1/ Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đôi một khác nhau vào 3 cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

2/ Có bao nhiêu cách xếp $m$ viên bi đôi một khác nhau vào $n$ cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

$AB$ nhỏ nhất khi $B$ là hình chiếu của $A$ trên d

Từ đó tìm được tọa độ của $B$

Hình thì có sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học 10 

Hay lắm bạn a.!

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$

Chứng minh $x^{3}y^{3}z^{3}\left ( x+y+z \right )\geq 8\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )$

AD Holder

$\left ( a^{2} +b^{2}+1\right )\left ( b^{2}+c^{2}+1 \right )\geq \left ( ab+bc+1 \right )^{2}$

Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân theo vế được đpcm

Với $0< a,b,c < 1$ CM $2a^{3}+2b^{3}+2c^{3}< 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

$\left ( a^{2}-1 \right )\left ( b-1 \right )> 0\Rightarrow a^{2}b+1> a^{2}+b> a^{3}+b^{3}$

Tương tự xây dựng các BĐT khác.

Mình có một thắc mắc là khi giải PT lượng giác có ĐKXĐ thì có cần giải ĐKXĐ ra ko hay chỉ cần ghi là:

$\cos x\neq 0$, $\sin 2x\neq 1$, $\sin 2x\neq \frac{1}{2}$, $\sin x+\cos x\neq 0$, $\sin x+\tan 2x\neq 1$, $\sin (x+\frac{2\pi }{3})\neq 0$

 

Và có bắt buộc phải thu gọn nghiệm Pt LG hay ko 

VD: $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$ ; $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 

Điều kiện có khi chỉ cần ghi ra thôi

Mình lười nên thường làm vậy mà có nhiều trường hợp làm như vậy thì dễ so sánh nghiệm với đk hơn

Còn về kết luận nghiệm thì nên rút gọn thì tốt hơn mà bạn để thành nhiều họ nghiệm cũng chẳng sao

Chúc bạn học tốt lượng giác nhé

đúng nhưng là học sinh giỏi ai mà giải như thế

bạn là học sinh giỏi mà không nghĩ ra cách ý sao 

với bài toán chỉ yêu cầu như thế thì phân tích như trên là gọn nhất và dễ hiểu nhất

1/ Máy biến thế có số vòng dây cuộn sơ cấp và cuộn thứ cấp là $N_{1}=400; N_{2}=100$ và điện trở là $r_{1}=4\Omega ; r_{2}=1\Omega$. Điện trở mắc vào cuộn thứ cấp là $R=10\Omega$. Xem mạch từ là kín và hao phí do dòng Fuco là không đáng kể. Đặt vào 2 đầu cuộn sơ cấp một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng $U_{1}=360V$. Tính điện áp hiệu dụng 2 đầu cuộn thứ cấp và hiệu suất của máy biến thế.

2/ Cho 1 con lắc đơn có vật nặng $m=0,1kg$ tích điện $0,5mC$ dao động tại nơi có gia tốc trọng trường $g=10m/s^{2}$. Đặt con lắc trong điện trường đều có $\overrightarrow{E}$ nằm ngang và $E=\frac{2000}{\sqrt{3}}V/m$. Đưa con lắc về vị trí thấp nhất rồi thả nhẹ. Tìm lực căng dây treo khi gia tốc vật nặng cực tiểu.

3/ Khi tăng hiệu điện thế của 1 ống Rownghen $n=1,8$ lần thì bước sóng giới hạn về phía sóng ngắn của phổ Rownghen có biến đổi là $\Delta \lambda =30pm$. Tìm hiệu điện thế lúc sau của ống.

4/ Cho 2 nguồn sóng kết hợp trên mặt nước, cúng pha có biên độ $4cm$ tại 2 điểm $A,B$ cách nhau $31cm$. Cho bước sóng $\lambda =12cm$. $O$ là trung điểm $AB$. Trên đoạn $OB$ có 2 điểm $M,N$ cách $O$ lần lượt $1cm$ và $4cm$. Khi $N$ có li độ $2\sqrt{3}cm$ thì $M$ có li độ là bao nhiêu?

Phuong Thu Quoc không phải là toán thủ thi đấu

AD BĐT Schwarz ta có $\frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( z+x \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x\left ( y+z \right )}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{y\left ( x+z \right )}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{z\left ( x+y \right )}\geq \frac{\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}$

Từ dữ kiện $xyz=1\Rightarrow E\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}=\frac{xy+yz+zx}{2}$

Theo AM-GM ta lại có $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{\left ( xyz \right )^{2}}=3$

Từ đó $E\geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi 3 biến bằng nhau và bằng 1.

Mình không phải là toán thủ thi đấu

Theo BDT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}.\sum x\left ( yz+zt+ty \right )\geq \left ( \sum \frac{1}{x} \right )^{2}=\left ( yzt+ztx+txy+xyz \right )^{2}$ ( vì $xyzt=1$ )

Nên $\Rightarrow \sum \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}\geq \frac{xyz+yzt+ztx+txy}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{\left ( xyz \right )^{3}}}{3}=\frac{4}{3}$ ( theo AM-GM )

BDT được chứng minh.

­

Hilbert là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại. Trong những giai thoại về ông, người ta thường hay nhắc đến mẩu chuyện sau đây. Có lần, người ta bàn tán về một nhà toán học thôi không làm toán nữa, mà đã trở thành tiểu thuyết gia. Hilbert nói: “Anh ta chọn đúng ngành đấy chứ, vì khả năng tưởng tượng của anh ta chưa đủ để làm toán, nhưng viết tiểu thuyết thì được!”.
Chắc không ai nghĩ rằng Hilbert coi thường các nhà văn, chỉ có điều ông muốn nhấn mạnh vai trò của tưởng tượng trong sáng tạo toán học. Nhưng, có thật là để sáng tạo trong toán học, người ta cần nhiều trí tưởng tượng đến thế hay không? Bởi vì, đối với nhiều người, “toán học rõ ràng như 2+2=4″. Vậy mà có một nhà thơ nổi tiếng, Maiacovski, lại không nghĩ như thế. Ông đã nói rất đúng về toán học: “Người đầu tiên phát hiện ra 2+2=4 là một nhà toán học vĩ đại, cho dù anh ta tìm ra chân lý đó bằng cách cộng hai que diêm với hai que diêm để được bốn que diêm. Còn người thứ hai lấy hai cái đầu tàu hỏa cộng hai cái đầu tàu hỏa để được bốn cái đầu tàu hỏa thì không còn là nhà toán học nữa!”. Không phải ai cũng biết cách thoát khỏi “que diêm”, để tìm ra chân lý đơn giản “2+2=4″. Và khi đã thoát ra khỏi các que diêm của đời thường, người ta đi đến sáng tạo toán học, và từ đó, có thể quay lại với đời thường. Khi đã tìm ra chân lý toán học đơn giản đó thì không chỉ cộng hai cái đầu tàu hỏa với hai cái đầu tàu hỏa, mà có cộng hai… ngôi sao với hai ngôi sao thì cũng thế mà thôi! Sự tưởng tượng đưa con người đến với bản chất của sự vật, chứ không phải là xa rời nó. Điều này đúng với tất cả mọi ngành, và lại càng đúng với toán học.
Người ta đã làm thế nào để… giết chết tưởng tượng
Để trở thành người sáng tạo, tức là làm được cái gì đó đầu tiên, người ta không tránh khỏi phải “gàn” một chút! Nếu không gàn, thì làm sao có cách nghĩ ít nhiều khác người được? Vậy nên các nhà toán học hay được gán cho chữ “gàn”. Các nhà thơ cũng thế, mà có lẽ những người làm khoa học, nghệ thuật đều như thế. Anh gàn không thích nhắc lại những điều đã có người nói, mà thích nói khác, thậm chí nói ngược. Dĩ nhiên, không phải anh gàn nào cũng trở thành nhà khoa học. Có đến chín mươi chín phần trăm câu nói khác người là gàn thật! Nhưng rất có thể, một phần trăm còn lại chứa đựng cái gì đó mới mẻ, bản chất, mà những người khác vì đã quá quen cách nghĩ cũ nên chưa phát hiện ra? Cũng như hàng thế kỷ, người ta quen nghĩ hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nên đã không phát hiện ra hình học phi Euclid. Và việc đó phải dành lại cho hai người có cách nghĩ khác hẳn là Bolyai và Lobachevski. Nói cho cùng, mỗi con người đóng góp vào cho sự phong phú của xã hội ở cái khác người của mình, chứ đâu phải ở chỗ giống với những người khác?
Vậy mà hình như không ai muốn khác người! Đến như cái xe Dream, nếu có đi mua thì anh cũng chọn cái mầu mận chín, mặc dù nhà sản xuất đã nghĩ ra đủ các loại mầu. Phụ nữ ở các nước khác thường thích mặc những kiểu quần áo mà người khác không có. Vậy nên trong cửa hàng, đôi khi người ta phải ghi là “chỉ có bộ duy nhất” để bán giá cho cao. ở ta thì khác, chị em trong cơ quan hay rủ nhau cùng mua, cùng mặc một kiểu áo nào đó được cho là đẹp. Đôi khi, tôi cứ gàn gàn thử tìm nguyên nhân của sự khác nhau đó. Khó quá, nhưng phải chăng là có những lý do sau.
Nước ta không mấy khi được yên. Hết chống phong kiến Trung Hoa, lại phải đánh Pháp, đuổi Nhật, rồi chiến tranh chống Mỹ. Mà người thời loạn thì thường phải lẩn vào đám đông mới an toàn được. Giỏi quá cũng chết mà kém quá cũng chết. Lâu dần thành tâm lý chung, chỉ thích giống người khác, không muốn “chơi trội”. Chơi trội thì quả là không nên, nhưng cứ cố làm cho giống người khác thì thành ra ít sáng tạo. Làm như vậy, để sống cho an toàn thì được, nhưng muốn làm người sáng tạo thì khó.
Một lẽ nữa, ngẫm ra thì hình như từ mẫu giáo, cách dạy dỗ của ta cũng giết dần trí tưởng tượng ở học sinh. Một lớp học tốt tức là một lớp học đều răm rắp. Khi giơ tay phát biểu thì cứ nhất thiết là phải giơ tay bên phải, tay trái đặt dưới cùi tay phải. Chưa cần chú ý nội dung lời phát biểu, cứ lo giơ tay cho đúng đã. Và dù có say sưa đến mấy, vội vàng đến mấy khi chợt nghĩ ra cái gì đó hay để nói thì cũng không được phép quên cách giơ tay! Và dĩ nhiên nội dung lời phát biểu cũng phải đúng mẫu rồi. Đến cả việc rất cần sáng tạo như là hát, biểu diễn mà hàng chục năm nay, trong nam, ngoài bắc, ở đâu cũng giống nhau: hễ cứ hát “Đêm qua em mơ gặp Bác Hồ” là y như rằng em bé nghiêng đầu, tay ấp má! Cô giáo được học như thế, rồi cũng dạy học trò y như thế. Thành ra, để trở thành một học sinh ngoan, học sinh giỏi, đứa trẻ đã phải tự giết dần trong chúng trí tưởng tượng và khả năng làm cái gì đó khác người, cũng tức là khả năng sáng tạo. Đó là chưa nói đến việc để vào được đại học, học sinh còn phải trải qua các lò luyện thi. Mà ai cũng biết, các lò luyện đó nhằm mục đích luyện trăm người thành trăm thỏi thép giống nhau, vừa đủ lọt qua cái khe nhỏ của đề thi đại học. Sáng tạo mà làm gì, khi chỉ cần có một chút góc cạnh nào đó chưa được luyện, được mài cho kỹ là học sinh đã có thể bị vướng lại ngoài cánh cửa trường đại học. Thế là, vô hình trung, cả một hệ thống giáo dục từ mẫu giáo cho đến đại học đã làm cái việc giết dần óc tưởng tượng ở mỗi con người. Không phải ngẫu nhiên mà phần lớn thiếu niên thích hoạt họa của Walt Disney hơn hoạt họa của ta, mà vì ở đó, chú mèo bị xe lu cán qua người, biến thành tờ giấy rồi mà vẫn đứng dậy được, còn phim của ta thì… đánh cho một gậy là gãy chân! Phim hoạt họa thì “thật” quá, mà phim truyện về đời thường thì lại “giả” quá. Suy cho cùng, cũng đều do nghèo tưởng tượng đấy thôi.
Ai cũng biết, ở thời đại công nghệ cao này, cái khó là ý tưởng, chứ không phải là kỹ thuật thực hiện. Trong giá trị của mỗi thứ hàng hóa, phần ý tưởng sẽ ngày càng chiếm tỷ trọng lớn. Vậy nên càng thấy giật mình khi ta chưa có được một nền giáo dục khuyến khích phần sáng tạo, phần tưởng tượng trong mỗi con người.
Tôi bỗng nhớ câu thơ rất hay của Nguyễn Bính: “Sòng đời thua nhẵn cả thơ ngây“. Có lẽ cùng với thơ ngây, ta đã thua nhẵn cả trí tưởng tượng nữa.

Hà Huy Khoái

 

Hay và sâu sắc

Một bài:

Cho 9 số nguyên tố khác nhau

Chứng minh luôn có thể chọn các số $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}$ sao cho $\left ( a_{1} -a_{2}\right )\left ( a_{3}-a_{4} \right )\left ( a_{5}+a_{6} \right )$ chia hết cho 1800

Bất đẳng thức Cauchy-Schwar có thể xem cái này   BAT DANG THUC CAUCHY SCHAWRZ DANG ENGEL (1).pdf   66.8KB   349 downloads

                                                                                 BDTvmf2013-1.30.pdf   147.03KB   491 downloads 

cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$

Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$

Giả sử $a\leq b\leq c$

Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu

AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm

 

Chứng mình rằng:
$\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{a+c} \geq \dfrac{9}{a+b+c}$

 

VT$\dpi{100} =2\left ( \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right )\geq 2.\frac{9}{\left ( a+b \right )+\left ( b+c \right )+\left ( c+a \right )}= \frac{9}{a+b+c}$

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

Theo Cauchy-Schwarz có $\sum \frac{a^{3}}{b+c+d}.\sum a\left ( b+c+d \right )\geq \left ( \sum a^{2} \right )^{2}=9$

Mặt  khác $\sum a\left ( b+c+d \right )\leq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )=9$ ( theo AM-GM )

Do đó  \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

Cho a,b,c >0. Tìm max:

 

P= $\sum \frac{b+c}{a+ \sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}}$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Rightarrow 4\left ( a^{3}+b^{3} \right )\geq \left ( a+b \right )^{3}$

$P=\sum \frac{b+c}{a+\sqrt[3]{4\left ( a^{3}+b^{3} \right )}}\leq \sum \frac{b+c}{a+b+c}=2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Theo BĐT Bunhiacopxki và kết hợp giả thiết

Ta có $\dpi{100} x+y= \left ( x+y \right )\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y} \right )\geq \left ( \sqrt{x}.\sqrt{\frac{a}{x}} +\sqrt{y}.\sqrt{\frac{b}{y}}\right )^{2}=\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )^{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\dpi{100} \frac{x}{\sqrt{a}}= \frac{y}{\sqrt{b}}$

Từ đó tìm được $\dpi{100} x=a+\sqrt{ab},y=b+\sqrt{ab}$

*Có thể thay giả thiết bằng $\dpi{100} \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=a$ với a là số thực dương bất kì

Bạn thôi nhé!...

Em xin đóng góp một bài

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố 

Ta có: $5^{125}-1= (4+1)^{125}-1\equiv 1^{125}-1\equiv 1-1\equiv 0(mod 4)$

=> $5^{125}-1\vdots 4$
Chứng minh tương tự $5^{25}-1 \vdots 4$

=> $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không phải là phân số tối giản

Như thế này thì chưa chứng minh đươc đâu

VD: $ 12\vdots 4,4\vdots 4,12:4=3$ là số nguyên tố

Một bài toán khá hay mà mình sưu tầm được

Chứng minh số $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ không là số nguyên tố

Một cách nữa cho câu a/ nè

$a>b-c\Rightarrow a^{2}> \left ( b-c \right )^{2}$

Lập các BĐT tương tự rồi cộng từng vế với nhau được

$a^{2}+b^{2}+c^{2}> 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \right )$

$\Rightarrow 2\left ( ab+bc+ca \right )> a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (đpcm)

không ai làm câu 2 ak để tớ làm luôn nhé

$(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)$

=$(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

=$(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

=$(x^2+5x)-36$

suy ra GTLN của BT bằng -36

$\left ( x^{2}+5x \right )^{2}$ nhé bạn