4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ)   :   $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$

Bài toán: Có thùng chứa tổng cộng 50 lít dầu. Thùng thứ nhất chưa hơn thùng thứ hai 10 lít. Nếu lấy 26 lít dầu thùng thứ nhất đổ sang  thùng thứ ba thì lượng dầu trong thù thứ hai và thứ ba bằng nhau. Tính lượng dầu ban đầu trong thùng thứ nhất và thứ hai.

Đề  như nào giải như thế thôi

Gọi số lít dầu ở 3 thùng lần lượt là x;y;z. Từ bài ra ta đưa về hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x=10+y & \\ z+26=y& \\ x+y+z=50& \end{matrix}\right.$

Giải phương trình trên là ra

C2:

$(\frac{h_{a}}{h_{b}})^{2}+(\frac{h_{a}}{h_{c}})^{2}=1\Rightarrow (\frac{b}{a})^{2}+(\frac{c}{a})^{2}=1\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ nên tam giác này vuông

C1:

Từ câu 2 ta có $(\frac{12}{15})^{2}+(\frac{12}{20})^{2}=1$ nên tam giác này vuông

Giải như sau:

Gọi$x_{0}$ là nghiệm chung của x^2+ax+1=0 và x^2+bx+c=0

     $x_{2}$ là nghiệm chung của x^2+x+a=0 và x^2+cx+b=0

Ta có $x_{0}^2+ax_{0}+1=x_{0}^2+bx_{0}+c=>x_{0}=\frac{c-1}{a-b}$

=>Nghiệm còn lại:$x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Tương tự có nghiệm của pt:x^2+x+a=0 là $x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$

=>x^2+ax+1=0 và x^2+x+a=0 có nghiệm chung

Thay vào ta có: (a-1)($x_{1}-1$)=0

=>Đến đây thì dễ rồi: kết quả a+b+c=-3  

lúc nãy ghi đề sai làm k ra

P/s: bạn làm y chang đáp án

Giả sử a,b,c là các số thực, $a\neq b$ sao cho hai phương trình $x^{2}+ax+1=0$, $x^{2}+bx+c=0$ có nghiệm chung và hai phương trình $x^{2}+x+a=0$, $x^{2}+cx+b=0$  có nghiệm chung. Tính $a+b+c$

Ý tưởng: $\left\{\begin{matrix} c^{2}=a^{2}+b^{2} \\ \frac{ab}{2}=a+b+c \end{matrix}\right.$

Với $c$ là độ dài canh huyền còn $a;b$ là 2 cạch góc vuông.

vẫn chả giải ra

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2} & & \\ \ \frac{ab}{2}=a+b+c& & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow ab=2(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})\Leftrightarrow ab-2a-2b=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+4a^{2}+4b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=4a^{2}+4b^{2}\Leftrightarrow ab-4a-4b+8=0\Leftrightarrow (a-4)(b-4)=8$

Đến đây bạn phân tích 8=1.8=2.4 rồi giả sử a<b thì giải ra thôi

xét n>2   $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ ( mod 3 ) suy ra n lẻ. 

$n= 2k+1\Rightarrow 3^{n}=3^{2k+1}=9^{k}.3=(8+1)^{k}.3\equiv 3$ ( mod 8 )

Mà $n\geq 3\Rightarrow (2^{n}+4^{n})\vdots 8$ do đó $2^{n}+3^{n}+4^{n}\equiv 3$ ( mod 8 ) mọi n>2

suy ra n<2 

Theo mình thì
n lẻ => n=2k+1 =>3^n=3^(2k+1)=3.9^k=3.(8+1)^k=3.BS(8) +3=>3^n chia 8 dư 3 mà 2^n+4^n chia hết cho 8(vì n>=3)=>2^n+3^n+4^n chia 8 dư 3 nên k phải là số cp

sao biết n lẻ vậy bạn

$-1\leq a\leq 3\Rightarrow (a+1)(a-3)\leq 0\Leftrightarrow a^{2}-2a-3\leq 0$

Tương tự ta có $b^{2}-2b-3\leq 0$ $c^{2}-2c-3\leqslant 0$

Cộng vế theo vế ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(a+b+c)-9\leq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 9+2.1=11$

Vậy max A=11 <=>$\left\{\begin{matrix} a=-1 & & \\ b=-1 & & \\ c=3& & \end{matrix}\right.$(giả sử $c\geq a\geq b$)

Nhận thấy $x \geq 0$

Áp dụng bđt Cauchy ta có $x+1 \geq 2\sqrt{x}$

$\rightarrow P=\frac{\sqrt{x}}{x+1} \leq \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$

Dấu '=' xảy ra khi $x=1$

Hoặc

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x+1}\geq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi x=1

 UCLN(m;n)=150 =>m=150k₁ ; n=150k₂    ( k₁;k₂   thuộc N*)        (1)

 BCNN(m;n)=1800=>m=1800/q₁;       n=1800/q₂ (q₁;q_{2 thuộc} N*)       (2)

 Từ (1) và (2) =>    150k₁=1800/q_{1 ;}   150k₂=1800/q₂

                              => k₁q₁=12

                                    k₂q₂=12 

Giải phương trình nghiệm nguyên tìm được k, q thay vô là xong

$A=\frac{\frac{2}{3}(3x^{2}+6x+9)+12x^{2}-12x+3}{3x^{2}+6x+9}=\frac{2}{3}+\frac{12(x-\frac{1}{2})^{2}}{3x^{2}+6x+9}$

$\frac{(x+2)(x+8)}{x}=\frac{x^{2}+10x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+10\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}+10=18$

Min=18 khi x=4

Con Đình

Giả sư $2\leq c\leq b\leq a$

$abc< ab+ac+bc\Rightarrow 1< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c= 2$

Do đó

$1< \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq \frac{2}{b}\Rightarrow b< 4\Rightarrow b= 2,3$

Nếu b=3 $\frac{1}{2}< \frac{1}{3}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{1}{a}\Rightarrow a< 6\Rightarrow a=2,3,5$

Nếu b=2 thì a nhận mọi số nguyên tố

$2^{n}+3^{n}+4^{n}=(3-1)^{n}+3^{n}+(3+1)^{n}\equiv (-1)^{n}+1$ (mod 3)

Vì T chính phương nên T chia 3 dư 0 hoặc 1.

Nếu n =2k => T chia 3 dư 2 (loại) do đó n=2k+1( T chia 3 dư 1)

Với n $\geq$ 3thì$2^{n}+3^{n}+4^{n}=2^{2k+1}+3^{2k+1}+4^{2k+1}=4^{k}.2+9^{k}.3+16^{k}.4=4^{k}+(8+1)^{k}+16^{k}.4\equiv 3$ (mod 8)

T chính phương => T chia 8 dư (0;1;4) do đó n<3

Giải n=(0;1;2)

Áp dụng hệ thức Viet : $x_1+x_2=\frac{-b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$ 
$\Rightarrow P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}=\frac{(1-\frac{b}{a})(2-\frac{c}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}=\frac{(1+x_1+x_2)(2-x_1x_2)}{1+x_2+x_1+x_1x_2}$ 
$\Leftrightarrow P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1}=2-\frac{3x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1x_2+x_1+x_2+1} \le 2$ 
Dấu $=$ xảy ra khi $x_1x_2=0 \Leftrightarrow c=0$ 
Ta lại có $P=\frac{2+2(x_1+x_2)-x_1x_2-x_1x_2(x_1+x_2)}{x_1+x_2+x_1x_2+1} \ge \frac{2+4x_1x_2-x_1x_2-2x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}$ (do $0 \le x_1,x_2 \le 1$) 
Lại có vì $0 \le x_1,x_2 \le 1 \Rightarrow x_1+x_2 \ge x_1^2+x_2^2 \ge 2x_1x_2$ 
Mà $x_1+x_2 \le 2 \Rightarrow -x_1x_2(x_1+x_2) \ge -2x_1x_2$
$P \ge \frac{2+x_1x_2}{1+x_1+x_2+x_1x_2}=\frac{8+4x_1x_2}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{(3-x_1)(3-x_2)+(x_1+x_2+x_1x_2)-1}{4(x_1+x_2+x_1x_2+1)}$ 
$\Leftrightarrow P \ge \frac{4-1+3(x_1x_2+x_1+x_2)}{4(x_1x_2+x_1+x_2+1)} \ge \frac{3}{4}$ 

Dấu $=$ xảy ra khi $x_1=x_2 \Rightarrow a=c=\frac{-b}{2}$  

?????

$x^{4}+ax^{2}+bx+c=(x+k)(x-3)^{3}$ khai trien ra dong nhat he so tinh dc a,b,c theo k lai co 9a+3b+c+81=0 thay vao giai k

$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{9}{4}x(1-x^{2})\geq \frac{3}{2}x$ .......

$\Rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \sum \frac{9}{4}x^{3}+\frac{3}{4}x\geq \sum \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(xy+yz+xz)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài 4a: Phân tích được =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết 120

kết quả A=-1/xy dùng cô si cho xy là ra

bạn rút gọn bình thường là ra mà chỗ nào có x+y thay bằng 1