Posted by
1. Ta có $p>3$ suy ra $p^{3} \equiv 1 (\mod 3) \Rightarrow 2017-p^{2} \equiv 0 (\mod 3)$ $(1)$
Lại có $p$ lẻ nên $p^{2} \equiv 1 (\mod 8) \Rightarrow 2017 - p^{2} \equiv 2016 \equiv 0 (\mod 8) \Rightarrow 8\mid 2017-p^{2}$ $(2)$
Từ $(1)(2)$ ta có $24=8.3 \mid 2017-p^{2}$
2. Giả sử $x\geq y$
Xuất phát từ BĐT quen thuộc $x^{3}+y^{3} \geq 3xy(x+y)$ thì ta có $x^{3}+y^{3}=9xy\geq 3xy(x+y)$
Suy ra $3\geq x+y$ mà $x;y \in \mathbb{N*}$ suy ra $x+y=2;3$
Xét $x+y=2 \Rightarrow x=y=1$ (Không thỏa mãn)
Xét $x+y=3 \Rightarrow x=2;y=1$ (Không thỏa mãn).
Vậy không có cặp $(x;y)$ nguyên dương nào thỏa mãn đề bài.
3. Giả sử $M=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}} $ là số nguyên tố và $a\geq b$
-) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}} \not{\in} \mathbb{Q}$ thì $a+b + 2\sqrt{ab+c^{2}}$ là số vô tỉ (Mâu thuẫn).
-) Nếu $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Q}$ mà $ab+c^{2} \in \mathbb{N}$ nên $\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{N} \Rightarrow a+b -2\sqrt{ab+c^{2}} \in \mathbb{Z}$ và $M \in \mathbb{N}$
Ta có $M=a+b+2\sqrt{ab+c^{2}} = \frac{(a+b)^{2}- 4(ab+c^{2})}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
$= \frac{(a-b)^{2}-4c^{2}}{a+b - 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
$= \frac{(a-b-2c)(a-b+2c)}{a+b- 2\sqrt{ab+c^{2}}}$
Đặt $a-b-2c=x , a-b+2c = y , a+b-2\sqrt{ab+c^{2}}= z$ $(x;y;z \in \mathbb{Z})$
Suy ra $M=\frac{xy}{z}$
Vì $M\in \mathbb{Z}$ nên tồn tại 2 số nguyên $k,k' \in \mathbb{Z}$ sao cho $z=k.k'$ và $x\vdots k, y\vdots k'$
Suy ra $x=k.p; y=k'q$ $(p,q\in \mathbb{Z})$ suy ra $M= p.q$
+) Xét $p=1$ thì $x=k \Rightarrow z\vdots x$
Giải sai ý 2 rồi ông ơi quen thuộc không có số 3 đâu. xy( x + y) thôi.
