1. Họ và tên thật: Chu Thanh Huyền.
2. Đang học lớp 9a, trường THCS Yên Phong, huyện Yên Phong, tỉnh Bắc Ninh.
3. Đề: "Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$ "
4. Đáp án:
Đặt a = $\frac{1}{x}$; b = $\frac{1}{y}$; c = $\frac{1}{z}$ $\Rightarrow abc=1.$
$\Rightarrow$ x + y = c(a + b); y + z = a(b + c); z + x = b(c + a).
$\Rightarrow$ $E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}.$
Áp dụng BĐT Nesbit có $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$ $\geq \frac{3}{2}.$
Nhân cả 2 vế với a + b + c > 0 ta được:
$\frac{a(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(a+b+c)}{a+b}$ $\geq \frac{3}{2}.(a+b+c)$
$\Rightarrow$ $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$ $\geq \frac{a+b+c}{2}$ $\geq \frac{\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$
Hay có E $\geq \frac{3}{2}.$
$\Rightarrow$ min E = $\frac{3}{2}$ khi a = b = c = 1.