Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ ab+bc+ca> 0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Bài 159 : Giải phương trình:

                  a)$\sqrt{4x+3}=2x^{2}+2x$

                  b)$\sqrt{3x+2}=9x^{2}+6x $

                  c)$2\sqrt{x+2}=27x^{2}-27x-5$

                  d)$\sqrt{2x-5}=x^{2}-9x+17 $

                  e)$\sqrt[3]{3x+1}=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+1$

Mong rằng mọi người giải hết mấy bài ở trên còn sót , rồi mới đăng bài mới !

Đặt ẩn đưa về hê phương trình , đi thi có mà lên cộc cộc 

 

Topic mình bị bỏ quên nên đăng vào đây luôn

Bài  : Tìm Min, Max của 

a) A = 3x + $x\sqrt{5 - x^{2}}$

b) B = $\sqrt{5x - x^{2}} + \sqrt{18 + 3x - x^{2}}$

 

-Tớ sẽ nêu ra hướng giải như sau : 

-Mục đích : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ( rất quen thuộc với thcs )

- Do đó cần có đk là $x\geq 0$

Bài giải :

 - ĐKXĐ : $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$

- Xét 2 trường hợp :

               + Trường hợp 1 : $x<0$ $\Rightarrow A< 0$

              + Trường hợp 2 : $0 \leq x\leq \sqrt{5}$

                                Ta có : $A.\alpha =3x.\alpha + \alpha x \sqrt{5-x^{2}} \leq 3x.\alpha +\frac{\left ( \alpha ^{2}-1 \right )x^{2}+5}{2}$ 

                                                            $= \frac{\alpha^{2}-1}{2}.x^{2}+3x.\alpha +\frac{5}{2} \doteq \left ( \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}x}+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\alpha^{2}-1}} \right )^{2}+ \frac{5}{2}-\frac{9\alpha ^{2}}{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}$

                    Từ giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}(\alpha x)^{2}=5-x^{2} & & \\ \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}}x+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}}=0 & & \end{matrix}\right.$

                                Do đó : ta tìm được $\alpha $ 

Điều còn lại chỉ là việc viết bài mà thội !

Nhưng nếu thay đầu bài lại thành A = 3x + $x\sqrt{5 +x^{2}}$ thì sẽ khó hơn !

Do đó : chúng ta cần phải có cách khác tốt hơn !

Ai giải hộ câu c cái !

Bài 55 : Giải phương trình :   a) $5\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{5x-2}}\doteq \frac{2x^{2}+13}{4x-1}$

                                               b)$\sqrt{x+\frac{5}{x}}\doteq \frac{x^{2}+9}{x+4}$

                                               c)$x^{3}-x^{2}-x\doteq \frac{1}{3}$

Bài 56 : Cho a,b,c là các số thực dương

             Chứng minh rằng :

                                     $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài 57 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

                                                                                $x(x+7)\doteq y^{3}-1$

Tìm số nguyên tố $p= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c$\in \mathbb{Z}$ sao cho $a^{4} +b^{4} +c^{4} \vdots p$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$ 

Tớ làm cách này không biết có đúng không  : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{\left ( 2b^{2} +c^{2}\right )\left ( 2c^{2}+b^{2} \right )}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}.\frac{2}{3}\geq \frac{3}{2}.\frac{2}{3}=1$ ?

Tớ có cách khác :$\sum \frac{c^{2}}{a^{2}c^{2}+abc^{2}+b^{2}c^{2}}\geq \sum \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\sum a^{2}c^{2}+abc\left ( a+b+c \right )}\geq (\frac{a+b+c}{ab+bc+ca})^{2}\geq \left ( \frac{3}{a+b+c} \right )^{2}=\frac{9}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Bạn  có thể giải thích chi tiết được không ?

http://diendantoanho...attach_id=24948

Họ tên : Lưu Thanh Tùng

Nick trong diễn đàn : olympiachapcanhuocmo

Năm sinh : 2001

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS

 

BÀI 5: Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện: $(1994!)^1995$ chia hết cho $1995^k$

Chắc đề bài của cậu là :  $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$

Ta có : 1995=3.5.7.19

Mục đích để sử dụng  LTE !

Để $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$

$\Rightarrow v_{19}\left [ \left ( 1994! \right )^{1995} \right ]\geq v_{19}\left ( 1995^{k} \right )$

$\Leftrightarrow 1995 .v_{19} \left ( 1994! \right )=5985\geq k$

Do đó : mình đoán là $Max_{k}=5985$ 

P/s: Không biết có đúng không ?

BÀI 3: Chứng minh $\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$ là một số nguyên với mọi a nguyên. 

Mục đích ta đưa về dạng PT bậc 3 , bằng cách nhân phá ngoặc !

Đặt A=$\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$ 

Ta có : A=$\frac{a^{3}}{6}-a^{2}+\frac{11}{6}a-1$

Do đó : ta cần chứng minh $(a^{3}+11.a) \vdots 6$

                                        $ \Leftrightarrow (a^{3}-a+12a)\vdots 6$

                                        $\Leftrightarrow a\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )\vdots  6$

$ \Rightarrow$ Q.E.D 

Mình cũng đóng góp 1 bài : 

Cho $(a^{m}-1)\vdots \left ( a^{n}-1 \right )$ với a,m,n là các số nguyên dương và $a\neq 1$

Chứng minh rằng : $m\vdots n$

Bài 101:Cho  a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

Nếu $a+b+c\geqslant 2$ thì $VT=a+b+c+\sum \dfrac{bc}{b+c}\geqslant a+b+c+\dfrac{1}{a+b+c}\geqslant \dfrac{5}{2}$

Nếu $a+b+c\leqslant 2$ thì giả sử $a\geqslant b,c$, khi đó:

$$VT=b+c+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}\geqslant 2+\dfrac{a(1+bc)}{a(a+b+c)+bc}$$

Mà $2a(1+bc)=2a+2abc\geqslant a(a+b+c)+bc+(2a-1)bc=a(a+b+c)+bc+(a(2-a-b-c)+a^2-bc)bc\geqslant a(a+b+c)+bc$

Do đó $VT\geqslant 2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

Chỗ này là như thế nào vậy anh ?

-Bạn có thể giải bằng kiến thức THCS được không ?

-Hãy tìm ra đúng bản chất của nó , một cách thật đơn giản , dễ hiểu , đừng quá máy móc được không ?

- Và đây là lời giải của tôi , các bạn tham khảo và cho ý kiến nhé :

$\sum \frac{1}{a+b}$

=$\frac{\sum a^{2}+3\sum ab}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )(c+a)}$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{\left ( a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\right) }$

$=\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}+1}{a+b+c-abc}$

- Đến đây ta có bổ đề sau : $a+b+c+\frac{5}{3}abc\geq 2$ với giả thiết như đề bài ( Chứng minh bằng phép thế--các bạn tự cm nhé )

- Do đó : bđt cần chứng minh tương đương với :

$\frac{x^{2}+1}{x-\frac{1}{5}(6-3x)}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}\geq 0$ luôn đúng

Bài 103 : Cho a,b,c dương , thoả mãn :a+b+c=3.

Tìm GTNN (nếu có ) của 

: $\frac{1}{\sqrt{4a^{2}+bc}}+\frac{1}{\sqrt{4b^{2}+ca}}+\frac{1}{\sqrt{4c^{2}+ab}}$

Bài này thực ra là bài CZECH SLOVAKLIA 1996 mình xin trình bày lại cách giải : 

TH1: p chẵn , dễ dàng thu được nghiệm (x;y;z)=(1;1;1)

TH2: p lẻ

       Theo ĐL Fermat nhỏ ,ta có : $p^{x}=y^{p}+1\equiv y+1\left ( mod p \right )$

                                                     $\Rightarrow y+1\vdots p$

        Hiển nhiên y và 1 không chia hết cho p

        Theo ĐL LTE , ta có : $v_{p}\left ( y^{p} +1\right )=v_{p}\left ( y+1 \right )+v_{p}\left ( p \right )=v_{p}\left ( y+1 \right ) +1$

                                              $ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right ) $

        Do đó : Từ $\left ( y+1 \right )\left ( y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 \right )= p^{x}$

                    $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y+1= p^{x-1} & & \\ & & y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1 =p \end{matrix}\right.$

+ Với y=1 thì $x-1=v_{p}\left ( 2 \right ) $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=2 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$  (Loại)

+ Với y=2 thì  $x-1=v_{p}\left ( 3 \right )  $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}p=3 & & \\ x=2 & & \end{matrix}\right.$  (Thỏa mãn )

+Với y>2 thì $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^{2}-y+1$

$= y^{p-2}\left ( y-1 \right )+y^{p-1}\left ( y-1 \right )+...+y\left ( y-1 \right )+1> y^{p-2}+y^{p-1}+...+y+1> y+1$

 $\Rightarrow p> p^{x-1}$

 $ \Rightarrow x=1 $

 $ \Rightarrow x-1=v_{p}\left ( y+1 \right )=0$ (Mâu thuẫn  $ y+1\vdots p $)

Vây (x;y;p)=(1;1;2),(2;2;3)

Cho a>b>c>d>0 là những số nguyên dương và giả sử $ac+bd= \left ( b+d+a-c \right )\left ( b+d-a+c \right )$

Chứng minh rằng : ac+bd không là số nguyên tố 

Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của 2014!-1  đều lớn hơn 2014

Phần này là sao mình không hiểu mong bạn giải thích từng bước giúp

Chị  không hiểu chỗ nào vậy ?