Ta thấy trong n điểm thỏa mãn đề bài thì:

    $A_{1}$ và $A_{n}$ ko là trung điểm của đoạn thẳng nào.

    $A_{2}$ và $A_{n-1}$ là trung điểm của 1 đoan thẳng.

    ....................................................

    $A_{i}$ và $A_{n-i+1}$ là trung điểm của i-1 đoạn thẳng với mọi i= 2, 3, . . . mà $2i\leq n$

 Xét 2 TH sau:

•     Nếu n lẻ, n= 2k+1 ($k\epsilon \mathbb{N}*$) thì k< k+1=n-k<n-k+1 nên có 1 điểm chính giữa $A_{k+1}$ là trung điểm của k đoạn thẳng, do đó số đoạn thẳng nhận 1 trong các điểm đã cho làm trung điểm bằng: S= k^2 theo GT k^2=2025 => k=45 => n=91
•  Nếu n chẵn thì ta c/m dc TH này ko xảy ra. 

 Vậy n= 91.

n>6  nên phải có x>3 thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}> n & \\ \frac{n}{2}>x^{2} & \end{matrix}\right. =>(x+1)^{2}>2x^{2} <-> 2x+1-x^{2}>0$
vô lý vì x>3.
vậy k có n thỏa mãn

  Với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 6, gọi $A_{n}$ là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn n và ko nhỏ hơn $\frac{n}{2}$. Hãy tìm n sao cho trong $A_{n}$ không có số chính phương nào.

 Viết số $2005^{2006}$ thành tổng của các số tự nhiên rồi đem cộng tổng các chữ số của chúng lại. Hỏi kết quả nhận được có thể là 2006 hoặc 2007 được không ? Vì sao ?

Tìm x;y thuộc Z⁺ , biết:

a) x² +xy+2016x-2017y=2018

b) 2x⁶ +y² -2x³ y=320

a) - Nếu x=2017 thì pt vô nghiệm.

    - Nếu x khác 2017 thì pt tương đương với $y=\frac{-x^{2}-2016x+2018}{x-2017}$ .... với x, y nguyên dương.

b) Viết pt đã cho dưới dạng: $(x^{3})^{2}+(x^{3}-y)^{2}=320$.

    Đặt u=$x^{3}$, v=$x^{3}-y$ ta có pt:

                     $u^{2}+v^{2}=320$.                                                                          (1)

    Từ (1) suy ra u, v cùng tính chẵn lẻ.

    Nếu u, v cũng lẻ thì $u^{2}+v^{2}\equiv 2(mod4)$, do đó đẳng thức (1) ko xảy ra.

    Vậy u, v cùng chẵn. Đặt $u=2u_{1},v=2v_{1}(u_{1},v_{1}\in Z)$ ta có pt:

                     $u_{1}^{2}+v_{1}^{2}=80$.                                                                (2)

    Từ (2) lập luận như trên ta suy ra $u_{1},v_{1}$ cùng chẫn ta lại có pt:

                     $u_{2}^{2}+v_{2}^{2}=20$.                                                                (3)

    Tương tự: $u_{3}^{2}+v_{3}^{2}=5$                                                                   (4)

    Từ (4) ta đc các cặp $(u_{3},v_{3})$ là:

             (1;2);(-1;2);(1;-2);(-1;-2).

     Từ đó ta có các nguyên nguyên của pt là:

             (2;-8);(2;24);(-2;-24);(-2;8).

      Vì x,y là các số nguyên dương nên pt chỉ có 1 nghiệm duy nhất (2;24).

À mình lấy trong sách "Số học và toán rời rạc của Nhà xuất bản đại học sư phạm TP HCM", cảm ơn bạn nhìu

 Thực chất mấy bài này của THPT dùng công thức Legendre hay mấy anh cấp 3 gọi là Polignac.

tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để n^3 +4n^2 -20n -48 chia hết cho 125 và n>4

                        Bài làm

           Đặt A= $n^{3}+4n^{2}-20n-48$.

           Ta có: A= (n-4)(n+2)(n+6).

           Vì $A\vdots 5$ suy ra $n\equiv 3(mod5)$ hoặc $n\equiv 4(mod5)$.

•  $n\equiv 3(mod5)$: Khi đó n-4 không chia hết cho 5 và n+6 không chia hết cho 5 => $(n+2)\vdots 125$ vậy $n\geq 123$.
•  $n\equiv 4(mod5)$: Khi đó n+2 không chia hết cho 5 suy ra $(n+6)\vdots 25$ hoặc $(n-4)\vdots 25$ do đó $n\geq 19$.

           Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn là 19.

 P/s: mình nghĩ đề phải là tìm số tự nhiên nhỏ nhất chứ tìm thì nhiều lắm.

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $\frac{x+y \sqrt[2]{2013}}{y+z\sqrt[2]{2013}}$ là số hữa tỉ, đồng thời $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ là số nguyên tố.

 Bài này mình nhớ không nhầm là đề thi hsg lớp 9 Hải Dương năm 2010-2011 thì phải đề hơi khác tí nhưng cơ bản là như vậy.

IMG_20180312_143920.jpg

                                                                                  Bài làm

        Phương trình đã cho tương đương với:

             $x^{2}+x+1=(y^{2}+y+1)^{2}$. (1)

        i)   Với x>0 thì $x^{2}<x^{2}+x+1<(x+1)^{2}$ => loại TH này.

        ii)  Với x<-1 thì $(x+1)^{2}<x^{2}+x+1<x^{2}$ => loại TH này.

        iii) Nếu x=0 hoặc x=-1 thì từ (1) suy ra $y^{2}+y+1=\pm 1$ <=> y=0 hoặc y=-1.

        Vậy pt có 4 nghiệm nguyên: (0;0);(0;-1);(-1;0);(-1;-1).

Cho $a,b,c>0 , a+b+c+d=4$

Tìm min của $P= \frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}$

Phân tích: nhìn vào đề bài ta có thể sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Theo bất đẳng thức AM - GM

              $\frac{a}{1+b^{2}c}=a-\frac{ab^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{ab^{2}c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}$ => $\frac{a}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{1}{4}(ab+abc)$

Chứng minh tương: $\frac{b}{1+c^{2}d}\geq b-\frac{bc+bcd}{4};\frac{c}{1+d^{2}a}\geq c-\frac{cd+cda}{4};\frac{d}{1+a^{2}b}\geq d-\frac{da+dab}{4}$

              => $P\geq a+b+c+d-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)$.

Từ bất đẳng thức AM - GM dễ dàng cm được:

             $\frac{1}{4}(ab+bc+ca+da+abc+bcd+cda+dab)\geq 2$

=> $P\geq 4-2=2$.

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=d=1.

, Khánh có góp ý tí ở phần đầu nè, rút ngắn phần đầu bằng cách chia hết chứ cách làm tương tự, phần đầu mik có thể làm như thế này:

                     23x+53y=109

            <=>  23x+46y +7y=115-6

            <=> 23(x+2y-5) + (7y+6) = 0

- Vì 23(x+2y-5)  chia hết cho 23 và 0 chia hết 23 nên 7y+6 chia hết cho 23 nên ta đặt 7y+6 = 23t suy ra y = (23t-6):7 mà y thuộc z nên 23t-6 chia hết cho 7

Ta lại có 23t -6 = 21t +2t-6  chia hết cho 7 mà 21t chia hết cho 7 nên 2t-6 chia hết cho 7. Điều này xảy ra khi 2t đồng dư với 6 theo mod 7 nên t đồng dư với 3 theo mod 7 do (2;7)=1. Từ đó ta có y= 7k+3 và cũng có được x = -16-53k. Nhanh hơn rồi

 Đó là cách bạn có thể dùng trong 1 số TH nhưng trong 1 số bài toán khác bạn không thề dùng được cách này.

2. Con đường mới

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x + 67y = 43

                                                                                   Giải

Ta có: $x=\frac{43-67y}{12}=3-5y+\frac{7(1-y)}{12}$

 Để x nguyên, y nguyên thì $\frac{7(1-y)}{12}$ cũng phải là 1 số nguyên.

 Nhưng vì 7; 12 nguyên tố cùng nhau nên 1-y chia hết cho 12, tức là 1-y=12t với t là số nguyên. Vậy y=1-12t và x= 67t-2.

 Các con số ngẫu nhiên trong bài toán đã cho ta 1 lời giải đẹp! Có thể giải bài toán 1 bằng cách đó được không? Nhiều người cho rằng ý kiến đó là kỳ quặc! Ta cứ thử xem.

 Nhìn lại đẳng thức $x=4-2y+\frac{7(3-y)-4}{23}$

 Con số 4 mới đã gây ra phiền phức nếu nó chia hết 23 thì tốt quá!

 Bằng 1 linh cảm trực giác chúng ta lựa chọn 1 con số 46 .

 Ta viết:

             $x=4-2y+\frac{17-2y}{23}=4-2y+\frac{17+46-7y-46}{23}=4-2y+\frac{7(9-y)}{23}-2$

 Hệ số 1 đã xuất hiện! Do 7; 23 nguyên tố cùng nhau nên để x, y nguyên ta phải có $\frac{9-y}{23}=t$ là 1 số nguyên. Suy ra y=9-32t và x=53t-16.

  Chúng ta đã đạt tới thắng lợi không còn nghi nghờ gì nữa. Lời giải đẹp của bài toán 2 có những con số đẹp đã ép không thương tiếc cho bài toán 1 vốn không có gì đặc biệt đã thực sự thành công. Chúng ta tin tưởng xét bài toán tổng quát:

  Tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình vô định: ax + by =c trong đó a, b, c là các số nguyên.

  Trước tiên ta rút x và được $x=\frac{c-by}{a}$.

  Sau đó chọn A là bội số nguyên a sao cho c+A chia hết cho b, tức A=ma, c+A=kb với m, k là các số nguyên,.

  Vậy $x=\frac{c+A-by-A}{a}=\frac{kb-ky}{a}-m=\frac{b(k-y)}{a}-m$

  Cùng giản ước $\frac{b}{a}$ để đưa về dạng tới giản $\frac{b'}{a'}(=\frac{b}{a})$.

  Để x nguyên phải có $\frac{b'(k-y)}{a'}$ nguyên do (a', b')=1 nên k-y phải chia hết cho a.

  Đó chính là con đường ngắn nhất để thăm anh bạn hàng xóm!

  Mình xin đề nghị một số bài để các bạn luyện tập như sau:

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1994x + 2001y = 2027 (Các con số thể hiện năm 1994, năm đầu tiên của thế kỷ 21, năm con người ta dự kiến lên sao hỏa)

  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình -12x + 3,(2)y = $39\tfrac{2}{9}$.

  Do kiến thức hạn hẹp mình chỉ có thể viết dến đây mong các anh chi, các bạn ủng hộ topic lầm sau mình sẽ đăng tiếp .

Mình muốn lập topic này để bàn 1 số cách để việc giải phương trình nghiệm nguyên trở nên gọn hơn mong các bạn ủng hộ.

Ba cách giải phương trình $ax+by=c$

1. Phương pháp truyền thống

Bài toán 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: 23x + 53y = 109

                                                                                    Giải

1. Ta rút ẩn số có hệ số nhỏ hơn theo ẩn số kia;

    $x=\frac{109-53y}{23}=4-2y+\frac{17-2y}{23}$ (tách các phần nguyên ra)

    Muốn cho x nguyên khi y nguyên thì biểu thức $\frac{17-7y}{23}$ phải bằng 1 số nguyên nào đó, mà ta gọi là t.

    Ta có: $\frac{17-7y}{23}=t;17-7y=23t$ hay 23t +7 y=17

    Nếu ta tìm được cho t và y những giá trị nguyên thỏa mãn phương trình 23t+7y=17, tức là ta đã tìm được cho x những giá trị nguyên và giải được phương trình. Như vậy cách giải phương trình  đã cho quy về phương trình đơn giản hơn vì có hệ số nhỏ hơn.

2. Với phương trình 23t+7y=17 này, ta lại làm như trên. ta rút y

                $y=\frac{17-23t}{7}=2-3t+\frac{3-2t}{7}$

    Muốn cho y nguyên thì biểu thức $\frac{3-2t}{7}$ phải bằng một số nguyên nào đó chẳng hạn $t_{1}$.

    Ta sẽ có $\frac{3-2t}{7}=t_{1}$ hay $7t_{1}+2t=3$.

    ...

    Sau khi giải như vậy ta được biểu thức sau đây của x và y theo $t_{2}$: $x=-16+53t_{2};y=9-23t_{2}$.

    Hãy dừng lại một chút đề ngẫm nghĩ về con đường đã dẫn tới đáp số.

    Bằng việc đưa ra các số nguyên $t,t_{1},t_{2}$ trong bài toán đã liên tiếp thay phương trình phải giải bằng các phương trình có hệ số nhỏ hơn và tới khi xuất hiện hệ số bằng 1 bài toán kết thúc. nhưng kết thúc vào lúc nào thì chỉ phụ thuộc vào các con số ở đầu bài, bất chấp chúng ra sao hay sao? Phương pháp giải đó, về mặt lý thuyết, có thể xuất hiện $t_{100};t_{1000}$ hoặc hơn nữa mà máy tính điện tử mới đủ kiên nhẫn giải quyết. Và nỗi vất vả để đi tới $t_{n}$ là bao nhiêu thì nỗi vất vả trở về với x, y cũng bấy nhiêu. Như thể chúng ta đã leo lên đỉnh 1 ngôi nhà chọc trời, rồi lộn xuống đề sang thăm anh bạn hàng xóm!

     Cần tìm ra 1 con đường ngắn đáng lẽ phải có.

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN của biểu thức:

        P =  $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc$.

Trên mặt phẳng có 6 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.Các đoạn thẳng nối với nhau được tô bởi 2 màu xanh hoặc đỏ.CMR tồn tại 2 tam giác mà đỉnh của nó thuộc 6 điểm đã cho có các đỉnh cùng màu

   Bạn có thể tham khảo bài toán này: 6 điểm trên mặt phẳng,không có 3 điểm nào thẳng hàng.Nối các điểm các bằng màu xanh hoặc đỏ,Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu.

                                                                    Lời giải

   Xét A là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại).      Vì mỗi đoạn thẳng được tô chỉ màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có it nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử là các đoạn AB,AC,AD và được tô cùng màu xanh. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

1. Nếu ít nhất một trong ba đoạn BC,BC,CD màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này.

2. Nếu không phải như vậy, tức là BD,BC,CD màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là B,C,D vì tam giác BCD là tam giác với ba cạnh đỏ.

    Trong các tấm bìa trình bày dưới đây, mỗi tấm có một mặt ghi một chữ cái và mặt kia ghi một số:

                              A       M      3      6

    Chứng tỏ rằng đề kiểm tra câu sau đây có đúng không: " Nếu mỗi tấm bìa mà mặt chữ cái là nguyên âm thì mặt kia là số chẵn", thì chỉ cần lật mặt sau của tối đa là 2 tấm bìa, đó là 2 tấm bìa nào ?

Khó ai làm được bài này ah

Khó ai làm được bài này ah

Mình xin đóng góp bài này: $CMR$: trong $1990$ số tự nhiên liên tiếp tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho $27$.

      Giả sử 1990 số tự nhiên liên tiếp là:

          n, n+1, n+2, . . .,n+1899.                                                                        (1)

    Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp n, n+1, n+2, . . ., n+999 có một số chia hết cho 1000.

    Giả sử số đó là n' có tận cùng là 3 chữ số 0 và giả sử tổng các chữ số của n' là k.

    Khi đó 27 số n'+1; . . .; n'+9; n'+19; . . .; n'+99; n'+199; n'+299; . . .; n'+899 (2) có tổng các chữ số lần lượt là k, k+1, k+2, . . ., k+26.

    Trong đó 27 số tự nhiên liên tiếp k, k+1, k+2, . . ., k+26 có 1 số chia hết cho 27(đpcm).

     Chú ý rằng từ $n'+899\leq n+999+899< n+1899$ nên các số ở trong dãy (2) còn nằm trong dãy (1).

     =>đpcm

giải hộ mình bài này với các bạn ơi 

cho phân số tối giản $\frac{p}{q}$ thoả mãn 

$\frac{p}{q}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{2017}$. chứng minh p lẻ q chẵn

 Ta chỉ cần cm q chẵn là đủ (vì khi đó $\frac{p}{q}$ là số lẻ kéo theo p là số lẻ).

 Ta có: $2^{10}=1024<2017<2048=2^{11}$. Đặt N= 2017!, khi đó sẽ tồn tại sô nguyên dương k>10 sao cho $\inline N\vdots 2^{k}$ mà N không chia hết cho $2^{k+1}$.

 Từ đó $N=2^{k}m$ (m là số lẻ nào đó).

 Nhận thấy $\frac{p}{q}=\frac{a_{1}+a_{2+...+a_{2017}}}{N}$ (với $a_{i}=\frac{N}{i}$, ở đó i= 1, 2, ..., 2017).

 Mặt khác theo lí luận trên thì $a_{i}=2^{k-10}b_{i}$ (ở đó $b_{i}$ là số chẵn, với mọi i=1,2,..,2017).

 Do đó $\frac{p}{q}=\frac{2^{k-10}(b_{1}+...+b_{2017})}{2^{k}m}=\frac{b_{1}+...+b_{2017}}{2^{10}m}$.

 Lí luận kéo theo $b_{1}+...+b_{2017}$ là số lẻ suy ra q chẵn (Q.E.D)

 Thêm 1 bài tỉ lệ thức nữa nhé!

           Cho $Cho \frac{bz+cy}{x(-ax+by+cz)}=\frac{cx+az}{y(ax-by+cz)}=\frac{ay+bx}{z(ax+by-cz)}$ (1)

                   a) Chứng minh $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}$

               b) $\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(a^{2}+c^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

 a) Đặt k=  $\frac{xyz(bz+cy)}{x(-ax+by+cz)}=\frac{xyz(cx+az)}{y(ax-by+cz)}=\frac{xyz(ay+bx)}{z(ax+by-cz)}$

       =>k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cz+az)}{ax-by+cz}=\frac{xy(ay+bx)}{ax+by-cz}$

     Suy ra k= $\frac{yz(bz+cy)}{-ax+by+cz}=\frac{xz(cx+az)}{ax-by+cz}=\frac{yz(bz+cy)+xz(cx+az)}{2cz}=\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{2c}$

     Lập tương tự ta có: k= $\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{2a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(cz+a)}{2b}$

     Suy ra: $\frac{c(x^{2}+y^{2})+z(ax+by)}{c}=\frac{a(y^{2}+z^{2})+x(by+cz)}{a}=\frac{b(z^{2}+x^{2})+y(az+ax)}{b}$

     Trừ mỗi vế trên cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, suy ra:

         $\frac{z(ax+by-cz)}{c}=\frac{x(by+cz-ax)}{a}=\frac{y(cz+ax-by)}{b}$       (2)

    Nhân các đẳng thức (2) với (1) tương ứng ta có:

         $a) \frac{ay+bx}{c}=\frac{bz+cy}{a}=\frac{cx+az}{b}=\frac{1}{M}$   (dpcm)

  b) Từ phần a)=> $\frac{1}{2abcM}=\frac{x}{a(b^{2}+c^{2}-a^{2})}=\frac{y}{b(c^{2}+a^{2}-b^{2})}=\frac{z}{c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$ (đpcm).

 Tìm các số nguyên tố $p_{1}; p_{2}; . . .;p_{8}$ thỏa mãn phương trình: $p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+...+p_{7}^{2}=p_{8}^{2}$

tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+1; n+3; n+7; n+9; n+13; n+15 đều là số nguyên tố

   Dễ thấy n=0, n=1, n=2; n=3 đều ko thỏa mãn.

  Với n=4 thi n+1; n+3; n+7; n+13; n+15 đều là số nguyên tố.

  Xét các TH như trên đều ko thỏa mãn

  => n=4.

1. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 là các số nguyên tố.
2. Chứng minh rằng nếu n và $n^2+2$ là các số nguyên tố thì $n^3+2$ cũng là số nguyên tố.
3. Chứng minh rằng nếu a, a + k, a + 2k (a,k thuộc N* ) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết cho 6.
4. Cho p, q là hai số nguyên tố, chứng minh rằng $p^2-q^2$ chia hết cho 24.
5. Một số nguyên tố p chia cho 42 có dư là một hợp số r. Tìm r.
6. Chứng minh rằng số 11...121...1 là hợp số (n chữ số 1 bên trái và n chữ số 1 bên phải) với n$\geq 1$
7. Tìm n sao cho 10101…0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số nguyên tố.
8. Cho n thuộc N*, chứng minh các số sau là hợp số:
a) A = 2^(2^(2n+1)) + 3 b) B = 2^(2^(4n+1)) + 7 c) C = 2^(2^(6n+2)) + 13
9. p là số nguyên tố lớn hơn 5, chứng minh $p^4\equiv 1$ (mod 240)
10. Chứng minh rằng dãy $a_n =10^n+3$ có vô số hợp số.
11. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p có vô số số dạng $2^n-n$ chia hết cho p
12. Tìm n thuộc N* để $n^3-n^2+n-1$ là số nguyên tố.
13. Tìm các số x, y thuộc N* sao cho $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
14. Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+1$ (n $\geq$ 1).
15. Cho n thuộc N*, chứng minh A = $n^4+4^n$ là hợp số với n > 1.

    Dễ thấy p=2, p=3 không thỏa mãn.

Với p=5 thì p+6, p+8, p+12, p+14 đều lá số nguyên tố.

Với p>5 thi p=5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4 (k thuộc N*)

Xét các TH trên ta thấy đều ko thỏa mãn.

Vậy p=5 là giá trị cần tìm.