Mình xin giải nốt bài 5,
Có:$3(x^{2}-x+1)^{2}-2(x+1)^{2}=5(x^{3}+1)$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}-x+1)-2(x+1)^{2}=5(x+1)(x^{2}-x+1)$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1-2(x+1))(3(x^{2}-x+1)+x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-3x-1)(3x^{2}-2x+4)=0$
Đến đây các bạn giải tiếp nha

Anh đang post mà máy bị "cháy chip" luôn rồi . Tủi chứ sao không. Anh đâu có học chuyên Toán đâu mà bảo người yêu anh cũng chuyên Toán. Mà nói gì thì nói, anh chưa có girl friend. .

Sao anh post bài thì không sao mà post ảnh thì cháy hả. Em đợi nãy giờ. Bực mình lắm rùi đó.

Thấy $x^{2n}\geq 0\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx$
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\geq \frac{1}{2}$ (Vế 1 được cm) Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vì$ n\in \mathbb{N}*$,$ x\in [0;\frac{1}{2}]$
$\Rightarrow x^{2n}\leq x^{2} $
$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}dx\leq \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Tính $ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$
Đặt x=sint $\Rightarrow dx=costdt$
Đổi cận $x\in [0;\frac{1}{2}]\Rightarrow t\in [0;\frac{\Pi }{6}]$
Khi đó: $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^{2}t}}dx= \int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}dt=\frac{\Pi }{6}$ (Vế 2 được cm)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow n=1$

Đặt $y=\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} $ với $x\in \begin{bmatrix} -7;11\end{bmatrix}$
Có $ y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+7}}-\dfrac{1}{2\sqrt{11-x}}$
Nên $ y'=0\Leftrightarrow \sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}\Leftrightarrow x=2$ và y' không xác định tại x=-7 và x=-11
Vẽ BBT có $\sqrt{18}\leq y\leq 6$
$\Rightarrow \int_{-7}^{11}\sqrt{18}dx\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq \int_{-7}^{11}6dx$
$\Leftrightarrow 54\sqrt{2}\leq \int_{-7}^{11}(\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x})dx\leq 108 $ (Đ.P.C.M)
Đẳng thức xảy ra khi $x\in (-7;2;11)$
p/s: Em không biết vẽ BBT. Anh Thành vẽ giúp em ha. Thanks anh.

Quên mất topic này. Không thể để nó chết thế này được.
Xin góp một bài cho anh Thành.
Bài 6 (ĐHQG HN KA-96):
Chứng minh rằng: $\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{2+x+x^{2}}< \dfrac{\Pi }{8}$

Đáp án câu con ma Đập con ma xanh trước là 1, con ma đỏ thấy thế sợ quá, mặt mày tái mét (chuyển sang xanh).Đập con ma xanh mới này nữa là đủ 2. =))
Tiếp
Cái gì của chồng mà vợ thích cầm nhất (không nghĩ lung tung)?
______
Bỏ ngoài nướng trong, ăn ngoài bỏ trong là gì?

Câu 1 là cái tay, tiếp là củ khoai. Cuối cùng là cái ngô thì phải. hihi

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.

Đúng rồi. Bị gián đoạn mà không để ý. Hix. Buồn ghê.

1) $x^2 + 2ax +\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^2+x -\frac{1}{16}}$ với $a\epsilon \left ( 0;\frac{1}{4} \right )$

1, Có $x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (a^{2}+2ax+x^{2})-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(a+x)=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
$\Leftrightarrow (x+a)^{2}-(a^{2}+x-\frac{1}{16})+(x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=0$
$\Leftrightarrow ((x+a)-\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}})((x+a)+\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}+1)=0$
Th1:$x+a=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}$
Đk: $x\geq -a$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a-1)+\frac{1}{16}=0$
$\Leftrightarrow x=...$
Th2:$\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}=-x-a-1$
Đk: $x\leq -a-1$
$\Rightarrow x^{2}+x(2a+1)+2a+\frac{17}{16}=0$
$\Rightarrow x=...$

Bài 86:
Đk:$ \frac{1}{5}\leq x\leq \frac{5}{2}$
Có $(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12.\sqrt{5x-1}.\sqrt{5-2x}=18+32$ (1)
Đặt $\sqrt{5x-1}=a$ ($a\geq 0$)
$\sqrt{5-2x}=b$ ($b\geq 0$)
$\Rightarrow 2a^{2}+5b^{2}=23$ (2)
Và $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow (a^{2}+3b^{2}+12)a-(3a^{2}+b^{2}+12)b+ab=6a^{2}+6b^{2}+8$
$\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3})-6(a^{2}-12ab+b^{2})+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^{3}-6(a-b)^{2}+12(a-b)-8=0$
$\Leftrightarrow (a-b-2)^{3}=0$
$\Rightarrow a=b+2$
Theo (2) có $2a^{2}+5b^{2}=23$
$\Rightarrow 2(b+2)^{2}+5b^{2}-23=0 ....$

Bài 75:
Đk: ....$0< x\leq \frac{a}{b}$
Có $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a-bx}{cx}}-1=\frac{(b+c)x+x^{2}}{a+x^{2}}-1$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{a-bx}{cx}-1}{\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}=\frac{(b+c)x+x^{2}-a-x^{2}}{a+x^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{a-(b+c)x}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1)}+\frac{a-(b+c)x}{a+x^{2}}=0$
Vì $\frac{1}{cx(\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}+1}+\frac{1}{a+x^{2}}>$ 0 với $a, b, c> 0$ và $0< x\leq \frac{a}{b}$ $\Rightarrow x= \frac{a}{b+c}$

Bài 52:Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn
$\dfrac{1}{1+ a^{4} }+\dfrac{1}{1+ b^{4} }+\dfrac{1}{1+ c^{4} }+\dfrac{1}{1+ d^{4} }=1$
Chứng minh abcd $\geq 3$

ta có: $\dfrac{1}{1+a^{4}}+\dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}+\dfrac{1}{1+d^{4}}=1$
suy ra:
$\dfrac{1}{1+a^{4}}+ \dfrac{1}{1+b^{4}}+\dfrac{1}{1+c^{4}}= \dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}$
ÁP DỤNG CO_SI :
$\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}$
tương tự có:
$\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{b^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
nhân vế với vế 3 bất phương trình được:
$\dfrac{a^{4}}{1+a^{4}}.\dfrac{b^{4}}{1+b^{4}}.\dfrac{c^{4}}{1+c^{4}}.\dfrac{d^{4}}{1+d^{4}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+c^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a^{4}).(1+b^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}.\dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+b^{4}).(1+c^{4}).(1+d^{4})}}$
vậy: abcd 3 ĐPCM
dấu "=" khi $a = b = c = d = \sqrt[4]{3}$

@vietfrog: Bạn trình bày cẩn thận hơn nhé. Nhiều lỗi trình bày lắm đó!

BÀi 94:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ca}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

Giả sử: $(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=8$
$\Rightarrow abc\leq 1\Rightarrow \dfrac{1}{abc}\geq 1$
BDT cần chứng minh tương đương với:
$(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})\geq 8$
Có: $(a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c})$
$\geq (a+\dfrac{bc}{a})(b+\dfrac{ac}{b})(c+\dfrac{ab}{c}).\dfrac{1}{abc}$
Áp dụng BDT Holder có: $\geq (\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ac}{b}.\dfrac{ab}{c}})^{3}.\dfrac{1}{abc}$ $=\dfrac{(2\sqrt[3]{abc})^{3}}{abc}=8$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 163: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\geq \frac{3}{2}$$

Có:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}$
$=\frac{a^{4}}{b^{2}a+ac}+\frac{b^{4}}{c^{2}b+ab}+\frac{c^{4}}{a^{2}c+bc}$
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{b^{2}a+c^{2}b+a^{2}c+ca+ab+bc} $
$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{2}+\frac{c^{2}b^{2}+c^{2}}{2}+\frac{a^{2}c^{2}+a^{2}}{2}+ca+ab+bc}$
$= \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b^{2}+c^{2}b^{2}+a^{2}c^{2})+(a+b+c)^{2}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+\frac{(a+b+c)^{4}}{9}}$
$\geq \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\geq \frac{3}{2}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 97:
Bđt đã cho tương đương với:
$\frac{a^{2}+1}{lna}> \frac{b^{2}+1}{lnb}$
Xét hàm $f(x)=\frac{x^{2}+1}{lnx}$ với $x\in (0;1)$
Có $f'(x)=\frac{2x.lnx-\frac{1}{x}.(x^{2}+1)}{ln^{2}x}=\frac{x^{2}.(2.lnx-1)-1}{x.ln^{2}x}< 0$ với $\forall x\in (0;1)$
$\Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến.
Vì $0< a< b< 1\Rightarrow f(a)> f(b)$ (Đ.P.C.M)

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$$T=\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}$$
Bài này là đề thi Olympic Canada 2008 nhưng cũng được lấy làm đề thi thử đại học của một số trường các bạn làm thử

Có: $T=\dfrac{a-bc}{a+bc}+\dfrac{b-ac}{b+ac}+\dfrac{c-ba}{c+ba}$
$=3-2(\dfrac{bc}{a+bc}+\dfrac{ac}{b+ac}+\dfrac{ba}{c+ba})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc(a+b+c)+(ab+bc+ca)^{2}-2(a^{2}bc+ab^{2}c)+abc^{2})})$
$=3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab.ac+ab.bc+ac.bc+(ab+bc+ca)^{2}})$
$\leq 3-2(\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}+(ab+bc+ca)^{2}}) =\dfrac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài 33: Đại học, cao đẳng khối A năm 2009
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$, ta có:
$(x+y)^{3}+(y+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z)\leq 5(y+z)^{3}$

Bài 34: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

tiếp nhé:
Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=(4x^{2}+3y)(4y^{2}+3z)+25xy$
(Đại học khối D năm 2009)

ak. Bài của Đạt phải đặt b=z+x nhé.

Cho $[TEX]a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=1$ chứng minh:
$\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}\geq\dfrac{33}{8}$

Có $\dfrac{2a^{2}+1}{(a+b)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(b+c)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(c+a)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{(1-c)(c+1)}+\dfrac{2b^{2}+1}{(1-a)(a+1)}+\dfrac{2c^{2}+1}{(1-b)(b+1)}$
$=\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
Giả sử: $a\geq b\geq c\Rightarrow 1-c^{2}\geq 1-b^{2}\geq 1-a^{2}$
Áp dụng bđt Chebyshev có:
$\dfrac{2a^{2}+1}{1-c^{2}}+\dfrac{2b^{2}+1}{1-a^{2}}+\dfrac{2c^{2}+1}{1-b^{2}}$
$\geq \dfrac{1}{3}(2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3)(\dfrac{1}{1-c^{2}}+\dfrac{1}{1-a^{2}}+\dfrac{1}{1-b^{2}})$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}(a+b+c)^{2}+3)\dfrac{9}{3-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\geq \dfrac{1}{3}(\dfrac{2}{3}+3)(3-\dfrac{1}{3}(a+b+c)^{2})\geq \dfrac{33}{8}$ (Đ.P.C.M)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Cho mình 1 phiếu đi cua em Pu ha

ủa. Sao gọi chị hay vậy em?

có ai coi là con gái đâu chớ.

Câu hỏi 1 của BGK :

Theo các em ; điều kiện cần để 1 người đàn ông lấy được vợ trẻ là gì ?

( trả lời bằng tin nhắn riêng cho PSW ; ko ghi ra ở đây)

Anh PSW coppy câu này của thầy Trần Phương nha.

Bài 84 : Tặng các bạn một bài Bất đẳng thức :
Cho $ a,b,c >0 $ thỏa $ a+b+c =1 $ . Chứng minh rằng :
$ 7(a^2b+b^2c+c^2a)+33abc \leq 2 $

Có $7[ab(a+c)+bc(b+a)+ca(c+b)]+12abc
=7[ab(1-b)+bc(1-c)+ca(1-a)]+12abc
=7[(ab+bc+ca)-(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})]+12abc
\leq 7(ab+bc+ca-3abc)+12abc
=7(ab+bc+ca)-9abc$
Vì a+b+c=1
Nên $a^{2}\geq a^{2}-(b-c)^{2}=(1-2b)(1-2c)$
Tương tự:$b^{2}\geq (1-2a)(1-2c)$
$c^{2}\geq (1-2b)(1-2a)$
$\rightarrow
abc\geq (1-2a)(1-2b)(1-2c)=1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-8abc$
$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \dfrac{9abc+1}{4}$
$\Rightarrow VT\leq 7.\dfrac{9abc+1}{4}-9abc\leq 2 $( Do $abc\leq \dfrac{1}{27}$)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$