đặt (a;b)=d với d nguyên dương 

~> a=dk ; b=dt với k;t nguyên dương và (k;t) =1

~> (a²+b²)/ab = (k²+t²)/kt 

do a²+b² chia hết cho ab ~> k²+t² chia hết cho kt ~> k² chia hết cho t và t² chia hết cho k

mặt khác do (k;t)=1

~> k chia hết cho t và t chia hết cho k

~>k=t=1

~>(a²+b²)/ab = 2

lượng giác hóa nhé bạn

câu 4 bạn nhân 4 lên rồi phân tích thành tổng bình phương nha  

6.Q=(xy+1/16xy)+(9-1/16)/xy>=1/2+143/16xy

mà xy<=(x+y)²/4<=1/4~>Q>=145/4

dấu bằng có <~>x=y=1/2

1.A<=(x+y+z)³/27*(x+y+y+z+z+x)³/27=8/27²

dấu bằng có <~> x=y=z=1/3

3.C=(x²+x+1)²=[(x+1/2)²+3/4]>=9/16

dấu bằng có <~> x=-1/2

5.p=x+x+1/x²>=3

dấu bằng có <~> x=1

2. (x²+y²)/(x-y)=x-y+2xy/(x-y)=(x-y)+2/(x-y)>=2*căn2

dấu bằng bạn tự tìm nhé  cây gõ latex bị hư mình ko gõ đc

giải rõ ra bạn

dùng cosi 3 số rõ ràng mà bạn 

$\dpi{120} 1. a\geq b\geq c\rightarrow a^{5}\geq b^{5}\geq c^{5}\\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b}\\ chebyshev:\sum \frac{a^{5}}{b+c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{5})(\sum \frac{1}{b+c})\geq \frac{3}{2}\frac{\sum a^{5}}{\sum a}\geq \frac{\sum a^{4}}{3}\\ A=\sum ab^{2}\leq \sqrt{(\sum a^{2})(\sum b^{4})}\leq 3\\$

M=(x-y)²+(x+1/2)²-1/4 >= -1/4

dấu = xảy ra khi x=y=-1/2

Có thể tổng quát như sau: 

$\dpi{150} x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x(x^{3m}-1)+x^{2}(x^{3n}-1)+x^{2}+x+1\\ =\left ( x^{2}+x+1 \right )f(x)$

bài 18 em chứng minh bằng dồn biến 

$\dpi{150} a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} & & \\ \frac{1}{b+2c}\geq \frac{1}{c+2a}\geq \frac{1}{a+2b}& & \end{matrix}\right.\\chebyshev\sum \frac{a^{2}}{b+2c}\geq \frac{1}{3}(\sum a^{2})(\sum \frac{1}{b+2c})\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum a}\geq \sqrt{\frac{\sum a^{2}}{3}}=1$

Bạn ơi đặt như bạn tớ cũng làm rồi nhưng làm không ra bạn ạ. Bạn có thể giải chi tiết hơn cách này được không?

okie   đặt cây đầu tiên là a; cây thứ 2 là b

ta có a^5 + b^5 =123 và ab=1

giải hệ là đc ban 

$đặt \left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )=a \left ( \sqrt{x^{2}+1}+x \right )=b ta có a^{5}+b^{5}=123 và ab=1$

câu phương trình vô tỉ nhân liên hợp

câu hệ pt đặt x^2-x=a; y^2-2y=b đưa về hệ đối xứng loại 1

câu 3 dùng cauchy-schward dạng engel là ok 

 giải phương trình nghiệm nguyên

$y^{3}=x^{3}+x^{2}+x+1$

Với $\begin{bmatrix} x> 0 & \\ x< -1 & \end{bmatrix}$ ta có:

$x^{3}< x^{3}+x^{2}+x+1< (x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}< y^{3}< (x+1)^{3}$(KTM)

Suy ra $-1\leq x\leq 0$.Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left \{ -1;0 \right \}$

Với $x=-1$ thì $y=0$

Với $x=0$ thì $y=1$

P/s: hoilamgi bắt chước phong cách của hoilamchi à

S.O.S thì dễ nhưng mình muốn có cách giải sơ cấp hơn, cách S.O.S này phải chứng minh điều kiện của các hệ số $S_{a},S_{b},S_{c}$

Với lại đi thi họ không chấp nhận, bạn ạ 

okie :v để tớ nghĩ thêm

chắc dùng S.O.S phải ko bạn 

hình như dùng S.O.S khá đơn giản 

có thể giải câu b theo bđt AM-GM 

có thể làm như sau 

bđt <~> (1-2a)(1-2b)(1-2c) <=abc <~> 9abc +1 >= 4(ab+bc+ca)

ko mất tính tổng quát giả sử a>=b>=c~> c<= 1/3

đặt f(a,b,c)=9abc +1 - 4(ab+bc+ca) 

~> f(a,b,c) - f((a+b)/2,(a+b)/2,c)=(1-c*(9/4))(a-b)²>=0 

mà f((a+b)/2,(a+b)/2,c)=f(1-c,1-c.c)=(1/4)*c(c-(1/3))²>=0

~> f(a,b,c) >=0 ~> đpcm

dấu = xảy ra <~> a=b=c=1/3 hoặc a=b=1/2 c=0 hoặc các hoán vị  

câu b là 1 dạng thù hình của bđt schur bậc 1

(x+2y)²<=(x²+2y²)(1+2)~>A>=3

dấu bằng có <~> x=y=1