cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
chứng minh
$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$
cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
chứng minh
$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$
cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
chứng minh
$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$
Từ giả thiết :$a+b+c=1\Leftrightarrow ac+bc+c^{2}=c\Leftrightarrow c+ab=ab+bc+ac+c^{2}=(c+a)(c+b)$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})$
Tương tự ta có: $\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})$
$\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c})$
Cộng vế với vế của các BĐT cùng chiều ta đc đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 10-07-2013 - 10:57
cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
chứng minh
$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+b}}\leqslant \frac{3}{2}$
Ta có: $\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}$
Tương tự: $\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}$
$\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}=\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}$
Đặt vế trái của biểu thức cần chứng minh là $P$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
$P\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a} \right )=\frac{3}{2}$
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$(\frac{4a}{b+c}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 23-09-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
P=$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+4}+\frac{1}{c^{2}+9}$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 03-09-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
SP,SQ là phân giác của $\angle ASB $ , $\angle ASC$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 31-08-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
$\angle CDQ=\angle BDP$Bắt đầu bởi hoctrocuanewton, 26-08-2013 haruto |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
sách số học của Nguyễn Vũ ThanhBắt đầu bởi hoctrocuanewton, 26-08-2013 haruto |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh