1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

bài hình ngày 2 có cách nào cho lớp 9 không ạ?

câu 1a làm thế nào đó bạn?

hệ thức EUler đó bạn

tại sao có cái này ạ

bài này trong quyển vẻ hình phụ của nguyễn đức tấn

6 điểm trên mặt phẳng,không có 3 điểm nào thẳng hàng.Nối các điểm các bằng màu xanh hoặc đỏ,Chứng minh rằng tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu

Ta có $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )=\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$

Để chứng minh  $\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )...\left ( 3n \right )$ chia hết cho $3^n$ ta sẽ chứng minh số mũ của thùa số nguyên tố3 trong phép phân tích thừa số nguyên tố của $\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}$ lớn hoặc bằng hơn $n$

Ta có công thức tính số mũ của một giai thừa trong phép phân tích số nguyên tố $p$ sẽ là $v_p^{n!}=\sum_{i=1 }^{+\infty}\left [ \frac{n}{p^i} \right ]$

Do đó ta có: $v_3^{\frac{\left ( 3n \right )!}{n!}}=v_3^{\left ( 3n \right )!}-v_3^{n!}=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{3n}{3^i} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^{i-1}} \right ]-\sum_{i=1}^{+\infty }\left [ \frac{n}{3^i} \right ]=\left [ \frac{n}{3^{1-1}} \right ]=n$

Vậy ta có đpcm

cách này sao nghĩ ra được,mình nghĩ cách bạn đầu tiên là ok rồi

Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$.CMR: abc là lập phương của 1 số nguyên

ai nghĩ ra kẻ thêm hình như thế kia đâu?mà bạn gì gì đó bảo dễ có thấy bạn đăng lời giải đâu?

hôm nay mình đi thi và 1 nửa ko làm được hình đó bạn ạ

có 3 bộ nghiệm đó

Đặt $t^2=2^m+3^n$

Xét $m=0=>(t-1)(t+1)=3^n$

mà $\gcd(t-1,t+1)=1$

$=>t-1=1<=>t=2=>n=1$

 

Xét $n=0=>(t-1)(t+1)=2^m$

$=>t-1=2^a$ và $t+1=2^b$ $(a+b=m)$

$<=>2=2^b-2^a$ kéo theo $b=2$ và $a=1$

$=>t=3<=>m=3$

 

Xét $m,n \geqslant 2=>t$ là số chính phương lẻ

Theo $(mod$ $4)$ suy ra $n$ là số chẵn

$PT<=>(t-3^k)(t+3^k)=2^m$

$<=>t-3^k=2^x$ và $t+3^k=2^y$ $(x+y=m)$

$<=>2^y-2^x=2.3^k<=>3^k=2^{y-1}-2^{x-1}$

Do đó $x=1$ dẫn đến $t+3^k=2^{m-2}$

Mặt khác $t+3^k=u^{p_1}.v^{p_2}$ $(u,v$ là số nguyên tố$)$

Suy ra $PT$ vô nghiệm khi $m,n\geqslant 2$

 

Vậy $(m,n)=(3,0);(0,1)$

m=4,n=2

thiếu nghiệm 

m=4,n=2

Tìm m,n tự nhiên để A=$2^{m}+3^{n}$ là số chính phương

thiếu nghiệm 

x=1 hoặc x=-1 đều không đúng nên vô nghiệm

Bạn giải thích rõ hơn được ko vì sao từ trường hợp 1=>trường hợp 3 đúng được?

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR :

$(a+b)^{4} +(b+c)^{4} +(a+c)^{4} \geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bất đẳng thức thi VMO 

Ta có $\vec{AC}+\vec{NM}+\vec{PQ}=\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{0}$

$\Rightarrow$2 tam giác ANP và CMQ có cùng 1 trọng tâm.

 bạn có thể giải thích rõ hơn cho mình vì sao từ cái biểu thức trên thì ra được kết quả cần chứng minh, mình cảm ơn.

Bài 2: với mọi n>=10 thì ta có n!+5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25=>ko chính phương. ta xét n=1->9 ta thấy ko trường hợp nào thỏa mãn=>không tồn tại n?

Bài 1: x^4+y^4+z^4=8z^4+5 ta thấy 1 số lũy thừa bậc 4 chia 8 dư 0,1 nên vế trái chia 8 dư 0,1,2,3 mà vế phải chia 8 dư 5 => không tồn tại x,y,z

$\Delta =9-20< 0 pt vo nghiem$

sai cơ bản thế bạn

Chứng minh AF là đường đối trung của tam giác ABC

bạn giúp mình kĩ hơn được ko

Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O).M trung điểm BC.Trung trực AB,AC cắt AM tại D và E.BD cắt CE tại F.Một Đường tròn (w) qua B và C cắt AB,AC tại H,K.I trung điểm HK.CHứng minh A,F,I thẳng hàng

Có bao nhiêu bộ 3 số nguyên không âm (a,b,c) mà a+b+c=300

Tìm n min có tính chất,từ n số vô tỷ bất kì luôn tồn tại 3 số mà tổng 2 số bất kỳ trong 3 số là số vô tỷ