Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)
Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$
Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$
Với $x=0 \Rightarrow f(0)=0$
Với $x \neq 0$ Đặt$u=xt \Rightarrow g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(u)du}{x}=0$
$\Rightarrow \int_{0}^{x}f(u)du=0\forall u $
Do f(x) liên tục nên hàm g(x) khả vị nên Đạo hàm 2 vê ta được $ \Rightarrow g'(x)=f(x)=0 f(0)=0$
Hàm f(x) là hàm hằng $$\Rightarrow f(x)=0$$