Giải pt $\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{10}{9}$

Ngoài các cách quy đồng mẫu hoặc biến đổi vế trái với dạng $a^2+b^2$ thành $(a+b)^2-2ab$ rồi đặt ẩn phụ thì các bạn còn cách nào khác nữa không?

ĐK: $x \not = \pm 1$

$\iff (\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{x}{x+1})^2-\dfrac{2x^2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{10}{9}$

$\iff (\dfrac{2x^2}{x^2-1})^2-\dfrac{2x^2}{x^2-1}=\dfrac{10}{9}$

Đặt $\dfrac{2x^2}{x^2-1}=a$, thay vào ta có:

$a^2-a-\dfrac{10}{9}=0$

Đến đây chỉ cần giải nghiệm

Giải PT:

$x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Giải hệ phương trình:

 

Hình gửi kèm:

         

Đặt $\sqrt{2x+1}=a \rightarrow 2x=a^2-1$

Thay vào ta có:

$(1) \iff a+y^2(a+\dfrac{3}{y})=5y^3-(a^2-1)(3y+a)$

$\iff a^3+y^2a+3a^2y-5y^3=0$

$\iff (a-b)(a^2+4ay+5y^2)=0$

$\iff a=b$

$\iff y^2=2x+1$

Đến đây c thế xuống pt (2) ... 

@@ cậu full luôn đc ko, tớ bị ngu phần này 

Phương trình sau khi chuyển xuống pt (2)

$\iff 3x-5+(9+x)\sqrt{x}-(x+3)\sqrt{x+3}=0$

$\iff 2(x-1)+\dfrac{(9+x)(x-1)}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{(x+3)(x-1)}{\sqrt{x+3}+2}=0$

$\iff x=1$     v    $2+\dfrac{9+x}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x+3}+2}=0$

Ta sẽ cm phần sau vô nghiệm, đặt $\sqrt{x}=a \rightarrow \sqrt{x+3}=\sqrt{a^2+3}$

Quy đồng lên ta sẽ được: $\sqrt{a^2+3}(a^2+2a+11)-a^3+a^2+a+19=0$

$\iff (\sqrt{a^2+3}-a)(a^2+2a+11)+3a^2+12a+19=0$

$\iff \dfrac{3(a^2+2a+11)}{\sqrt{a^2+3}+a}+3a^2+12a+19=0$ (vô nghiệm)

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=1$

Gọi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh một tam giác nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực $x,y,z$ ta luôn có:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.$

Bạn tham khảo  Ở đây

Giải bất phương trình: $\sqrt{x^{2}-1}> x+\frac{1}{2}$

ĐK: $x \geq 1$    v     $x \leq -1$

Xét 2 TH:

+TH1: $x+\dfrac{1}{2} <0 \iff x < \dfrac{-1}{2}$. Khi đó bpt luôn đúng

Vậy $x \leq -1$

+TH2: $x+\dfrac{1}{2} \geq 0 \iff x \geq \dfrac{-1}{2}$. hay $x \geq 1$, khi đó bpt tương đương với:

$x^2-1 > x^2+x+\dfrac{1}{4}$

$\iff x+\dfrac{5}{4} < 0$

$\iff x < \dfrac{-5}{4}$ (vô lí)

Vậy $x \leq -1$

TIm a,b biet $\left\{\begin{matrix}a+b+ab=2+3\sqrt{2} \\ a^2+b^2=6 \end{matrix}\right.$

$(2)+2(1) \iff a^2+b^2+2ab+2(a+b)=10+6\sqrt{2}$

$\iff (a+b)^2+2(a+b)-10-6\sqrt{2}=0$

$\iff \left[\begin{matrix} a+b=2+\sqrt{2} \\ a+b=-4-\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Đến đây bạn rút $a$ theo $b$ rồi thế vào 1 trong 2 pt để giải tiếp...

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c+2$\sqrt{abc}$=1
Tính A=$\sqrt{a(1-b)(1-c)}+\sqrt{b(1-c)(1-a)}+\sqrt{c(1-a)(1-b)}-\sqrt{abc}+2015$

Ta có: $1-b-c=a+2\sqrt{abc}$

$\Longrightarrow \sqrt{a(1-b)(1-c)}=\sqrt{a(1-b-c+bc)}=\sqrt{a(a+2\sqrt{abc}+bc)}=\sqrt{a^2+2a\sqrt{abc}+abc}=\sqrt{(a+\sqrt{abc})^2}=a+\sqrt{abc}$

TT: $\sqrt{b(1-a)(1-c)}=b+\sqrt{abc}; \sqrt{c(1-a)(1-b)}=c+\sqrt{abc}$

$A=a+\sqrt{abc}+b+\sqrt{abc}+c+\sqrt{abc}-\sqrt{abc}+2015=a+b+c+2\sqrt{abc}-2015=1-2015=-2014$

 

Giải hệ:

$ \left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9  & \\ x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right. $

$PT(1) \iff (x^2+xy)^2=2x+9 \iff (2x^2+2xy)^2=8x+36 \ (3)$

$PT(2) \iff 2(x^2+xy)=x^2+6x+6$

Thay vào (3) ta có: $(x^2+6x+6)^2=8x+36$

$\iff (x^2+6x)(x^2+6x+12)=8x$

$\iff x(x+6)(x^2+6x+12)=8x$

$\iff x=0$ hoặc $(x+6)(x^2+6x+12)=8$

Đến đây bạn có thể phá ngoặc và giải pt bậc 3 bình thường

Cho x,y>o và $x+y\leq 1$ Tìm GTNN của biểu thức: $B=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy$

$B=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+(4xy+\dfrac{1}{4xy})+\dfrac{5}{4xy} \geq \dfrac{4}{(x+y)^2}+2+\dfrac{5}{(x+y)^2} \geq 11$

$Min=11 \iff x=y=\dfrac{1}{2}$

Giải PT : $ \frac{x+1}{x-2}=\sqrt{x-4} $

Bài này thì chỉ còn cách chuyển vế và bình phương thôi.

ĐK: $x \not =2; x \geq 4$

Ta có: $\iff x+1=(x-2)\sqrt{x-4}$

$\iff x^2+2x+1=(x-2)^2(x-4)$

$\iff x^3-9x^2+18x-17=0$

Đến đây chỉ còn cách là dùng phương trình cac-da-no thôi!

p/s: liệu đề bài này có vấn đề gì không nhỉ? 

Giaỉ $2x=\sqrt[3]{7+\sqrt[3]{\frac{x+7}{8}}}$

Đặt $\sqrt[3]{\dfrac{7+x}{8}}=a \iff x+7=8a^3$

Thay vào pt ta có: $8x^3=a+7$

Từ đó ta có hệ: $\begin{cases} &  8x^3=a+7 \\  &  8a^3=x+7 \end{cases}$

Trừ vế cho vế ta có: $x=a \iff x=\sqrt[3]{\dfrac{7+x}{8}}$

Đến đây chỉ cần lập phương là giải đc.

tìm tất cả các giá trị x,y thoả hệ $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}\leq 1& \\ x^{5}+y^{3}\geq 1& \end{matrix}\right.$

$x^4+y^2 \leq 1 \rightarrow x^4\leq 1 \rightarrow -1\leq x \leq 1 \rightarrow x^4 \geq x^5$

TT: $y^2 \leq 1 \rightarrow y^2 \geq y^3 \rightarrow x^4+y^2 \geq x^5+y^3 \rightarrow x^5+y^3 \leq 1$ 

Vậy để t/m hệ thì dấu "=" phải xảy ra $\rightarrow x^4=x^5; y^2=y^3; x^4+y^2=1 \rightarrow (x,y)=(1,0)=(0,1)$

 

Bài toán:

   **Cho $a,b>0$ thỏa mãn $(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b})\geq 9.$

Tìm min: 

             $M=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}$

 

$(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b}) \geq 9$

$\iff 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

$\rightarrow \dfrac{a+b}{2} +2\sqrt{2(a+b)} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

$\rightarrow (\sqrt{a+b}-\sqrt{2})(\sqrt{a+b}+5\sqrt{2}) \geq 0 \rightarrow a+b \geq 2$

Ta có: $M=\sum \dfrac{a^3}{a^2+2b^2}=\sum [a-\dfrac{2ab^2}{a^2+b^2+b^2}] \geq \sum [a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}]$

$=\sum [a-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}] \geq \sum [a-\dfrac{2}{9}(a+b+b)] =\dfrac{1}{3}(a+b) \geq \dfrac{2}{3}$

Vậy $Min=\dfrac{2}{3} \iff a=b=1$

Giai $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2} & & \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $y \geq 0; x \geq 1$

$(1) \iff (x+y)(x-2y-1)=0$

Với $x=-y$, vô lí vì ($x,y$ cùng dấu lớn hơn 0)

Với $x=2y+1$, thay vào ta có: $(2y+1)\sqrt{y}-y\sqrt{2y}=2y+2$

$\iff 2y\sqrt{2y}=2y+2$

Đặt $\sqrt{2y}=a$, thay vào ta có: $a^3-a^2-2=0$

Đến đây là xong rồi

Giải các phương trình sau: 

 

b) $(x^{2}-x+1)^{4}+5x^{4}=6x^{2}(x^{2}-x+1)^{2}$

 

Đặt $(x^2+x+1)^2=a;x^2=b$ Thay vào ta có:

$<=> a^2+5b^2=6ab$

$<=> (a-b)(a-5b)=0$

$<=> a=b$ v $a=5b$ 

+$a=b => (x^2-x+1)^2=x^2 => (x^2-2x+1)(x^2+1)=0 => x=1$

+$a=5b => (x^2-x+1)^2=5x^2$.......

Cho a,b,c là số thực dương

Chứng minh

$(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq\frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

Bài 3: http://diendantoanho...ac32sumfracbca/

giai he $\left\{\begin{matrix} \sqrt{8-xy^2.(xy^2+2)}=x^6+x^3y^3+\frac{1}{2}& & \\ -\sqrt{x^2+y^2+2(xy+2)}=y^6+x^3y^3+\frac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế ta có:

$\sqrt{8-xy^2(xy^2+2)}-\sqrt{x^2+y^2+2(xy+2)}=x^6+2x^3y^3+y^6+1$

$\iff \sqrt{9-(xy^2+1)^2}-\sqrt{(x+y)^2+4}=(x^3+y^3)^2+1$

Ta có:  $\sqrt{9-(xy^2+1)}-\sqrt{(x+y)^2+4} \leq 3-2=1$

Mà $VP \geq 1$

Dấu bằng có khi: $x=-y$ và $xy^2+1=0$

Vậy $x=-1; y=1$

Giải pt: 

$(2-x)\sqrt{x+1}+x^2-x+1=0$

Giải phương trình: $x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=11$

ĐK: $x \not =-5$

$\iff (x-\dfrac{5x}{x+5})^2+\dfrac{10x^2}{x+5}-11=0$

$\iff (\dfrac{x^2}{x+5})^2+\dfrac{10x^2}{x+5}-11=0$

$\iff a^2+10a-11=0$

...

Giải pt:

$\begin{cases} &  x^2=y+1 \\  &  y^2=z+1 \\  &  z^2=x+1 \end{cases}$

 

Giải các phương trình :

$1)(2x+1)\sqrt{x^2+3}=3x^2+2x+1$

 

Bình phương 2 vế lên với ĐK: $x \geq \dfrac{-1}{2}$

$\iff 5x^4+8x^3-3x^2-8x-2=0$

$\iff (x-1)(x+1)(5x^2+8x+2)=0$

Đến đây ra rồi...

 

Giải các phương trình :

$2)\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+6}$

 

ĐK: $2x^2-1 \geq 0$; $x^2-3x+2 \geq 0$; $x^2-x+6 \geq 0$

Ta có: $\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+6}$

$\iff (\sqrt{2x^2+2x+3}-\sqrt{2x^2-1})+(\sqrt{x^2-x+6}-\sqrt{x^2-3x+2})=0$

$\iff \dfrac{2x+4}{\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{2x^2-1}}+\dfrac{2x+4}{\sqrt{x^2-x+6}+\sqrt{x^2-3x+2}}=0$

$\iff x=-2$ (vì phần trong ngoặc dương)

...

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2xy+x-2y+3=0\\ y^{2}-x^{2}+2xy+2x-2=0 \end{matrix}\right.$

$2PT(1)+PT(2) \iff x^2-2xy+y^2+4x-4y+4=0$

$\iff (x-y)^2+4(x-y)+4=0$

$\iff (x-y-2)^2=0$

$\iff x=2+y$

Đến đây thay vào một trong phương trình rồi giải tiếp

Giaỉ $\sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\sqrt{x+4}+\sqrt{x+9}=0$

ĐK: $x \geq 0$

PT $\iff \sqrt{x}+\sqrt{x+9}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x+4}$

$\iff 2x+9+2\sqrt{x^2+9x}=2x+5+2\sqrt{x^2+5x+4}$

$\iff 4+2\sqrt{x^2+9x}=2\sqrt{x^2+5x+4}$

$\iff 2+\sqrt{x^2+9x}=\sqrt{x^2+5x+4}$

$\iff 4+x^2+9x+4\sqrt{x^2+9x}=x^2+5x+4$

$\iff 4\sqrt{x^2+9x}=-4x$

Đến đây chỉ cần bình phương lên là ra kết quả...