+(2m+1)sin^2x.cosx+(3m-1)sinx.cos^3x=0$

tìm  các số nguyên x, y thỏa mãn:

$y^{2}+2xy-7x-12=0$

cho x, y lớn hơn 0 thỏa mãn $ x+y\leq 1$. tìm min của $M=xy+\frac{9}{xy}$

bài này khó quá, cao thủ nào chỉ giáo cho tôi với

cho a, b, c thỏa mãn $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}=3abc$. tìm min $P=3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6}{b}+\frac{4}{c}$