Chủ đề này có 16 trả lời

[dark magician girl]

cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=3 chứng minh

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 07-07-2013 - 17:35

[Ha Manh Huu]

áp dụng bđt CS ta có

$VT\geq \frac{\left (a^{2}+b^{2}+c^{2}  \right )^{2}}{\sum a^{3}+\sum 2a^{2}b^{2}}$

cần cm biểu thức trên $\geq 1$

đến đây ta cm $\left (\sum a^{2}  \right )^{2}\geq  \sum a^{3}+\sum 2a^{2}b^{2}\Leftrightarrow \sum a^{4}\geq \sum a^{3}$

hiển nhiên ta thấy bđt này đúng khi a+b+c=3

[ngoctruong236]

$ap dụng bdt cauchy-schward ta coVT\geq \frac{a^2+b^2+c^2}^2{\sum a^3+\sum 2a^2b^2}.Cần Cm Bdt\geq 1\rightarrow phai cm \sum a^4\geq \sum a^3.vi a+b+c=3\rightarrow dpcm$

[25 minutes]

cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=3 chứng minh

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

Sử dụng Cauchy ngược dấu và AM-GM ta có 

             $\frac{a^2}{a+2b^2}=\frac{a(a+2b^2)-2ab^2}{a+2b^2}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}\geqslant a-\frac{2\sqrt[3]{(ab)^2}}{3}$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có

            $\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geqslant a+b+c-\frac{2}{3}\left [ \sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2} \right ]$

Sử dụng $a+b+c=3$, ta chỉ cần chứng minh $\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leqslant 3$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt[3]{a^2b^2}\leqslant \frac{a+b+ab}{3}$

      $\Rightarrow \sum \sqrt[3]{a^2b^2}\leqslant \frac{2(a+b+c)+ab+bc+ca}{3}\leqslant \frac{2(a+b+c)+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{3}=3$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[hoctrocuanewton]

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{9}{3+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

vậy ta cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$ (1)

giả sử bất đẳng thức vừa nêu là đúng ta có

$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leqslant 3+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow ab+bc+ac\leqslant 3$ 

ta có $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}= 3$ (luôn đúng ) nên (1) đúng 

vậy được đpcm

[taideptrai]

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= \frac{9}{3+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

vậy ta cần chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$ (1)

giả sử bất đẳng thức vừa nêu là đúng ta có

$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}\leqslant 3+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow ab+bc+ac\leqslant 3$ 

ta có $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}= 3$ (luôn đúng ) nên (1) đúng 

vậy được đpcm

sai rồi @!!! vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

chứ không phải$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$   đâu nghen      

[hoctrocuanewton]

sai rồi @!!! vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

chứ không phải$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$   đâu nghen      

như vậy thì phải làm sao nếu phía trên dùng xvác hả bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 08-07-2013 - 10:04

[taideptrai]

như vậy thì phải làm sa nếu phía trên dùng xvác hả bạn

bất đẳng thúc cậu dùng lúc đầu yếu quá nên không có hiệu quả!!!!!    

[hoctrocuanewton]

bất đẳng thúc cậu dùng lúc đầu yếu quá nên không có hiệu quả!!!!!    

uhm . vậy với các dạng này ta nên dùng các bđt thức nào

[taideptrai]

uhm . vậy với các dạng này ta nên dùng các bđt thức nào

nếu cậu thích hệ quả của cauchy - swatch thì làm như Ha Manh Huu ấy        

[hoctrocuanewton]

nếu cậu thích hệ quả của cauchy - swatch thì làm như Ha Manh Huu ấy        

vậy thì nếu gặp dạng này thì muốn dùng cauchy-swatch thì nâng bậc à

[taideptrai]

vậy thì nếu gặp dạng này thì muốn dùng cauchy-swatch thì nâng bậc à

còn tùy vào giả thiết nữa. Cậu không nên áp đặt như thế !!!!          

[hoctrocuanewton]

còn tùy vào giả thiết nữa. Cậu không nên áp đặt như thế !!!!          

ừ được rồi tớ sẽ luyện lại dạng này

[Ha Manh Huu]

ừ được rồi tớ sẽ luyện lại dạng này

tại vì nếu làm CS mà cứ để thế làm sẽ ko cho ta kết quả mong muốn nên nâng bậc thì sẽ dễ làm hơn

[Supermath98]

ừ được rồi tớ sẽ luyện lại dạng này

Tài liệu luyện dạng đó nè bạn! 

 

 

File gửi kèm

•  BAT DANG THUC CAUCHY SCHAWRZ DANG ENGEL.pdf   66.8K   86 Số lần tải

[hoctrocuanewton]

tại vì nếu làm CS mà cứ để thế làm sẽ ko cho ta kết quả mong muốn nên nâng bậc thì sẽ dễ làm hơn

vì sao lại không được như mong muốn . cậu có thể phân tích cho tớ hiểu được không

[Ha Manh Huu]

vì sao lại không được như mong muốn . cậu có thể phân tích cho tớ hiểu được không

thì đấy cái bđt cuối cùng của cậu bị sai nên ta phải làm cách khác

^^! cái j cũng thế cứ làm nhiều ắt ta có kinh nghiệm